1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课堂达标 (四十八 ) 定点、定值、探索性问题 A 基础巩固练 1 (2018 北京西城区模拟 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率 e22 ，短轴长为2 2. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)如图，椭圆左顶点为 A，过原点 O 的直线 (与坐标轴不重合 )与椭圆 C 交于 P， Q 两点，直线 PA， QA 分别与 y 轴交于 M， N 两点试问以 MN 为直径的圆是否经过定点 (与直线 PQ 的斜率无关 )？请证明你的结论 解 (1)由短 轴长为 2 2，得 b 2， 由 e ca a2 b2a 22 ，得 a2 4， b2 2.
2、 所以椭圆 C 的标准方程为 x24y22 1. (2)以 MN 为直径的圆过定点 F( 2， 0) 证明如下： 设 P(x0， y0)，则 Q( x0， y0)， 且 x204y202 1，即 x20 2y20 4， 因为 A( 2,0)，所以直线 PA 方程为 y y0x0 2(x 2)， 所以 M? ?0， 2y0x0 2，直线 QA 方程为 y y0x0 2(x 2)， 所以 N? ?0， 2y0x0 2，以 MN 为直径的圆为 (x 0)(x 0) ? ?y 2y0x0 2 ? ?y 2y0x0 2 0， 即 x2 y2 4x0y0x20 4y 4y20x20 4 0， 因为 x20
3、 4 2y20，所以 x2 y2 2x0y0y 2 0， 令 y 0，则 x2 2 0，解得 x 2. 所以以 MN 为直径的圆过定点 F( 2， 0) =【 ;精品教育资源文库 】 = 2已知椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的左焦点 F1( 1,0)，长轴长与短轴长的比是 2 3. (1)求椭圆的方程； (2)过 F1作两直线 m， n 交椭圆于 A， B， C， D 四点， 若 m n，求证： 1|AB| 1|CD|为定值 解析 (1)由已知得? 2a 2b 2 3，c 1，a2 b2 c2.解得 a 2， b 3. 故所求椭圆方程为 x24y23 1. (2)证明：由已知 F1(
4、 1,0)，当直线 m 不垂直于坐标轴时， 可设直线 m 的方程为 y k(x 1)(k0) 由? y k x ，x24y23 1，得 (3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0. 由于 0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则有 x1 x2 8k23 4k2， x1x24k2 123 4k2 ， |AB| k2 x1 x2 2 4x1x2 k2 ? ? ? 8k23 4k22 4 4k2 123 4k2 k23 4k2 . 同理 |CD| k23k2 4 . 所以 1|AB| 1|CD| 3 4k2 k2 3k2 4 k2 k2 k2 712. 当直线 m 垂直于坐标轴时，此
5、时 |AB| 3， |CD| 4； 或 |AB| 4， |CD| 3，所以 1|AB| 1|CD| 13 14 712. 综上， 1|AB| 1|CD|为定值 712. 3 (2018 安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测 )椭圆 E： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为33 ，=【 ;精品教育资源文库 】 = 点 ( 3， 2)为椭圆上的一点 (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)若斜率为 k 的直线 l 过点 A(0,1)，且与椭圆 E 交于 C， D 两点， B 为椭圆 E 的下顶点，求证：对于任意的 k，直线 BC， BD 的斜率之积为定值 解 (1)因为 e 33 ，所以 c 33
6、a， a2 b2 ? ?33 a 2. 又椭圆过点 ( 3， 2)，所以 3a2 2b2 1. 由 ，解得 a2 6， b2 4， 所以椭圆 E 的标准方程为 x26y24 1. (2)证明：设直线 l： y kx 1，联立? x26y24 1，y kx 1，得 (3k2 2)x2 6kx 9 0. 设 C(x1， y1)， D(x2， y2)，则 x1 x2 6k3k2 2， x1x2 93k2 2， 易知 B(0， 2)， 故 kBC kBD y1 2x1 y2 2x2 kx1 3x1 kx2 3x2 k2x1x2 3k x1 x2 9x1x2 k2 3k x1 x2x1x2 9x1x2
7、k2 3k 2k3 (3k2 2) 2. 所以对于任意的 k，直线 BC， BD 的斜率之积为定值 4 (高考全国 卷 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C： y x24与直线 l： y kx a(a 0)交于 M， N 两点， (1)当 k 0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有 OPM OPN？说明理由 解 (1)由题设可得 M(2 a， a)， N( 2 a， a)， 或 M( 2 a， a)， N(2 a， a) =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 y x2，故 y x24在 x 2 a处的导数值为 a， C 在点
8、 (2 a， a)处的切线方程为 y a a(x 2 a)， 即 ax y a 0. y x24在 x 2 a处的导数值为 a， C 在点 ( 2 a， a)处的切线方程为 y a a(x 2 a)，即 ax y a 0. 故所求切线方程为 ax y a 0 和 ax y a 0. (2)存在符合题意的点，证明如下： 设 P(0， b)为符合题意的点， M(x1， y1)， N(x2， y2)，直线 PM， PN 的斜率分别为 k1， k2. 将 y kx a 代入 C 的方程得 x2 4kx 4a 0. 故 x1 x2 4k， x1x2 4a. 从而 k1 k2 y1 bx1 y2 bx2
9、2kx1x2 a b x1 x2x1x2 k a ba . 当 b a 时，有 k1 k2 0， 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补， 故 OPM OPN，所以点 P(0， a)符合题意 B 能力提升练 1 (2018 山东省实验中学高三段考 )如图，椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)经过点 (0,1)，离心率 e 32 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 x my 1 与椭圆 C 交于 A， B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 A( A 与 B不重合 )，则直线 A B 与 x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由
10、 解 (1)依题意可得? b 1ca32a2 b2 c2，解得 a 2， b 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以，椭圆 C 的方程是 x24 y2 1 (2)由? x24 y2 1x my 1，得 (my 1)2 4y2 4， 即 (m2 4)y2 2my 3 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 A( x1， y1)，且 y1 y2 2mm2 4， y1y2 3m2 4. 经过点 A( x1， y1)， B(x2， y2)的直线方程为 y y1y2 y1 x x1x2 x1.令 y 0， 则 x x2 x1y2 y1y1 x1 x2 x1 y1 x1 y1 y2
11、y1 y2 x2y1 x1y2y1 y2. 又 x1 my1 1， x2 my2 1， 当 y 0 时， x my2 y1 my1 y2y1 y2 2my1y2 y1 y2y1 y2 6mm2 4 2mm2 4 2mm2 4 4， 这说明，直线 A B 与 x 轴交于定点 (4,0) 2如图，椭圆长轴的端点为 A， B， O 为椭圆的中心， F 为椭圆的右焦点，且 AF FB 1，|OF | 1. (1)求椭圆的标准方程； (2)记椭圆的上顶点为 M，直线 l 交椭圆于 P， Q 两点，问：是否存在直线 l，使点 F 恰为 PQM 的垂心，若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 解
12、(1)设椭圆方程为 x2a2y2b2 1(ab0)，则 c 1， 又 AF FB (a c)( a c) a2 c2 1. a2 2， b2 1，故椭圆的标准方程为 x22 y2 1. (2)假设存在直线 l 交椭圆于 P， Q 两点， 且 F 恰为 PQM 的垂心，设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， =【 ;精品教育资源文库 】 = M(0,1)， F(1,0)， 直线 l 的斜率 k 1. 于是设直线 l 为 y x m，由? y x m，x22 y2 1， 得 3x2 4mx 2m2 2 0， x1 x2 43m， x1x2 2m2 23 . MP FQ x1(x2 1) y
13、2(y1 1) 0. 又 yi xi m(i 1,2)， x1(x2 1) (x2 m)(x1 m 1) 0，即 2x1x2 (x1 x2)(m 1) m2 m 0.(*) 将 代入 (*)式得 2 2m2 23 4m3(m 1) m2 m 0，解得 m 43或 m 1，经检验 m 43符合条 件 故存在直线 l，使点 F 恰为 PQM 的垂心， 直线 l 的方程为 3x 3y 4 0. C 尖子生专练 已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点， T 为直线
14、x 3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C于点 P， Q. 证明： OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点 )； 当 |TF|PQ|最小时，求点 T 的坐标 解 (1)由已知可得 ? a2 b2 2b，2c 2 a2 b2 4，解得 a2 6， b2 2. 所以椭圆 C 的标准方程是 x26y22 1. (2) 由 (1)可得， F 的坐标为 ( 2,0)， 设 T 点的坐标为 ( 3， m)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则直线 TF 的斜率 kTF m 0 3 m. 当 m0 时，直线 PQ 的斜率 kPQ 1m， 直线 PQ 的方程是 x my 2. 当 m 0 时
15、，直线 PQ 的方程是 x 2，也符合 x my 2 的形式 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得? x my 2，x26y22 1，消去 x，得 (m2 3)y2 4my 2 0，其判别式 16m2 8(m2 3) 0. 所以 y1 y2 4mm2 3， y1y2 2m2 3， x1 x2 m(y1 y2) 4 12m2 3. 所以 PQ 的中点 M 的坐 标为 ? ? 6m2 3， 2mm2 3 ， 所以直线 OM 的斜率 kOM m3. 又直线 OT 的斜率 kOT m3， 所以点 M 在直线 OT 上，因此 OT 平分线段 PQ. 由 可得， |TF| m2 1， |PQ| x1 x2 2 y1 y2 2， m2 y1 y2 2 4y1y2 m2 ? ? ?4mm2 32 4 2m2 3 24 m2m2 3 . 所以 |TF|PQ| 124 m2 2m2 1 124 ? ?m2 1 4m2 1 4 124 33 . 当且仅当 m2 1 4m2 1，即 m 1 时，等号成立，此时 |TF|PQ|取得最小值 所以当 |TF|PQ|最小时， T 点的坐标是 ( 3,1)或 ( 3， 1)
