1、第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法线性系统分析的三种方法：线性系统分析的三种方法：时间域法时间域法 根轨迹法根轨迹法 频域法频域法时间域法：时间域法：特点：直观、准确，能提供系统时间响应的全部信息。特点：直观、准确，能提供系统时间响应的全部信息。内容：稳定性分析充要条件（闭环系统特征根均具有负内容：稳定性分析充要条件（闭环系统特征根均具有负 实部）实部）劳斯稳定判据（劳斯表首列各值为正）用闭环特劳斯稳定判据（劳斯表首列各值为正）用闭环特 征方程构造劳斯表征方程构造劳斯表 赫尔维茨判据（行列式法）用闭环特征方程构造赫尔维茨判据（行列式法）用闭环特征方程构造 行列式行列式准确性分析
2、稳态误差的计算准确性分析稳态误差的计算 limlimss00s ss se ee e=s s (s s)R R s s1 1 =s sR R s s1 1+G G(s s)H H(s s)动态性能分析系统动态性能随系统闭环极点位置动态性能分析系统动态性能随系统闭环极点位置变化的规律；附加开环零极点对系统性能的影响；变化的规律；附加开环零极点对系统性能的影响；附加闭环零极点对系统性能的影响。附加闭环零极点对系统性能的影响。2、根轨迹法分析和设计、根轨迹法分析和设计LTI系统的图解方法，使用十分简便，系统的图解方法，使用十分简便，特别在进行多回路系统分析时，应用根轨迹法比用特别在进行多回路系统分析
3、时，应用根轨迹法比用 其它方法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛其它方法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛 应用。应用。掌握根轨迹的基本概念掌握根轨迹的基本概念 掌握控制系统根轨迹的绘制方法掌握控制系统根轨迹的绘制方法 能够运用根轨迹法对控制系统进行分析能够运用根轨迹法对控制系统进行分析 明确等效开环明确等效开环传递函数的概念，能正确传递函数的概念，能正确绘制出不同参量变化对系统根轨迹图绘制出不同参量变化对系统根轨迹图 重点：根轨迹的绘制重点：根轨迹的绘制 利用根轨迹分析控制系统利用根轨迹分析控制系统 关键点：特征方程关键点：特征方程 幅值条件，相角条件幅值条件，相角条件 通过具体习题练习
4、通过具体习题练习 掌握根掌握根轨迹绘制方法，不要死记硬背轨迹绘制方法，不要死记硬背各种绘制法则，要多总结归纳各种绘制法则，要多总结归纳典型极、零点分布对根轨迹的典型极、零点分布对根轨迹的大致图形。大致图形。学会利用学会利用MATLABMATLAB软件绘制软件绘制系统根轨迹的方法。系统根轨迹的方法。一、一、根轨迹的概念根轨迹的概念 根轨迹：根轨迹：开环系统开环系统某一参数从零变到无穷时，闭某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根（环系统特征方程式的根（闭环系统的极点闭环系统的极点）在）在S S平面上平面上变化的轨迹。变化的轨迹。ks(0.5s+1)例例 试分析右图所示试分析右图所示系统的闭
5、环特征方程式系统的闭环特征方程式的根随系统开环增益的根随系统开环增益K K的的变化在变化在S S平面的分布情况。平面的分布情况。4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念K=0时，时，s1=0,s2=20k0.5 时，两个负实根时，两个负实根 ；若；若s1=0.25,s2=?K=0.5时，时，s1=s2=10.5k时，时，s1,，2=1j2k1特征根：特征根：s1,2=112k特征方程：特征方程：S2+2s+2k=0-2-10j-1-221K=0K=0K=0.5K=1K=1K=2.5K=2.5KK注意注意：K一变，一组根变一变，一组根变；K一停，一组根停一停，一组根停；一组根对应同一个
6、一组根对应同一个K；根轨迹与系统的性能根轨迹与系统的性能1、稳定性、稳定性2、稳态性、稳态性3、动态性能、动态性能二、二、闭环零极点与开环零极点之间的关系闭环零极点与开环零极点之间的关系 通常系统的开环零、极点是已知的，因此建立开环零、极点与通常系统的开环零、极点是已知的，因此建立开环零、极点与闭环零、极点之间的关系，有助于闭环系统根轨迹的绘制。闭环零、极点之间的关系，有助于闭环系统根轨迹的绘制。G G(s s)(s s)=1 1+G G(s s)H H(s s)R(s)R(s)C(s)C(s)G(s)G(s)H(s)H(s)l ll lj jj j*j j=1 1j j=1 1H HH Hh
7、 hh hi ii ii i=1 1i i=1 1(s s+1 1)(s s-z z)H H(s s)=K K=K K(T Ts s+1 1)(s s-p p)f ff fi ii i*i i=1 1i i=1 1G GG Gq qq qi ii ii i=1 1i i=1 1(s s+1 1)(s s-z z)G G(s s)=K K=K K(T T s s+1 1)(s s-p p)G G*G GH H*H HK KK KK KK K前前向向通通路路增增益益前前向向通通路路根根轨轨迹迹增增益益反反馈馈通通路路增增益益反反馈馈通通路路根根轨轨迹迹增增益益系统的开环传递函数为系统的开环传递函数
8、为m mf fl lj ji ij j*j j=1 1i i=1 1j j=1 1n nq qh hi ii ij ji i=1 1i i=1 1j j=1 1(s s+1 1)(s s-z z)(s s-z z)G G(s s)H H(s s)=K K=K K(T Ts s+1 1)(s s-p p)(s s-p p)G GH HK K=K KK K系系 统统 的的 开开 环环 增增 益益 n n=q q+h h开开环环系系统统的的极极点点数数 *G GH HK K=K KK K开开 系系 统统 的的 根根 轨轨 迹迹 增增 益益 零m m=f f+l l开开环环系系统统的的点点数数*Gf
9、fh hi ij ji i=1 1j j=1 1n nm m*i ij ji i=1 1j j=1 1K K(s s-z z)(s s-p p)(s s)=(s s-p p)+K K(s s-z z)1)闭环系统根轨迹增益开环系统前向通路根轨迹增益。闭环系统根轨迹增益开环系统前向通路根轨迹增益。当当H(S)=1时，闭环系统根轨迹增益开环系统根轨迹增益。时，闭环系统根轨迹增益开环系统根轨迹增益。2)闭环零点的组成：开环前向通路的零点、反馈通路的极点。闭环零点的组成：开环前向通路的零点、反馈通路的极点。当当H(S)=1时，闭环零点就是开环零点。时，闭环零点就是开环零点。3)闭环极点与开环零点、开环
10、极点以及根轨迹增益闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益K*有关。有关。根轨迹法的基本任务：根轨迹法的基本任务：如何由已知的开环零点、极点的分布及根轨迹增益，如何由已知的开环零点、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点，并根据闭环极点的分布通过图解的方法找出闭环极点，并根据闭环极点的分布对系统性能进行分析。一旦确定闭环极点后，闭环传递对系统性能进行分析。一旦确定闭环极点后，闭环传递函数的形式便不难确定，可直接由下式求得：函数的形式便不难确定，可直接由下式求得：在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏反变换的方法求出
11、，或利用计算机直接求解。利用拉氏反变换的方法求出，或利用计算机直接求解。*Gf fh hi ij ji i=1 1j j=1 1n nm m*i ij ji i=1 1j j=1 1K K(s s-z z)(s s-p p)(s s)=(s s-p p)+K K(s s-z z)三、根轨迹方程三、根轨迹方程G G(s s)(s s)=1 1+G G(s s)H H(s s)系统闭环传递函数为：系统闭环传递函数为：系统闭环极点即为特征方程的解：系统闭环极点即为特征方程的解：1+G(s)H(s)=01+G(s)H(s)=0 1m mj j*j j=1 1n ni ii i=1 1(s s-z z)
12、K K(s s-p p)根轨迹方程根轨迹方程 只要系统闭环特征方程可以只要系统闭环特征方程可以化为此形式，都可以绘制根轨迹，化为此形式，都可以绘制根轨迹，其中处于变动地位的实参数，不其中处于变动地位的实参数，不限定是根轨迹增益限定是根轨迹增益K*，也可以是，也可以是其它变动参数。但是开环零极点其它变动参数。但是开环零极点的在的在S平面的位置必须是确定的，平面的位置必须是确定的，否则无法绘制根轨迹。否则无法绘制根轨迹。m mj jj j=1 1m mn nj ji ij j=1 1i i=1 1n ni ii i=1 1m mm mm mj jj jj j-*j j=1 1j j=1 1j j=
13、1 1n nn nn ni ii ii ii i=1 1i i=1 1i i=1 1(s s-z z)s s-z ze es s-z zK K=K K=K Ke e=-1 1(s s-p p)s s-p ps s-p pe e1m mj j*j=1j=1n ni ii=1i=1s-zs-zK Ks-ps-pn ni i*i i=1 1m mj jj j=1 1s s-p pK Ks s-z z即即：k21m mn nm mn nj ji ij ji ij j=1 1i i=1 1j j=1 1i i=1 1-s s-z z-(s s-p p)模值条件模值条件相角条件相角条件 综上分析，可以得到
14、如下结论：综上分析，可以得到如下结论：绘制根轨迹的绘制根轨迹的相角条件相角条件与系统开环根轨迹增益与系统开环根轨迹增益 值值 的大小无关。即在的大小无关。即在s s平面上，所有满足相角条件点的集合构平面上，所有满足相角条件点的集合构成系统的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的充要条件。成系统的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的充要条件。绘制根轨迹的绘制根轨迹的幅值条件幅值条件与系统开环根轨迹增益与系统开环根轨迹增益 值的大小有关。即值的大小有关。即 值的变化会改变系统的闭环极点在值的变化会改变系统的闭环极点在s s平平面上的位置。面上的位置。在系数参数全部确定的情况下，凡能满足相角条件和幅在系数
15、参数全部确定的情况下，凡能满足相角条件和幅值条件的值条件的s s值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。极点。由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传递函数有由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传递函数有关，因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。关，因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。*K K*K K*K K4 42 2 常规根轨迹的绘制法则常规根轨迹的绘制法则 通常，我们把以开环根轨迹增益通常，我们把以开环根轨迹增益 为可变参数绘制的为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）。绘制普通根轨迹根轨迹叫做普通根轨迹（
16、或一般根轨迹）。绘制普通根轨迹的基本法则主要有的基本法则主要有8 8条：条：1.1.根轨迹的起点与终点；根轨迹的起点与终点；2.2.根轨迹的分支数、对成性和连续性；根轨迹的分支数、对成性和连续性；3.3.实轴上的根轨迹；实轴上的根轨迹；4.4.根轨迹的渐近线；根轨迹的渐近线；5.5.根轨迹在实轴上的分离点；根轨迹在实轴上的分离点；6.6.根轨迹的起始角和终止角；根轨迹的起始角和终止角；7.7.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点;8.8.根之和。根之和。*K K法则一法则一 根轨迹的起点与终点根轨迹的起点与终点 幅值条件可写成幅值条件可写成 当当 ，必须有，必须有 此时，系统的闭环极点与开环极
17、点相同此时，系统的闭环极点与开环极点相同(重合重合)，我们把开环，我们把开环极点称为根轨迹的起点，它对应于开环根轨迹增益极点称为根轨迹的起点，它对应于开环根轨迹增益 。当当 时，必须有时，必须有 ，此时，系统，此时，系统的闭环极点与开环零点相同的闭环极点与开环零点相同(重合重合)，我们把开环零点称为，我们把开环零点称为根轨迹的终点，它对应于开环根轨迹增益根轨迹的终点，它对应于开环根轨迹增益 。*K K=0 0i ii is s=p p(i i=1 1,2 2,n n)j jj js s=z z(j j=1 1,2 2,m m)n ni i*i i=1 1m mj jj j=1 1s s-p p
18、K Ks s-z z*K K=0 0*K K=*K K=下面分三种情况讨沦。下面分三种情况讨沦。1 1当当m=nm=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。与终点均有确定的值。2 2当当mnmnmn时，即开环零点数大于开环极点数时，除有时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n n条根条根轨迹起始于开环极点轨迹起始于开环极点(称为有限极点称为有限极点)外，还有外，还有m-nm-n条根轨迹起条根轨迹起始于无穷远点始于无穷远点(称为无限极点称为无限极点)。这种情况在实际的物理系统。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨
19、迹中，有可能出现在等效开环中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。传递函数中。结论结论：根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点 ，终止于开环，终止于开环零点（零点（)；如果开环极点数；如果开环极点数n n大于开环零点数大于开环零点数m m，则有，则有n-mn-m条根轨迹终止于条根轨迹终止于s s平面的无穷远处平面的无穷远处(无限无限零点零点)，如果开环零点数，如果开环零点数m m大于开环极点数大于开环极点数n n，则有，则有m-nm-n条根轨迹起始于条根轨迹起始于s s平面的无穷远处平面的无穷远处(无限极点无限极点)。*K K=0 0*K K=*K K s s+1 1
20、G G(s s)H H(s s)=s s s s+2 2 s s+3 3法则二法则二 根轨迹的分支数、连续性和对称性根轨迹的分支数、连续性和对称性 根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在统特征方程的根（即闭环极点）在S S平面上的分布，那么，根轨平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。系统开环根轨迹增益系统开环根轨迹增益 (实变量）与复变量实变量）与复变量s s有一一对应的关有一一对应的关系，当系，当 由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方
21、程根的复变由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量量s s在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是n n条连续的曲线。条连续的曲线。由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有复由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。实轴的。结论结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。且对称于实轴的曲线。*K K*K K法则三法则三 实轴上的
22、根轨迹实轴上的根轨迹 若实轴上某线段若实轴上某线段右侧右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。则该线段是实轴上的根轨迹。例例 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 其中其中 、为实极点和实零点，为实极点和实零点，为共轭复数为共轭复数零、极点，它们在零、极点，它们在s s平面上的分布如图平面上的分布如图4-44-4所示，试分析实轴上所示，试分析实轴上的根轨迹与开环零点和极点的关系。的根轨迹与开环零点和极点的关系。*1 12 23 31 12 23 34 4K K(s s-z z)(s s-z z)(s s-z z)G G(s s)H
23、H(s s)=(s s-p p)(s s-p p)(s s-p p)(s s-p p)1 1P P4 4P Pz1 1z2 2z3 3、2 23 3P PP P解：实轴上的根轨迹必须满足绘制根轨迹的相角条件，即解：实轴上的根轨迹必须满足绘制根轨迹的相角条件，即m mn nj ji ij j=1 1i i=1 1(s s-Z Z)-(s s-P P)=1 18 80 0+k k3 36 60 0(k k=0 0,1 1,2 2,)在确定实轴上的根轨迹上时，在确定实轴上的根轨迹上时，可以不考虑复数开环零、极点可以不考虑复数开环零、极点对相角的影响。对相角的影响。选择选择s so o作为试验点作为试
24、验点开环极点到开环极点到s s0 0点的向量的相角为点的向量的相角为i i开环零点到开环零点到s s0 0点的向量的相角为点的向量的相角为i i实轴上，实轴上，s s0 0点左侧的开环极点点左侧的开环极点P P4 4和和开环零点开环零点z z3 3构成的向量的夹角均为构成的向量的夹角均为零度，而零度，而s s0 0点右侧的开环零点点右侧的开环零点z z1 1 、z z2 2和开环零点和开环零点p p1 1构成的向量的夹角构成的向量的夹角均为均为180180o o。若。若s s0 0为根轨迹上的点，为根轨迹上的点，必满足必满足 p1p2p3p4z1s0j 01 1=2 2=2 23 3=0=0z
25、33 31 1=4 4=0 0z z2 22 21 1j ji ij j=1 1i i=1 1-=(2 2k k+1 1)结论：只有结论：只有s s0 0点右侧实轴上的点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，才满足相角条件。奇数时，才满足相角条件。法则四法则四 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 当开环极点数当开环极点数n n大于开环零点数大于开环零点数m m时，系统有时，系统有n-mn-m条根轨迹终止条根轨迹终止于于S S平面的无穷远处，这平面的无穷远处，这n-mn-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，浙近线也
26、有的渐近线，因此，浙近线也有n-mn-m条，且它们交于实轴上的一点。条，且它们交于实轴上的一点。aa anmijijapznm11a2k 1k0,1,2,nm 1nm 渐近线与实轴的交点位置渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角和与实轴正方向的交角 分别分别为为 设开环传递函数为设开环传递函数为 开环极点数开环极点数n=2,n=2,开环零点数开环零点数m=0,n-m=2,m=0,n-m=2,两条渐近线两条渐近线在实轴上的交点位置为在实轴上的交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别为它们与实轴正方向的交角分别为 *K KG G(s s)H H(s s)=s s(s s+2 2)n nm mi
27、 ij ji i=1 1j j=1 1a ap p-z z-2 2=-1 1n n-m m2 2a2k 1nm(k k=0 0)2 23 3(k k=1 1)2 2例例 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试画出该系统根轨迹的渐近线。试画出该系统根轨迹的渐近线。解解 对于该系统有对于该系统有n=4n=4，m=1m=1，n-m=3n-m=3；三条渐近线与；三条渐近线与实轴交点位置为实轴交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别是它们与实轴正方向的交角分别是 *2 2K K(s s+2 2)G G(s s)H H(s s)=s s(s s+1 1)(s s+4 4)a a-1 1-4 4
28、+2 2=-1 13 3(k k=0 0)3 3(k k=1 1)-(k k=2 2)3 3 j-4-4-3-3-2-2-1-10 0B BC CA Aa 60o60o300oa 180o法则五法则五 根轨迹的分离点和分离角根轨迹的分离点和分离角分离点：两条或两条以上的根轨迹分支在分离点：两条或两条以上的根轨迹分支在S S平面上相遇又立即分开平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。的点，称为根轨迹的分离点。若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间（其中一个可以是无限极极点之间（其中一个可以是无限极点），则在这两个极点之间至少存在点），则在这两个极点之间至少
29、存在一个分离点；若根轨迹位于实轴上两一个分离点；若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可个相邻的开环零点之间（其中一个可以是无限零点），则在这两个零点之以是无限零点），则在这两个零点之间也至少有一个分离点。如图间也至少有一个分离点。如图4-54-5上的分离点上的分离点d d1 1和和 d d2 2。分离点也。分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上，如图可能以共轭形式成对出现在复平面上，如图4-64-6中的分离点中的分离点A A和和B B。显然，复平面上的分离点表明系统特征方程的根中至少有两对相显然，复平面上的分离点表明系统特征方程的根中至少有两对相等的共轭复根存在。等的共轭复根存
30、在。d d1 1d d2 2图图4-5 4-5 实轴上根轨迹的分离点实轴上根轨迹的分离点 图图4-6 4-6 复平面上的分离点复平面上的分离点 A AB B 根轨迹的分离点，实质上就是系统特征方程的等实根（实轴根轨迹的分离点，实质上就是系统特征方程的等实根（实轴上的分离点）或等共轭复根（复平面上的分离点）上的分离点）或等共轭复根（复平面上的分离点）系统的特征方程可写成系统的特征方程可写成n ni i*i i=1 1m mj jj j=1 1(s s-P P)=-K K(s s-Z Z)n ni ii i=1 1m mj jj j=1 1s s=d d(s s-P P)d d=0 0d d s
31、s(s s-Z Z)分离点方程分离点方程分离点方程的另一种形式分离点方程的另一种形式m mn nj j=1 1i i=1 1j ji i1 11 1=d d-Z Zd d-P P当开环系统无有限零点时，则当开环系统无有限零点时，则上式应写为：上式应写为：0n ni i=1 1i i1 1d d-P P分离角：根轨迹进入分离点的分离角：根轨迹进入分离点的切线方向与分离点的切线方向切线方向与分离点的切线方向之间的夹角。之间的夹角。ll2 2 k k+1 1,k k=0 0,1 1,.,-1 1 只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。若在这些根只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。若在这些根
32、中有共轭复根，如何判断是否在根轨迹上，是一个比较复杂的问中有共轭复根，如何判断是否在根轨迹上，是一个比较复杂的问题，由于只有当开环零、极点分布非常对称时，才会出现复平面题，由于只有当开环零、极点分布非常对称时，才会出现复平面上的分离点（如图上的分离点（如图4-64-6所示）所示）.因此，用观察法可大体上判断，然因此，用观察法可大体上判断，然后将其代入特征方程中验算，即可确定。后将其代入特征方程中验算，即可确定。例如：当系统开环传递函数为例如：当系统开环传递函数为1 1G Gs sH Hs s=s s(s s+2 2)n ni i=1 1i i1 11 11 1=+=0 0d d-P Pd d-
33、0 0d d+2 2时，系统根轨迹分离点方程为：时，系统根轨迹分离点方程为：解方程得：解方程得：d1，由于实轴上的根轨，由于实轴上的根轨迹为（迹为（2，0）段，由此可见）段，由此可见d=1位位于根轨迹上，故，根轨迹分离点为：于根轨迹上，故，根轨迹分离点为：d1例例4 41 1 设某单位负反馈系统的开环传递函数为：设某单位负反馈系统的开环传递函数为：试绘制其概略根轨迹。试绘制其概略根轨迹。*K Ks s+1 1G Gs sH Hs s=s s(s s+2 2)s s+3 3解：解：1）由规则）由规则1)、2)可知：可知：共有共有3条根轨迹，分别始于条根轨迹，分别始于S=0、S2、S3其中一条止于
34、其中一条止于S1处，两条趋于无处，两条趋于无穷远处。穷远处。2 2）实轴上的根轨迹：）实轴上的根轨迹：(-1,0)(-1,0)、（、（3 3，2 2）。）。3 3）渐近线：）渐近线：4 4）分离点：）分离点：nmijijapznm 11023123a2k1nm2321 11 11 11 1=+d d-1 1d d-0 0d d-2 2d d-3 3d d=-2 2.4 47 7 j0 0-3-3-2-2-1-1例例 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为试求出系统根轨迹与实轴的交点。试求出系统根轨迹与实轴的交点。*K KG G(s s)H H(s s)=(s s+1 1)(s s+2
35、 2)(s s+3 3)解解 本系统无有限开环零点，其根轨迹分离点坐标满足：本系统无有限开环零点，其根轨迹分离点坐标满足：解方程得：解方程得：由规则五知，实轴上的根轨迹为由规则五知，实轴上的根轨迹为-1-1到到-2-2线段和线段和-3-3到到-线线段。段。不在上述两线段上，应舍去。不在上述两线段上，应舍去。是实轴根轨迹上的点，所以是根轨迹在实轴上的分是实轴根轨迹上的点，所以是根轨迹在实轴上的分离点。运用前面的六条规则，可绘制如图离点。运用前面的六条规则，可绘制如图4-74-7所示的根轨迹图。所示的根轨迹图。1 11 11 1+=0 0d d+1 1d d+2 2d d+3 31 12 2d d
36、=-1 1.4 42 2 d d=-2 2.5 58 81 1d d=-1 1.4 42 22 2d d=-2 2.5 58 8法则六法则六 根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角 当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？这就是所谓的方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？这就是所谓的起始角和终止角问题起始角和终止角问题,先给出定义如下：先给出定义如下：起始角起始角 ：根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正：根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角。方向的夹角。
37、p1p1 终止角终止角 ：根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正：根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。方向的夹角。zizi,.mnzjzipjzijjj ikk1121012zizi,.mnzjpipjpijjj ikk1121012pipij3P2P1P0s1p2pjs1z2z1p2p1z2z0法则七法则七 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。这时，用零）。这时，用 s=js=j 代入特征方程可得代入特征方程可得:1 1+G Gj jH H j j=0 0e
38、 em mR R1 1+G G j j H H j j+I I1 1+G G j j H H j j=0 0由此可得虚部方程和实部方程：由此可得虚部方程和实部方程：e eR R1 1+G G j j H H j j=0 0m mI I1 1+G G j j H H j j=0 0 解虚部方程可得角频率解虚部方程可得角频率 c c ，即根轨迹与虚轴的交点的坐标值；用，即根轨迹与虚轴的交点的坐标值；用 c c 代代入实部方程，可求出系统开环根轨迹增益的临界值入实部方程，可求出系统开环根轨迹增益的临界值 K Kc c 。K Kc c 的物理含义是的物理含义是使系统由稳定（或不稳定）变为不稳定（或稳定
39、）的系统开环根轨迹增益的使系统由稳定（或不稳定）变为不稳定（或稳定）的系统开环根轨迹增益的临界值。它对如何选择合适的系统参数、使系统处于稳定的工作状态有重要临界值。它对如何选择合适的系统参数、使系统处于稳定的工作状态有重要意义。意义。例：设系统开环传递函数为例：设系统开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹。试绘制闭环系统的概略根轨迹。*2 2K KG Gs sH H s s=s s s s+3 3s s+2 2s s+2 21-1-1-20 j-3解：解：1 1）确定实轴上的根轨迹：）确定实轴上的根轨迹：2 2）确定根轨迹的渐近线）确定根轨迹的渐近线：n nm mi ij ji i=1 1j
40、 j=1 1a ap p-z z0 0+(-3 3)+(-1 1+j j)+(-1 1-j j)=-1 1.2 25 5n n-m m4 4a2k 1,n m 3443 3）确定根轨迹的分离点）确定根轨迹的分离点：.ddjdj 1102 31111分离点：dd+32k 1 l 2分离角：1-1-1-20 j-3GjHj104 4）确定根轨迹的起始角：）确定根轨迹的起始角：量测各向量相角，得：量测各向量相角，得：.pi 71 65 5）确定根轨迹与虚轴的交点：）确定根轨迹与虚轴的交点：*.*KjjjjKjjKKjj432432423586058608056011816 以上七条规则是绘制根轨迹图
41、所必须遵循的基本规则。此外，以上七条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本规则。此外，尚须注意以下几点规范画法。尚须注意以下几点规范画法。根轨迹的起点（开环极点根轨迹的起点（开环极点P Pi i)用符号用符号“X”X”标示；根轨迹标示；根轨迹的终点的终点(开环零点开环零点 Z Zi i)用符号用符号“o”o”标示。标示。根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益 K K*值的增值的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。要标出一些特殊点的要标出一些特殊点的K K*值，如起点（值，如起点（K K*=0=0)，终点（，
42、终点（K K*)；根轨迹在实轴上的分离点；根轨迹在实轴上的分离点d(Kd(K*=K=K*d d)；与虚轴的交点；与虚轴的交点 c c（K K*=K Kc c）。还有一些要求标出的闭环极点）。还有一些要求标出的闭环极点S S1 1 及其对应的开及其对应的开环根轨迹增益环根轨迹增益 K K1 1 ，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。分析与综合。绘制根轨迹图示例绘制根轨迹图示例例例 47 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统完整的根轨迹图试绘制该系统完整的根轨迹图。r rK KG G(s s)H H(s s)=s s(
43、s s+1 1)(s s+2 2)解解 （1 1）该系统的特征方程为）该系统的特征方程为 这是一个三阶系统，由规则一知，该系统有三条根轨迹在这是一个三阶系统，由规则一知，该系统有三条根轨迹在s s平面上。平面上。0Ks2s3sr23由规则二知，三条根轨迹连续且对称于实轴。由规则二知，三条根轨迹连续且对称于实轴。根轨迹的起点是该系统的三个开环极点，即根轨迹的起点是该系统的三个开环极点，即 P P1 1=0 P=0 P2 2=-1 P=-1 P3 3=-2 =-2 由于没有开环零点（由于没有开环零点（m=0m=0）,三条根轨迹的终点均在无穷远处。三条根轨迹的终点均在无穷远处。当当k=0k=0时时
44、当当k=1k=1时时 当当k=2k=2时时 10321mnzpjiamn1k2a603a180a6035a由规则四知，可求出根轨迹三条渐近线的交点位置和由规则四知，可求出根轨迹三条渐近线的交点位置和它们与实轴正方向的交角。它们与实轴正方向的交角。由规则五知，实轴上的根轨迹为实轴上由规则五知，实轴上的根轨迹为实轴上P P1 1 到到 P P2 2 的线段和由的线段和由 P P3 3 至实轴上负无穷远线段。至实轴上负无穷远线段。由规则六知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是方程由规则六知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是方程 解的合理值，解得解的合理值，解得 不在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离点应不在
45、实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离点应为为02)1)(ss(sdsdsd02632 dd42.01d58.12d58.12d42.01d 无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。解虚部方程得解虚部方程得2323r rK-3K-3+j(2+j(2-)=0)=01 1=0=02,32,3=2 2其中其中 1 1=0=0是开环极点是开环极点 P P1 1 对应的坐标值，它是根轨迹的起点之一。对应的坐标值，它是根轨迹的起点之一。合理的交点应为合理的交点应为将将 代入实部方程得到对应的开环根轨迹增益的临界值代入实部方程得到对应的开环根轨迹增益的临界值K Kr
46、crc=6=6 。绘制出该系统的根轨迹图如图。绘制出该系统的根轨迹图如图4-114-11所示。所示。c c=2 2 由规则八，可求出根轨迹与虚轴的交点由规则八，可求出根轨迹与虚轴的交点 c c及对应的开环根轨迹及对应的开环根轨迹增益的临界值增益的临界值K Krcrc 。用。用 s=js=j 代入特征方程得代入特征方程得3232r r-j-j-3-3+j2+j2+K=0+K=02,32,3=2 2 j-1-1-2-20 0 01 rKP 03 rKP 02 rKPr K1d 60o 60orc K 6j 2j 2rc K 6-j 2-j 2解解 (1)(1)是一个二阶系统，在是一个二阶系统，在S
47、 S平面上有两条连续且对称于实轴的根平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹。轨迹。(2)(2)由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点z z1 1=-2 =-2 和一对开环共轭复数极点和一对开环共轭复数极点 P P1,21,2=-1=-1j j,根轨迹的起点为根轨迹的起点为P P1 1(K(Kr r=0)=0)和和 P P2 2(K(Kr r=0)=0)，其终点为，其终点为 Z Z1 1(K(Kr r)和无穷远点。和无穷远点。(3)(3)由规则五知，实轴上由由规则五知，实轴上由-2-2至至-的线段为实轴上的根轨迹。的线段为实轴上的根轨迹。(4)(4)由
48、规则六，可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离由规则六，可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是点方程是例例4-8 4-8 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。试绘制该系统的根轨迹图。r r2 2K K(s s+2 2)G G(s s)H H(s s)=s s+2 2s s+2 2 即即 解方程可得解方程可得 d d2 2=-0.586=-0.586 不在实轴上的根轨迹上，舍去，实际的分离点为不在实轴上的根轨迹上，舍去，实际的分离点为 d d1 1 。02222dssssdsd0242 dd414.31d586.02d由规则七，可求出开环复数极点
49、（根轨迹的起点）的起始角。由规则七，可求出开环复数极点（根轨迹的起点）的起始角。()()ppzpp 111121801804590135pp 21135 证明证明 已知系统的开环零点和极点分别为已知系统的开环零点和极点分别为 ，令令s=u+jvs=u+jv为根轨迹的任一点，由相角条件可得为根轨迹的任一点，由相角条件可得 将将s s、和和 代入得代入得 即即1 1z z=-2 21 1p p=-1 1+j j1 12 2p p=-1 1-j j1 11 11 12 2(s s-z z)-(s s-p p)-(s s-p p)=1 18 80 0(u u+2 2+j jv v)-(u u+1 1+
50、j j(v v-1 1)+(u u+1 1+j j(v v+1 1)=1 18 80 0-1 1-1 1-1 1v vv v-1 1v v+1 1t tg g-t tg g+t tg g=1 18 80 0u u+2 2u u+1 1u u+1 1应用三角公式应用三角公式-1 1-1 1-1 1x xy yt tg g x xt tg g y y=t tg g1 1x x y y（6 6）为准确地画出）为准确地画出S S平面上根轨迹的图形，运用相角条件可证明平面上根轨迹的图形，运用相角条件可证明本系统在本系统在S S平面上的根轨迹是一个半径为平面上的根轨迹是一个半径为 ，圆心位于点，圆心位于点
