1、函数建模案例函数建模案例知识回顾解函数应用题的一般流程解函数应用题的一般流程审题审题建模建模求模求模还原还原弄清题意，分清条件和结论，弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系理顺数量关系。将文字语言转化为数学语言，将文字语言转化为数学语言，用数学知识建用数学知识建立相应的数学模型立相应的数学模型。求解数学模型求解数学模型，得到数学结论得到数学结论。将用数学方法得到的结论还原为实际问题将用数学方法得到的结论还原为实际问题。现在许多家庭都以燃气（天然气、煤气、液化气、沼气等）为烧水做饭的燃料，请同学简单的概述燃气灶烧水的环节。问题引入问题引入例例1 1 现在燃气价格不断上升，用燃气烧水做饭是必要的，
2、但怎样用气现在燃气价格不断上升，用燃气烧水做饭是必要的，但怎样用气才能做到节约。怎样烧开水最省燃气呢？才能做到节约。怎样烧开水最省燃气呢？问题提出省燃气的含义就是烧开一壶水的燃气用量少。省燃气的含义就是烧开一壶水的燃气用量少。烧水时是通过燃气灶上的旋钮控制燃气流量的，流量随着旋钮位置的烧水时是通过燃气灶上的旋钮控制燃气流量的，流量随着旋钮位置的变化而变化。由此可见，燃气用量与旋钮的位置是函数关系。变化而变化。由此可见，燃气用量与旋钮的位置是函数关系。于是，问题是：于是，问题是：旋钮在什么位置时烧开一壶水的燃气用量最少？旋钮在什么位置时烧开一壶水的燃气用量最少？设想，当旋钮转角非常小时，燃气流量
3、也非常小，甚至点火后的热量设想，当旋钮转角非常小时，燃气流量也非常小，甚至点火后的热量不足以将一壶水烧开，如果一直烧下去，燃气用量将无止境；不足以将一壶水烧开，如果一直烧下去，燃气用量将无止境；随着旋钮转角增大，即燃气流量渐渐增大。但旋钮转角很大时，燃气随着旋钮转角增大，即燃气流量渐渐增大。但旋钮转角很大时，燃气不一定充分燃烧，过分的热量也不能充分作用于水壶，会产生浪费，不一定充分燃烧，过分的热量也不能充分作用于水壶，会产生浪费，反而会使烧一壶开水的燃气用量增大。旋钮在什么角度用气量最小呢？反而会使烧一壶开水的燃气用量增大。旋钮在什么角度用气量最小呢？我们不可能测出所有旋钮转角对应的燃气用量值
4、，于是，试图经过实我们不可能测出所有旋钮转角对应的燃气用量值，于是，试图经过实验测出几组数据，然后用这些数据拟合函数，得到所求。验测出几组数据，然后用这些数据拟合函数，得到所求。分析理解1.给定燃气灶和一只水壶，因为燃气灶关闭时，燃气旋钮的位置为竖给定燃气灶和一只水壶，因为燃气灶关闭时，燃气旋钮的位置为竖直方向，我们把这个位置定为直方向，我们把这个位置定为0o；燃气开到最大时，旋钮转了；燃气开到最大时，旋钮转了90o.选择燃气灶旋钮的五个位置选择燃气灶旋钮的五个位置18o，36o，54o，72o，90o图象。图象。一、建立数学模型解决问题的方案一、建立数学模型解决问题的方案0183654729
5、03.利用数据拟合函数，建立旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的函利用数据拟合函数，建立旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的函数解析数解析式。式。4.利用函数解析式求最小用利用函数解析式求最小用气量。气量。5.对结果的合理性作出检验对结果的合理性作出检验分析。分析。2.在选好的五个位置上，分别记录烧开一壶水所需的时间和所用在选好的五个位置上，分别记录烧开一壶水所需的时间和所用的燃气的燃气量。量。一、建立数学模型解决问题的方案一、建立数学模型解决问题的方案项目项目位置位置燃气表开始时燃气表开始时读数读数/m3水开时燃气水开时燃气表读数表读数/m3所用燃气量所用燃气量/m318o9.0809.2100.130
6、36o8.9589.0800.12254o8.8198.9580.13972o8.6708.8190.14990o8.4988.6700.172 为减少实验误差，要保证每次烧水时水壶的起始温度是一样的为减少实验误差，要保证每次烧水时水壶的起始温度是一样的.所以，所以，在做实验之前，记录相关数据得到下表在做实验之前，记录相关数据得到下表:用表内数据，用横坐标表示旋钮位置，纵坐标表示烧开一壶用表内数据，用横坐标表示旋钮位置，纵坐标表示烧开一壶水燃气用量的点，在直角坐标系上标出各水燃气用量的点，在直角坐标系上标出各点。点。二、数学实验二、数学实验三、拟合函数三、拟合函数 从所选的从所选的5组数据可以
7、判断燃气用量与旋钮角度之间存在什么样的关系呢？组数据可以判断燃气用量与旋钮角度之间存在什么样的关系呢？0.20.118o 36o 54o 72o 90o 旋钮角度旋钮角度 燃气用量燃气用量/m3 0 0.1300.1220.1390.1490.172从图可以看出，从图可以看出，5个点显示出随着旋钮的角度逐渐增大，燃气个点显示出随着旋钮的角度逐渐增大，燃气用量有一个从小到大的过程。用量有一个从小到大的过程。在我们学习过的函数图像中，二次函数的图像与之最接近，因此可以在我们学习过的函数图像中，二次函数的图像与之最接近，因此可以用二次函数近似地表示这种变化。用二次函数近似地表示这种变化。三、拟合函数
8、三、拟合函数 为此，设函数式为为此，设函数式为y=ax2+bx+c：取三对数据可求出表达式的系数，：取三对数据可求出表达式的系数，不妨取不妨取(18，0.130)，(36，0.122)，(90，0.172)，得方程组，得方程组则函数解析式为则函数解析式为 求燃气用量最少时的旋钮位置，实际上是求函数求燃气用量最少时的旋钮位置，实际上是求函数的最小值点的最小值点x0 即燃气用量最少时旋钮的位置是旋转即燃气用量最少时旋钮的位置是旋转39度，这时的用气量为度，这时的用气量为四、求最小用气量四、求最小用气量39109033.12104722.12530abx 取旋转取旋转39度角，烧开一壶开水，所得实际
9、用气量是不是度角，烧开一壶开水，所得实际用气量是不是0.1218m3?如果基本吻合就可以依托此做结论了。如果基本吻合就可以依托此做结论了。如果相差大，特别是这个用量大于如果相差大，特别是这个用量大于0.122，最小值点就肯定不是，最小值点就肯定不是39度度了，说明这三对数据取的不好，可以换另外的点重新计算了，说明这三对数据取的不好，可以换另外的点重新计算.然后再检验。然后再检验。直至结果与实际比较接近就可以了。直至结果与实际比较接近就可以了。实际上，我们从已知的五对数据可以看出，如果取实际上，我们从已知的五对数据可以看出，如果取(18,0.130)，(36,0.122)，(54,0.139)，
10、函数的最小值点就小于，函数的最小值点就小于36。了。了。五、检验分析五、检验分析用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫做用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫做数学建模。数学建模。抽象概括实际情景提出问题数学模型数学结果可用结果检验合乎实际不合乎实际数学建模的过程如图：数学建模的过程如图：例例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高身高/cm60708090100110体重体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高身高/cm120130140150160170体重体重/kg20.9226.8631.1
11、138.8547.2555.05(1)根据表提供的的数据，能否建立一个恰当的函数模型，使它能近似根据表提供的的数据，能否建立一个恰当的函数模型，使它能近似地反映这个地区一体化未成年男性体重地反映这个地区一体化未成年男性体重y与身高与身高x的函数关系的函数关系?试试写出这个函数模型的关系式；写出这个函数模型的关系式；典例讲解(2)若体重超过相同身高男性体重的平均值的若体重超过相同身高男性体重的平均值的1.2倍为偏胖，低于倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175，体重为，体重为78的在校的在校男生的体重是否正常男生的体重是否正常?解：解：(1)以身
12、高为以身高为横坐标，体重横坐标，体重为为纵坐标，画纵坐标，画出散点图出散点图典例讲解典例讲解根据图中点的分布特点，设根据图中点的分布特点，设y=abx这一函数来近似刻画其关系这一函数来近似刻画其关系;解解(2)将将x=175代入代入y=21.02x，得，得y=21.02175用计算器得：用计算器得：y63.98，由于，由于7863.98 1.221.2,所以这个男生偏胖。所以这个男生偏胖。(2)若体重超过相同身高男性体重的平均值的若体重超过相同身高男性体重的平均值的1.2倍为偏胖，低于倍为偏胖，低于0.8倍倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为为偏瘦，那么这个地区一名身高为175，体重为，体重为78的在校男生的的在校男生的体重是否正常体重是否正常?典例讲解
