1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课堂达标 (四十六 ) 圆锥曲线的综合问题 A 基础巩固练 1已知点 A(0,2)和双曲线 x2 y24 1，过点 A 与双曲线只有一个公共点的直线的条数为( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析 设过点 A(0,2)的直线为 y kx 2.由? y kx 2，x2 y24 1，得 (4 k2)x2 4kx 8 0.当 k2 4 即 k 2 时，方程只有一解，即只有一个交点当 k24 ，方程有一解时 ( 4k)2 4(4 k2)( 8) 0， k2 8， k 2 2，为切线斜率，共有 4 条直线故选 D. 答案 D 2 (2018 嘉定模拟 )过点 P(1
2、,1)作直线与双曲线 x2 y22 1 交于 A， B 两点，使点 P 为AB 中点，则这样的直线 ( ) A存在一条，且方程为 2x y 1 0 B存在无数条 C存在两条，方程为 2x( y 1) 0 D不存在 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 2， y1 y2 2，则 x21 12y21 1， x22 12y22 1， 两式相减得 (x1 x2)(x1 x2) 12(y1 y2)(y1 y2) 0，所以 x1 x2 12(y1 y2)，即 kAB 2，故所求直线方程为 y 1 2(x 1)，即 2x y 1 0. 联立? y 2x 1，x2 12y2 1
3、可得 2x2 4x 3 0，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在故选 D. 答案 D 3若直线 y kx 2 与双曲线 x2 y2 6 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是( ) A.? ? 153 ， 153 B.? ?0， 153 =【 ;精品教育资源文库 】 = C.? ? 153 ， 0 D.? ? 153 ， 1 解析 由? y kx 2，x2 y2 6 得 (1 k2)x2 4kx 10 0. 设直线与双曲线右支交于不同的两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则? 1 k20 ， 16k2 k2 ，x1 x2 4k1 k20，x1x2 101 k2 0，解得 15
4、3 0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其准线于点 A， B， C，若 |BC| 2|BF|，且 |AF| 3，则抛物线的方程是 _ 解析 如图，分别过点 A， B 作准线的垂线 AE， BD，分别交准线于点 E， D，则 |BF| |BD|， |BC| 2|BF|， |BC| 2|BD|， BCD 30 ，又 |AE| |AF| 3， |AC| 6，即点 F 是 AC 的中点，根据题意得 p 32， 抛物线的方程是 y2 3x. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 y2 3x 10已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为22 .直线 y
5、 k(x 1)与椭圆 C 交于不同的两点 M， N. (1)求椭圆 C 的方程； (2)当 AMN 的面积为 103 时，求 k 的值 解 (1)由题意得? a 2，ca22 ，a2 b2 c2，解得 b 2， 所以椭圆 C 的方程为 x24y22 1. (2)由? y k x ，x24y22 1，得 (1 2k2)x2 4k2x 2k2 4 0. 设点 M， N 的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)， 则 y1 k(x1 1)， y2 k(x2 1)， x1 x2 4k21 2k2， x1x22k2 41 2k2， 所以 |MN| x2 x1 2 y2 y1 2 k2 x1 x
6、2 2 4x1x2 2 k2 6k21 2k2 . 又因为点 A(2,0)到直线 y k(x 1)的距离 d |k|1 k2， 所以 AMN 的面积为 S 12|MN| d |k| 4 6k21 2k2 ，由|k| 4 6k21 2k2 103 ，解得 k 1. B 能力提升练 1 (2018 河南洛阳统考 )已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)斜率为 1 的直线过双=【 ;精品教育资源文库 】 = 曲线 C 的左焦点且与该双曲线交于 A， B 两点，若 OA OB 与向量 n ( 3， 1)共线，则双曲线 C 的离心率为 ( ) A. 3 B.2 33 C.43 D 3
7、 解析 由题意得直线方程为 y x c，代入双曲线的方程并整理可得 (b2 a2)x22a2cx a2c2 a2b2 0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2 2a2cb2 a2， y1 y2 x1 x2 2c2b2cb2 a2， OA OB ? ?2a2cb2 a2，2b2b2 a2 ， 又 OA OB 与向量 n ( 3， 1)共线， 2a2cb2 a2 32b2cb2 a2， a2 3b2， 又 c2 a2 b2， e ca 2 33 . 答案 B 2 (2018 丽水一模 )斜率为 1 的直线 l 与椭圆 x24 y2 1 相交于 A， B 两点，则 |AB|
8、的最大值 为 ( ) A 2 B.4 55 C.4 105 D.8 105 解析 设 A， B 两点的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)，直线 l 的方程为 y x t， 由? x2 4y2 4，y x t 消去 y，得 5x2 8tx 4(t2 1) 0. 则 x1 x2 85t， x1x2 t25 . |AB| 1 k2|x1 x2| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 2 ? ? 85t 2 4 t25 =【 ;精品教育资源文库 】 = 4 25 5 t2， 当 t 0 时， |AB|max 4 105 . 答案 C 3如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分
9、别为 a， b(a0)经过 C， F 两点，则 ba _. 解析 由正方形的定义可知 BC CD，结合抛物线的定义得点 D 为抛物线的焦点，所以 |AD| p a， D(p2， 0)， F(p2 b， b)，将点 F 的坐标代入抛物线的方程得 b2 2p(p2 b)a2 2ab，变形得 (ba)2 2ba 1 0，解得 ba 1 2或 ba 1 2(舍去 )，所以 ba 1 2. 答案 1 2 4已知双曲线 C： x2 y23 1，直线 y 2x m 与双曲线 C 的右支交于 A， B 两点 (A 在B 的上方 )，且与 y 轴交于点 M，则 |MB|MA|的取值范围为 _ 解析 由? y 2
10、x m，3x2 y2 3 0 可得 x2 4mx m2 3 0， 由题意得方程在 1， ) 上有两个不相 等的实根， 设 f(x) x2 4mx m2 3，则? 2m1，f ，0 ，得 m1， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)(x11 得， |MB|MA|的取值范围为 (1,7 4 3) 答案 (1,7 4 3) 5设抛物线过定点 A( 1,0)，且以直线 x 1 为准线 (1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程； (2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M， N，且线段 MN 恰被直线 x 12平分，设弦 MN的垂直平分线的方程为 y kx m，试求 m 的取值范围 解 (1)
11、设抛物线顶点为 P(x， y)， 则焦点 F(2x 1， y) 再根据抛物线的定义得 |AF| 2，即 (2x)2 y2 4， 所以轨迹 C 的方程为 x2 y24 1. (2)设弦 MN 的中点为 P? ? 12， y0 ， M(xM， yM)， N(xN， yN)， 则由点 M， N 为椭圆 C 上的点，可知? 4x2M y2M 4，4x2N y2N 4. 两式相减，得 4(xM xN)(xM xN) (yM yN)(yM yN) 0， 将 xM xN 2 ? ? 12 1， yM yN 2y0， yM yNxM xN 1k代入上式得 k y02. 又点 P? ? 12， y0 在弦 MN
12、 的垂直平分线上，所以 y0 12k m.所以 m y0 12k 34y0. 由点 P? ? 12， y0 在线段 BB 上 ? ?B ， B为直线 x 12与椭圆的交点，如图所示 ， 所以 yB y0yB， 也即 3y0 3. 所以 3 34 m3 34 ，且 m0. =【 ;精品教育资源文库 】 = C 尖子生专练 (2018 山 东省烟台市期末 )已知 ABC 的两个顶点 A， B 的坐标分别为 (0， 3)， (0，3)，且 AC， BC 所在直线的斜率之积等于 m(m0) (1)求顶点 C 的轨迹 的方程，并判断轨迹 为何种曲线； (2)当 m 34时，设点 P(0,1)，过点 P
13、作直线 l 与曲线 交于 E， F 两点，且 FP 13PE ，求直线 l 的方程 解 (1)令 C 点坐标为 (x， y)， 则直线 AC 的斜率 k1 y 3x ， 直线 BC 的斜率 k2 y 3x ， 所以有 k1k2 y 3x y 3x y2 3x2 m， 化简得， m3x2 y23 1(x0) 所以当 m 1 时， 表示以 (0,0)为圆心， 3为半径的圆， 且除去 (0， 3)， (0， 3)两点； 当 m 1 时，轨迹 表示焦点在 y 轴上的椭 圆， 且除去 (0， 3)， (0， 3)两点；当 1 m 0 时， 轨迹 表示焦点在 x 轴上的椭圆， 且除去 (0， 3)， (0
14、， 3)两点； 当 m 0 时，轨迹 表示焦点在 y 轴上的双曲线， 且除去 (0， 3)， (0， 3)两点 (2)由题意知当 m 34时曲线 C 为 x24y23 1(x0) ， 当直线 l 的斜率不存在时，不符合题意 设直线 l 的方程为 y kx 1， 代入椭圆方程整理得 (3 4k2)x2 8kx 8 0. 设 E(x1， y1)， F(x2， y2)， 由 FP 13PE 得， x1 3x2. 由韦达定理得 x1 x2 8k3 4k2， x1x2 83 4k2， 所以 x2 4k3 4k2， x22 8 4k2 ，消去 x2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 解得 k 62 ， 所以直线 l 的方程为 y 62 x 1.
