1、第1章 自动控制系统概论 1.1 概述概述 1.2 自动控制系统的组成自动控制系统的组成 1.3 自动控制系统的分类自动控制系统的分类 1.4 自动控制系统示例自动控制系统示例 1.5 对自动控制系统的基本要求对自动控制系统的基本要求1.6 1.6 研究自动控制系统的方法研究自动控制系统的方法1.7 MATLAB1.7 MATLAB软件及其应用简介软件及其应用简介1.1 概概 述述 如图1-1所示为小球离心调速器的原理图，此调速器是利用飞锤、弹簧和杠杆系统来调节蒸汽阀门的开度，从而达到控制蒸汽机转速的目的。其工作原理为：如果负载增加，蒸汽机转速下降，则飞锤1下降，滑套2将通过杠杆3使蒸汽阀门开
2、大，蒸汽供给量增加，从而使蒸汽机转速上升。反之若负载减小，蒸汽机转速上升，则通过调节可使转速下降。这样，离心调速器可自动地抵制负载的变化，使蒸汽机转速保持稳定。图1-1 小球离心调速器原理图 可以说，现代控制理论已经综合了控制技术、通信技术和计算机技术等各方面的成就，达到或正在进行着以下几个方面的工作：(1)最优控制 对某种性能指标实现最佳控制，即目标函数法；(2)自适应控制 系统具有自适应能力，当环境发生变化时，系统本身可适应环境的变化，而使系统保持最优；(3)自学习控制 这是一种较完善的自适应控制系统，具有系统辨识、判断、积累经验和学习的功能。1.2 自动控制系统的组成和术语自动控制系统的
3、组成和术语 1.2.1 1.2.1 自动控制的基本概念与组成自动控制的基本概念与组成所谓自动控制，就是在没有人直接参与的情况下，利用控制装置操纵被控对象(被控量)，使其按照预定的规律运动或变化。被控对象是控制系统的主体，是在系统中要求对其参数进行控制的设备或过程。如温度控制系统中的加热炉，转速控制系统中的拖动电机，过程控制系统中的化学反应炉等。控制装置一般由三部分组成：自动检测装置 包括测量元件和变送元件，起自动检测被控对象的作用，如转速控制系统中的测速发电机，温度控制系统中的热电偶等。自动调节装置 起综合、分析、比较、判断和运算的作用，并能按一定的规律发出控制信号或指令。执行装置 起具体执行
4、控制信号或指令的作用，给被控对象施加某种作用，使其改变输出量。对控制系统的组成进行详细分类，其还可以由下列各部分组成：测量变送元件 属于反馈元件，职能是把被控物理量测量出来；设定元件 职能是给出被控量应取的数值信号，即是设定给定值的元件；比较元件 职能是将测量信号与给定信号进行比较，并得到差值(偏差信号)，起信号综合作用；放大元件 职能是对差值信号进行放大，使其足以推动下一级工作；执行元件 职能是直接推动被控对象，改变其被控物理量，使输出量与希望值趋于一致；校正元件 职能是改变由于结构或参数的原因而引起的性能指标的不适应；能源元件 职能是为系统提供必要的能源。1.2.2 1.2.2 自动控制系
5、统的方块图表示自动控制系统的方块图表示在研究自动控制系统的工作原理时，为了清楚地表示系统的结构和组成，说明各元件间信号传递的因果关系，我们在分析系统时常采用方块图（框图）的方式表示。方块图的绘制原则是：组成系统的每一环节(或元件)用一方框表示，符号为“”。环节间用带箭头的线段“”联接起来，此线段称为信号线（或作用线），箭头的方向表示信号的传递方向，即作用方向，信号只能单方向传递。一个环节的输入信号是环节发生运动的原因，而其输出信号是环节发生运动的结果。信号的比较点用“”表示，它有对几个信号进行求（代数）和的功能。一般在多个输入信号的信号线旁边标以“+”或“-”，表示各输入信号的极性。图1-2
6、自动控制系统方框图的举例 1.3 自动控制系统的分类自动控制系统的分类1.3.1 1.3.1 开环控制系统和闭环控制系统开环控制系统和闭环控制系统1.1.开环控制系统开环控制系统若系统的输入量与输出量之间只有顺向作用，而没有反向联系，则该系统称为开环控制系统。在开环控制系统中，控制信息只能单方向传递，没有反向作用，输入信号通过控制装置作用于被控对象，而被控对象的输出对输入没有影响。图1-3所示为一个由可控硅供电的直流电动机调速系统。该系统由给定电位器、信号放大器、可控硅触发及整流装置、直流电动机等组成。系统用电位器取出电压Ug作为系统的给定信号，电动机的转速n作为系统的被控量（输出量）。Ug通
7、过放大器、触发装置和可控硅装置实现对电动机转速n的控制。触发装置和可控硅装置等组成控制器。输入信号通过控制器作用于受控对象以控制输出，而电动机的转速输出则对控制器不产生影响，这样的控制系统就属于开环控制系统。按控制的要求，一定的给定电压Ug对应于一定的转速n。但是由于电动机的转速n要受到轴上负载、电动机磁场、可控硅装置的交流电源电压等的影响，故不可能完全达到Ug的要求，而这些对转速产生影响的变化量就是系统的干扰量或扰动量。图1-3 开环控制系统原理图 开环系统特点：控制系统结构简单，设计维护方便，但是控制精度差，抗干扰性能差。如全自动洗衣机、计时器、自动机床、自动生产线等均是开环控制系统。2.
8、2.闭环控制系统闭环控制系统如果改进开环控制系统，设法把输出信号受干扰影响而变化的信息传递到控制装置中去，使控制器根据这个信息进行控制以消除扰动的影响，那么系统就能够更好地完成自动控制的任务。这种输入量与输出量之间不仅有顺向作用，而且有反向作用的控制系统，称为闭环控制系统。如图1-4所示就是将上述开环控制系统的例子加以改进而形成的闭环控制系统。图1-4 闭环控制系统原理图 闭环系统特点：与开环控制系统最明显的不同之处在于系统有测速发电机，即检测变送元件，它可以将系统的输出情况及时地反馈到系统的输入端进行比较。这样就使系统具有控制精度高，适应性强，抗干扰性好等优点；但由于系统存在测速发电机，因此
9、系统就比开环控制系统的结构复杂，价格高，设计维护困难。典型的闭环控制系统有自动火炮系统(雷达、计算机、火炮群)、高级自动机床、自动恒温箱、随动系统等。1.3.2 1.3.2 定值、定值、随动和程序控制系统随动和程序控制系统1.1.定值控制系统定值控制系统系统的给定值(参考输入)为恒定的常数，此种控制系统称为定值控制系统。这种系统可通过反馈控制使系统的被控参数(输出)保持恒定的、希望的数值。如在过程控制系统中，一般都要求将过程参数(如温度、压力、流量、液位和成份等)维持在工艺给定的状态。多数过程控制系统都是定值控制系统。2.2.随动控制系统随动控制系统系统的给定值(参考输入)随时间任意变化的控制
10、系统称为随动控制系统。也就是说，此类系统输入量的变化规律是无法预先确定的时间函数。这种系统的任务是在各种情况下保证系统的输出以一定的精度跟随参考输入的变化而变化，所以这种系统又称为跟踪系统。如运动目标的自动跟踪瞄准和拦截系统，工业控制中的位置控制系统，过程控制中的串级控制系统的副回路等都属于此类系统。另外，工业自动化仪表中的位置控制系统、显示记录仪表等也是闭环随动控制系统。3.3.程序控制系统程序控制系统若系统给定值(参考输入)是随时间变化并有一定的规律，且为事先给定了的时间函数，则称这种系统为程序控制系统。如热处理炉的温度调节，要求温度按一定的时间程序的规律变化（自动升温、保温及降温等）；间
11、隙生产的化学反应器温度控制以及机械加工中的程序控制机床等均属于此类系统。1.3.3 1.3.3 线性和非线性控制系统线性和非线性控制系统1.1.线性控制系统线性控制系统系统中各组成环节或元件的状态或特性可以用线性微分方程(或差分方程)来描述时，这种系统就称为线性控制系统。线性控制系统的特点是可以使用叠加原理，当系统存在几个输入时，系统的总输出等于各个输入分别作用于系统时系统的输出之和，当系统输入增大或减小时，系统的输出也按比例增大或减小。如果描述系统运动状态的微分(或差分)方程的系数是常数，不随时间变化，则这种线性系统称为线性定常(或时不变)系统。若微分(或差分)方程的系数是时间的函数，则这种
12、线性系统称为线性时变系统。2.2.非线性控制系统非线性控制系统当系统中存在有非线性特性的组成环节或元件时，系统的特性就由非线性方程来描述，这样的系统就称为非线性控制系统。对于非线性控制系统，叠加原理是不适用的。严格地讲，实际的控制系统都不是线性的，各种系统总是不同程度地具有非线性特性，例如系统中应用的放大器的饱和特性，运动部件的间隙、摩擦和死区，弹性元件的非线性关系等等。非线性特性根据其处理方法不同可以分为本质非线性和非本质非线性两种。对于非本质的非线性特性，其输入、输出关系曲线没有间断点和折断点，且呈单值关系，因此当系统变量变化范围不大时，为便于研究，可简化为线性关系处理，这样可以应用相当成
13、熟的线性控制理论进行分析和讨论。对于本质非线性特性，其输入、输出关系或具有间断点和折断点，或具有非单值关系，这类系统需要用非线性控制理论来分析研究。1.3.4 1.3.4 连续和离散控制系统连续和离散控制系统1.1.连续控制系统连续控制系统当系统中各组成环节的输入、输出信号都是时间的连续函数时，称此类系统为连续控制系统，亦称模拟控制系统。连续控制系统的运动状态或特性一般是用微分方程来描述的。模拟式的工业自动化仪表以及用模拟式仪表来实现自动化过程控制的系统都属于连续控制系统。2.2.离散控制系统离散控制系统当系统中某些组成环节或元件的输入、输出信号在时间上是离散的，即仅在离散的瞬时取值时，称此类
14、系统为离散控制系统。离散系统与连续系统的区别仅在于信号只是特定的离散瞬时上的时间的函数。离散信号可由连续信号通过采样开关获得，具有采样功能的控制系统又称为采样控制系统。离散控制系统的运动状态或特性一般用差分方程来描述，其分析研究方法也不同于连续控制系统。1.3.5 1.3.5 单变量和多变量控制系统单变量和多变量控制系统1.1.单变量控制系统单变量控制系统在一个控制系统中，如果只有一个被控制的参数和一个控制作用来控制对象，则此系统为单变量控制系统，又叫单输入单输出系统。2.2.多变量控制系统多变量控制系统如果一个控制系统中的被控参数多于一个，控制作用也多于一个，且各控制回路相互之间有耦合关系，
15、则称这种系统为多变量控制系统，也叫多输入多输出系统。自动控制系统的分类方法除上述几种外还有很多，且各种分类方法只是人们站在不同的角度来看问题的一种方法，对于一个自动控制系统，可以用不同的方法来分类，但是这并不影响控制系统本身。1.4 自动控制系统示例自动控制系统示例 要分析一个实际的自动控制系统，首先要了解它的工作原理，明白系统的组成等，也就是要求我们明白如下一些问题：系统的被控对象是什么?哪些状态参量要求控制(亦即被控量是什么)?作用在被控对象上的主要干扰有哪些?操纵哪个机构可改变被控量?系统有哪些检测元件?检测的是被控量还是干扰?系统给定值(参考输入)或指令由哪个装置提供?如何实现各信号的
16、偏差计算和判断偏差?控制作用通过什么部件来实现?1.4.1 1.4.1 温度控制系统温度控制系统温度在很多场合是重要的被控参数之一，它与流量、压力等均属于典型的被控参数。图1-5所示为烘烤炉温度控制系统原理图。图1-5 烘烤炉温度控制系统原理图 根据图1-5可以知道，控制系统的任务是保持炉膛温度的恒定；系统的被控对象为烘烤炉；系统被控量为烘烤炉的炉膛温度；干扰量有工件数量、环境温度和煤气压力等；调节煤气管道上阀门开度可改变炉温；系统的检测元件是热电偶，它将炉膛温度转变为相应的电压量Ut；系统的给定装置为给定电位器，其输出电压Ug作为系统的参考输入，对应于给定的炉膛温度；系统的偏差为U，为炉温与
17、给定温度的偏差，由Ug和Ut计算得到（U=UgUt），两电压极性反接，就可完成减法运算；系统的执行机构为电动机、传动装置和阀门。炉温既受工件数量及环境温度的影响，又受由混合器输出的煤气流量的影响，因此，调整煤气流量便可控制炉温。烘烤炉温度控制系统的控制原理如下：假定炉温恰好等于给定值，这时Ug=Ut，(即U0)，故电动机和调节阀都静止不动，煤气流量恒定，烘烤炉处于给定温度状态。如果增加工件，烘烤炉的负荷加大，则炉温下降，温度下降将导致Ut减小，由于给定值Ug保持不变，则使U0，产生Ua使电动机转动，开大煤气阀门，增加煤气供给量，从而使炉温回升，直至重新等于给定值(即Ug=Ut)为止。这样在负荷
18、加大的情况下仍然保持了规定的温度。如果负荷减小或煤气压力突然加大，则炉温升高。Ut随之加大，U0，故电动机反转，关小阀门，减少煤气量，从而使炉温下降，直至等于给定值为止。由此看出，系统通过炉温与给定值之间的偏差来控制炉温，所以此控制系统是按偏差调节的自动控制系统。系统中除烘烤炉及供气设备外，其余统称温度控制装置或温度调节器。表示系统各功能部件之间相互联系的框图如图1-6所示。图中每个功能部件用一个方框表示，箭头表示信号的输入、输出通道。最右边的方框习惯于表示被控对象，其输出信号即为被控量，而系统的总输入量包括给定值和外部干扰。图1-6 烘烤炉温度控制系统方框图 1.4.2 位置随动系统位置随动
19、系统 图1-7所示为机床工作台位置随动系统的原理图。在图1-7所示的系统中，控制系统的任务是控制工作台的位置，使之按指令电位器给出的规律变化；系统的被控对象为工作台；被控量为工作台的位置；检量元件是反馈电位器W2，它将工作台的位置xc转变为相应的电压量uc；系统的给定装置为指令电位器W1，其输出电压ur作为系统的参考输入，以确定工作台的希望位置；系统的偏差为u，为工作台的希望位置与实际位置之差，由ur和uc计算得到（u=uruc）；系统的执行机构为直流伺服电动机、齿轮减速器和丝杠副。图1-7 机床工作台位置随动系统原理图 机床工作台位置随动系统的工作原理是：通过指令电位器W1的滑动触点给出工作
20、台的位置指令xr，并转换为控制电压ur。被控制工作台的位移xc由反馈电位器W2检测，并转换为反馈电压uc，两电位器接成桥式电路。当工作台位置xc与给定位置xr有偏差时，桥式电路的输出电压为u=uruc。设开始时指令电位器和反馈电位器滑动触点都处于左端，即xr=xc=0，则u=uruc=0，此时，放大器无输出，直流伺服电动机不转，工作台静止不动，系统处于平衡状态。当给出位置指令xr时，在工作台改变位置之前的瞬间，xc=0，uc=0，则电桥输出为u=uruc=ur0=ur，该偏差电压经放大器放大后控制直流伺服电动机转动，直流伺服电动机通过齿轮减速器和丝杠副驱动工作台右移。随着工作台的移动，工作台实
21、际位置与给定位置之间的偏差逐渐减小，即偏差电压u逐渐减小。当反馈电位器滑动触点的位置与指令电位器滑动触点的给定位置一致，即输出完全复现输入时，电桥平衡，偏差电压u=0，伺服电动机停转，工作台停止在由指令电位器给定的位置上，系统进入新的平衡状态。当给出反向指令时，偏差电压极性相反，伺服电动机反转，工作台左移，当工作台移至给定位置时，系统再次进入平衡状态。如果指令电位器滑动触点的位置不断改变，则工作台位置也跟着不断变化。图1-8 机床工作台位置随动系统方框图 此机床工作台位置随动系统的控制过程可用图1-8所示方块图表示。1.4.3 自动调速系统自动调速系统图1-9所示为自动调速系统原理图。由图可以
22、明确：控制系统的任务是保持工作机械恒转速运行；系统的被控对象为工作机械；被控量为电动机的转速n；系统的检测元件是测速发电机，它能将电动机的转速转变为相应的电压量Uf；系统的给定装置为给定电位器，其输出电压Ug作为系统的参考输入；系统的偏差为U，为系统给定量与反馈量之差，由Ug和Uf计算得到（U=UgUf）；系统的执行机构为直流电动机。图1-9 自动调速系统原理图 自动调速系统的工作原理是：测速发电机测量电动机的转速n，并将其转换为相应的电压Uf，与给定电位器的输出电压Ug进行比较，得到的偏差信号U经放大装置放大后控制电动机的工作电压Ud，而电压Uf即代表了系统所要求的转速。如果工作机械的负载增
23、大，使电动机转速下降，则测速发电机输出电压Uf减小，与给定电压Ug比较后的偏差电压（U=UgUf）增大，经放大后的触发控制电压Uk增大，从而使可控硅整流装置输出电压Ud增大，增大的Ud加在电动机电枢两端，则电动机的转速n将提高，从而使电动机转速得到补偿。图1-10 自动调速系统原理框图 这里是通过测量转速(与给定转速的偏差)来控制转速的，因此，调速系统亦称为按偏差调节的自动控制系统，其功能框图如图1-10所示。1.5 对自动控制系统的基本要求对自动控制系统的基本要求 1.1.稳定性稳定性对一个自动控制系统的首要要求是系统必须是稳定的。系统的稳定性指的是系统动态过程的振荡倾向和系统重新恢复平衡工
24、作状态的能力。如果系统受扰后偏离了原来的工作状态，而控制装置再也不能使系统恢复到原来的工作状态，并且越偏越远；或当输入信号变化以后，控制装置再也无法使受控对象跟随输入信号的运行，并且是越差越大，这样的系统称为不稳定系统，显然这样的系统是根本完不成控制任务的。图1-11所示为稳定系统和不稳定系统的示意图。图1-11 自动控制系统稳定性示意图(a)稳定系统；(b)不稳定系统 2.2.快速性快速性对系统快速性的要求，就是对系统动态特性的要求。快速性指的是系统动态过程进行的时间长短。过程时间持续很长，将使系统长久地出现大偏差，同时也说明系统响应迟钝，难以跟踪（复现）快速变化的输入信号。系统动态过程的时
25、间越短，反应就越快。图1-12所示为自动控制系统快速性的示意图。从图1-12中可以看出，曲线的快速性显然没有曲线好。图1-12 自动控制系统快速性示意图 3.3.准确性准确性所谓的准确性，指的是系统过渡到新的平衡工作状态以后，或系统受扰重新恢复平衡以后，系统最终保持的精度。准确性反映了系统动态过程后期的性能。这时系统的被控量对给定值的偏差，一般应该是很小的。由于被控对象的具体情况不同，各种系统对稳定性、快速性和准确性的要求是有所侧重的。例如随动系统对快速性要求较高，而调速系统对稳定性的要求就严格些。对于同一个系统来说，稳、快、准又是相互制约的。提高了系统的快速性，可能会引起系统强烈的振动；而改
26、善了系统的平稳性，控制过程又可能变得很迟缓，甚至使精度也很差。1.6 研究自动控制系统的方法研究自动控制系统的方法 对自动控制系统进行研究和分析，首先要对系统进行定性分析，搞清系统中各部分的地位和作用，以及它们之间的相互联系，并在此基础上搞清楚系统的工作原理。然后在定性分析的基础上，建立系统的数学模型，再应用自动控制理论对系统的稳定性、稳态性能和动态性能进行定量分析。在系统分析的基础上就可以找到改善系统性能、提高系统技术指标的有效途径，也就是系统的校正、设计和现场调试。自动控制理论分为经典控制理论和现代控制理论。经典控制理论是建立在传递函数概念基础之上的，它对单输入-单输出系统是十分有效的；现
27、代控制理论是建立在状态变量概念基础之上的，适用于复杂的多输入-多输出控制系统及变参数非线性系统，以实现自适应控制、最佳控制等。这里研究的自动控制系统，基本上都是单输入-单输出系统，所以应用的是经典控制理论。在经典控制理论中，又有时域分析法、频率分析法和根轨迹法等几种分析方法。由于这几种方法各有所长，所以长期以来是并行采用的。近年来，随着MATLAB软件的应用，使自动控制系统的研究方法发生了深刻的变革。如今在实际系统制作出来之前，可以应用MATLAB软件中的Simulink模块，对系统进行仿真与分析，并根据仿真结果，来调整系统的结构与参数。可以说，现在MATLAB软件已成为研究与分析自动控制系统
28、的有力工具之一。1.7 MATLAB软件及其应用简介软件及其应用简介1.有直观、简单的电气系统有直观、简单的电气系统SimPowerSystem（实体图形化仿真模型）（实体图形化仿真模型）在MATLAB的Simlink里，提供了一个实体图形化仿真模型库，并与数学模型库相对应。实体图形化模型库中的模块就是实际工程里实物的图形符号，例如，代表电阻、电容、电源、电机、触发器与晶闸管整流装置、电压表、电流表等实物的是特有图形符号，将这些实际物体的图形符号连接，就能成为一个电路、一个装置或是一个系统，它不是真实的物体，而是实际物体的图形化模型，这些实体图形化模型的仿真（有文献称为按系统原理图进行的仿真）
29、更具有实用价值且低成本。2.功能强大，适用范围广功能强大，适用范围广MATLAB可用于向量、数组、矩阵运算，复数运算，高次方程求根，插值与数值微商运算，数值积分运算，常微分方程的数值积分运算，数值逼近，最优化方法等，即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算，均可用MATLAB来解决。3.编程效率高编程效率高MATLAB语言提供了丰富的库函数（称为M文件），其中既有常用的基本库函数，又有种类齐全、功能丰富多样的工具箱Toolbox函数，在编制程序时，这些库函数都可以被直接调用，以大大提高编程效率。4.界面友好，界面友好，使用方便使用方便首先，MATLAB具有友好的用户界面与易学易用的
30、帮助系统，用户在命令窗里通过help命令可以查询某个函数的功能及用法，命令的格式极为简单（格式为help+命令或函数），初学者也不会望而生畏。其次，MATLAB程序设计语言把编辑、编译、连接、执行、调试等多个步骤融为一体，无论直接输入语句（命令），调用M文件，还是将MATLAB原程序编辑为M文件，都立即完成编译、连接和运行的全过程。如果运行M文件有错，计算机屏幕会给出详细的出错红色信息提示，让用户修改，直到正确为止。再者，在MATLAB中，既可执行程序（即M文件），又可通过人机对话，调用不同的库函数即子程序，方便快速地达到用户自己的目的，以实现MATLAB的交互功能。最后，MATLAB是演算纸
31、式的科学工程计算语言，使用MATLAB编程运算与人进行科学计算的思路和表达方式完全一样，用MATLAB编写程序，犹如在一张演算纸上排列书写公式，运算求解问题，十分方便。5.扩充能力强扩充能力强MATLAB系统不仅为用户提供了可直接调用的丰富的库函数，而且在MATLAB语言环境下，用户还可以根据需要，自行建立或扩充完成指定功能的M文件（即新的库函数），与MATLAB提供的系统里的库函数一样保存、使用，以提高MATLAB使用效率，并丰富、扩充它的功能。6.语句简单、内涵丰富语句简单、内涵丰富MATLAB最基本的语句结构是赋值语句，语句的一般形式为 变量名列表=表达式式中，等号左边的变量名列表为MA
32、TLAB的语句返回值，等号右边是表达式的定义，它可以是MATLAB允许的矩阵运算，也可以是MATLAB的函数调用。7.强大方便的图形功能强大方便的图形功能MATLAB提供了许多“高级”图形函数，可绘制出多姿多彩的图形，例如，绘制二维、三维曲线并对平面或空间多边形填充，绘制三维曲面并对其进行复杂操作等。MATLAB还开发了一些面向图形对象的“低级”图形函数，可以访问硬件系统建立各种“低级”图形对象，它们以图形句柄为界面，用户使用图形句柄可以操作图形的局部元素。MATLAB有一系列绘图函数命令，适用于不同的坐标体系，例如，线性坐标、对数坐标、半对数坐标、极坐标及三维坐标，只需调用不同的绘图函数命令
33、，即可在图上标出图形的标题，X轴、Y轴的标注，格（栅）绘制也只需调用相应的命令，简单易行。8.MATLAB的的“活活”笔记本功能笔记本功能MATLAB的Notebook成功地把Microsoft Word与MATLAB集成为一个整体，为文字处理、科学计算、工程设计构造了一个完美统一的工作环境。Notebook是一个能够解决各种计算问题的文字处理软件，只要在命令窗口中执行Notebook或者在Word环境中建立M-book模板，就可以进入一个新环境，在编辑科技文稿的同时可进行科学演算（数值的或者符号的），还可以作图，这些演算的结果可以即时显示于操作命令之后，在这个环境中输入的一切命令能够随时被激
34、活、修改、重新运算并更新原有结果，故Notebook称为MATLAB的“活”笔记本。对于撰写科技论文的工程技术人员，编写理工学科教材的教师，演算理工学科习题的广大学生等来说，MATLAB的Notebook确实是一个极为理想的工具。第2章 控制系统的数学模型 2.1 控制系统的微分方程控制系统的微分方程 2.2 拉普拉斯变换及应用拉普拉斯变换及应用2.3 传递函数传递函数 2.4 控制系统的动态结构图控制系统的动态结构图 2.5 典型环节的数学模型及阶跃响应典型环节的数学模型及阶跃响应 2.6 自动控制系统的传递函数自动控制系统的传递函数 2.7 MATLAB中数学模型的表示中数学模型的表示2.
35、1 控制系统的微分方程控制系统的微分方程 建立微分方程的一般步骤是：分析系统和元件的工作原理，找出各物理量之间所遵循的物理规律，确定系统的输入量和输出量。一般从系统的输入端开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写它们的微分方程。将各元件或环节的微分方程联立起来，消去中间变量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程，它就是系统的微分方程。将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的各项放在微分方程的右边，把与输出量有关的各项放在微分方程的左边，方程两边各阶导数按降幂排列，并将方程的系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。例例1:1:建立图2-1所示电路的微分方程。ur为输入
36、量，uc为输出量。.解：解：由基尔霍夫定律，列写方程 cRruuuRiuRdtduCic联立以上各式，消去中间变量得 rccuudtduRC将上式进行标准化处理，令T=RC，则 rccuudtduT式中：T称为该电路的时间常数。图2-1 RC无源网络 例例2：建立图2-2所示电路的微分方程。ur为输入量，uc2为输出量。图2-2 两级RC无源网络 解：由基尔霍夫定律，列写方程 11cRruuu221cRcuuu121ciii111iRuR222iRuRdtduCicc111dtduCic222联立以上各式，可得 rcccuudtduCRCRCRdtudCRCR222)(212211222211
37、将上式进行标准化处理，令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2,则 rcccuudtduTTTdtudTT222)(3212221例例3：建立图2-3所示直流电动机的微分方程。ud为输入量，n为输出量。解：解：直流电动机各物理量之间的基本关系如下：edtdiLiRudddddTdiKT nCeedtdnJTTLd图2-3 直流电动机运动模型 式中：，为电枢电压；e为电枢电动势；id为电枢电流；Rd为电枢电阻；Td为电磁转矩；TL为摩擦和负载转矩；为磁通；KT为电磁常数；Ke为电动势常数；n为转速；J为转动惯量；GD2为飞轮矩。联立以上各式得：kGDJ2minrsm375kLL2Tedd
38、e22dd1TtTKKRuKndtdndtnddmdm式中：m为电动机的机电时间常数，；2TedmKKJRd为电磁时间常数，dddRL。由上式可见，电动机的转速与电动机自身的固有参数m、d有关，与电动机的电枢电压ud、负载转矩TL以及负载转矩对时间的变化率有关。若不考虑电动机负载的影响，则 dem22dm1dddduKntntn2.2 拉普拉斯变换及应用拉普拉斯变换及应用2.2.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义设函数f(t)，t为实变量，s=+j为复变量，其线性积分：如果存在，就称其为函数f(t)的拉普拉斯变换(简称拉氏变换)，记作 ttfstde)(0ttftfLsFstde)()(
39、)(0拉氏变换是一种单值变换。f(t)和F(s)之间具有一一对应关系。通常称f(t)为原函数，F(s)为象函数。由拉氏变换的定义，可从已知的原函数求取对应的象函数，同样也可由象函数求取对应的原函数，表2-1是常用的原函数与象函数的对应表。表表2-1 原函数与象函数的对应表原函数与象函数的对应表2.2.2 拉普拉斯变换的几个基本定理拉普拉斯变换的几个基本定理1.线性定理线性定理如果F1(s)=Lf1(t)，F2(s)=Lf2(t)，且a、b均为常数，则有Laf1(t)bf2(t)=aLf1(t)bLf2(t)=aF1(s)bF2(s)2.微分定理微分定理如果F(s)=Lf(t)，则有)0()(d
40、)(dfssFttfL)0()0()(d)(d222fsfsFsttfL)0()0()0()(d)(d)1(21nnnnnnffsfssFsttfL当初始条件为零时，即式中f(t)及其各阶导数(最高阶为n1阶)在t=0时的值都为零，则上式可以写为)(d)(d2sFsttfLnnn3.积分定理积分定理如果F(s)=Lf(t)，则有 同样，当式中f(t)及其各重积分在t=0时的值都为零，则上式可以写为)0(1)(1d)()1(fssFsttfL)0(1)0(1)(1d)()2()1(22ffsfssFsttfL)0(1)0(1)(1d)()()1(ffsfssFsttfLnnnn)(1d)(sFs
41、ttfLnn 4.位移定理位移定理如果F(s)=Lf(t)，则有实数域中位移定理Lf(t)=esF(s)复域中的位移定理Letf(t)=F(s)5.终值定理终值定理 6.初值定理初值定理)(lim)(lim0ssFtfst)(lim)(lim0ssFtfst2.2.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换我们将拉普拉斯变换的逆运算称为拉氏反变换。上式为复变函数，很难直接计算。该式一般作为拉氏反变换的定义，而在实际应用中常采用下面的方法：先将F(s)分解为一些简单的有理分式函数之和，这些基本函数都是前面介绍的典型函数形式，然后由拉氏变换表查出其反变换函数，即得到了原函数。ssFjsFLtfjjstde)
42、(21)()(1设F(s)的一般表达式为式中，a1、an1、an以及b0、b1、bm1、bm为实数系数，m、n为正，且mn。nnnnmmmmasasasbsbsbsbsAsBsF1111110)()()(1.A(s)=0无重根无重根其中各项系数可按下式求得nnssCssCssCsAsBsF2211)()()(issiisFssC|)()(tsntstsnnnCCCssCssCssCLsFLtfeee)()(21212211112.A(s)=0有重根有重根上式中C1、Cr1、Cr为重根之系数，可按下式求解Cr+1、Cn为不重根之系数，其求解方法与无重根时相同。nnrrrrrrssCssCssCs
43、sCssCsAsBsF11111111)()()()()(1|)()(dd)!(11ssjrjrjrsFsstjrC故tsntsrtstsrtsrrnnrrrrrrnrCCCrCtrCssCssCssCssCssCLsFLtfeeee)!2(e)!1()()()()(111111111111111111例例4 已知F(s)=，求其拉氏反变换。解解：由A(s)=s2+4s+3=0,得s1=1，s2=3C1=F(s)(s+1)|s=1=2C2=F(s)(s+3)|s=3=1345)(2ssssF31)()()(21sCsCsAsBsF故 对上式进行拉氏反变换得到f(t)=2ete3t3112)3)
44、(1(5)(ssssssF例例5 已知，求其拉氏反变换。解:由A(s)=s2(s+2)=0得s1=s2=0，s3=2C1=F(s)s2|s=0=4C2=F(s)s2|s=0=2C3=F(s)(s+2)|s=2=22)()()(3122sCsCsCsAsBsF)2(8)(2sssF故 对上式进行拉氏反变换得到f(t)=4t22+2e2t2224)2(8)(22ssssssF2.2.4 控制系统微分方程的求解控制系统微分方程的求解用拉普拉斯变换求解微分方程的步骤如下：将微分方程进行拉氏变换，得到以s为变量的变换方程；解出变换方程，即求出输出量的拉氏变换表达式；将输出量的象函数展开成部分分式表达式；
45、对输出量的部分分式进行拉氏反变换，即可得微分方程的解。例例6 求图2-1所示电路中的uc。其中ur=1(t)，uc及各阶导数在t=0时的值为零。解：由例1知系统的微分方程为 在零初始条件下，对上式进行拉氏变换得到TsUc(s)+Uc(s)=Ur(s)由于ur=1(t)的拉氏变换为，则输出量的拉氏变换式为ssU1)(rsTssU111)(crccuudtduT将上式展开成部分分式表达式 取拉氏反变换得微分方程的解为TsssU111)(ctTu1ce1例例7 已知系统的微分方程为，y及各阶导数在t=0时的值为零。试求在x=1(t)时系统的输出y。解：对微分方程进行零初始条件下的拉氏变换s2Y(s)
46、+2sY(s)+Y(s)=X(s)由于x=1(t)的拉氏变换为,则输出量的拉氏变换式为xytytydd2dd22ssX1)(ssssY1121)(2将上式展开成部分分式表达式取拉氏反变换，得微分方程的解为y=1tetet11)1(11)(2cssssU2.3 传递函数传递函数 2.3.1 2.3.1 传递函数的定义传递函数的定义设描述系统或元件的微分方程的一般表示形式为)()(dd)(dd)(dd)()(dd)(dd)(dd0111101111trbtrtbtrtbtrtbtcatctatctatctammmmmmnnnnnn式中：r(t)为系统的输入量；c(t)为系统的输出量；为了便于分析系
47、统，规定控制系统的初始状态为零，即在t=0-时系统的输出：0)0()0()0(ccc这表明，在外作用加于系统的瞬时(t=0)之前，系统是相对静止的，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。所以，在初始条件为零时，对微分方程的一般表示式两边进行拉氏变换 )()()()()()()()(01110111sRbssRbsRsbsRsbsCassCasCsasCsammmmnnnn即)()()()(01110111sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn01110111)()(asasasabsbsbsbsRsCnnnnmmmm则有 令，称为系统或元件的传递函数，则可得传递函数的定义
48、为：在初始条件为零时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。即)s(R)s(C)s(G)()()(sRsCsG输入量的拉氏变换输出量的拉氏变换传递函数2.3.2 2.3.2 传递函数的求取传递函数的求取1 1 直接计算法直接计算法对于系统或元件，首先建立描述元件或系统的微分方程式，然后在零初始条件下，对方程式进行拉氏变换，即可按传递函数的定义求出系统的传递函数。例例8 8：试求取图2-3所示直流电动机的转速与输入电压之间的传递函数。解解：对求取的直流电动机的微分方程式进行拉氏变换后可得)(1)()()(dem2dmsUKsNssNsNs根据传递函数的定义，则其传递函数为 11)()()(
49、m2dmedssKsUsNsG2 2 阻抗法阻抗法求取无源网络或电子调节器的传递函数，采用阻抗法较为方便。电路中的电阻、电感、电容元件的复域模型电路如图2-4所示。其传递函数分别为RsIsUsG)()()(电阻元件 电感元件 LssIsUsG)()()(电容元件 CssIsUsG1)()()(图2-4 R、L、C元件的复域模型 例例9：试求图2-5(a)所示电路的传递函数，uo为输出量，ui为输入量。图2-5 RLC串联电路 解解：图2-5(a)所示电路的复域电路如图2-5(b)所示。由基尔霍夫定律得)(11)(iosUCsLsRCssU经整理得到系统的传递函数 11)()()(2ioRCsL
50、CssUsUsG例例10：试求取图2-6(a)所示电路的传递函数。uo为输出量，ui为输入量。图2-6 积分调节器 解：解：图2-6(a)所示电路的复域电路如图2-6(b)所示。由电子技术知识可得 RCssUsUsG1)()()(io3 3 利用动态结构图求取传递函数利用动态结构图求取传递函数对于较复杂的系统，应先求出元件的传递函数，再利用动态结构图和框图运算法则，可方便地求出系统的传递函数。该方法将在后面的内容中讨论。2.3.3 2.3.3 传递函数的性质传递函数的性质(1)传递函数是由微分方程变换得来的，它和微分方程之间存在着对应的关系。对于一个确定的系统(输入量与输出量也已经确定)，它的
