1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪训练 (五十二 ) 抛物线 基础巩固 一、选择题 1若抛物线 y2 2px 的焦点与双曲线 x23 y2 1 的右焦点重合，则 p 的值为 ( ) A 4 B 4 C 2 D 2 解析 抛物线的焦点坐标为 ? ?p2， 0 ， 由双曲线的方程可知 a2 3， b2 1， 所以 c2 a2 b2 4，即 c 2， 所以右焦点为 (2,0)，所以 p2 2， p 4. 答案 B 2 (2018 广东湛 江一中等四校第二次联考 )抛物线 y2 2px 上横坐标为 4 的点到此抛物线焦点的距离为 9，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ( ) A 4 B 9 C
2、10 D 18 解析 抛物线 y2 2px 的焦点为 ? ?p2， 0 ，准线为 x p2.由题意可得 4 p2 9，解得 p 10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为 p 10. 答案 C 3 (2016 全国卷 )设 F 为抛物线 C： y2 4x 的焦点，曲线 y kx(k0)与 C 交于点 P，PF x 轴，则 k ( ) A.12 B 1 C.32 D 2 解析 抛物线 C 的焦点坐标为 F(1,0)， PF x 轴， xP xF 1.又 y2P 4xP， y2P4. yP kxP(k0)， yP 2， k xPyP 2.故选 D. 答案 D 4 (2017 全国卷 )过抛物线 C：
3、y2 4x 的焦点 F，且斜率为 3的直线 交 C 于点 M(M在 x 轴的上方 )， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN l，则 M 到直线 NF 的距离为 ( ) A. 5 B 2 2 C 2 3 D 3 3 解析 解法一：依题意，得 F(1,0)，则直线 FM 的方程是 y 3(x 1)由=【 ;精品教育资源文库 】 = ? y 3 x ，y2 4x， 得 x13或 x 3.由 M 在 x 轴的上方，得 M(3,2 3)，由 MN l，得 |MN| |MF| 3 1 4，又 NMF 等于直线 FM 的倾斜角，即 NMF 60 ，因此 MNF 是边长为 4的等边三角形，点 M
4、到直线 NF 的距离为 4 32 2 3，选 C. 解法二：依题意，得直线 FM 的倾斜角为 60 ，则 |MN| |MF| 21 cos60 4，又 NMF 等于直线 FM 的倾斜角，即 NMF 60 ，因此 MNF 是边长为 4 的等边三角形，点 M 到直线 NF 的距离为 4 32 2 3，选 C. 答案 C 5已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F，准线为 l，点 P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA l，垂足为 A， |PF| 4，则直线 AF 的倾斜角等于 ( ) A.712 B.23 C.34 D.56 解析 由抛物线定义知 |PF| |PA|， P 点坐标为 (3， 2 3)，
5、所以 A 点坐标为 (1,2 3)， AF 与 x 轴夹角为 3 ，所以直线 AF 的倾斜 角为 23 ，选 B. 答案 B 6设抛物线 C： y2 2px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上， |MF| 5.若以 MF 为直径的圆过点 (0,2)，则 C 的方程为 ( ) A y2 4x 或 y2 8x B y2 2x 或 y2 8x C y2 4x 或 y2 16x D y2 2x 或 y2 16x 解析 由已知得抛物线的焦点 F? ?p2， 0 ，设点 A(0,2)，抛物线上点 M(x0， y0)，则 AF?p2， 2 ， AM ? ?y202p， y0 2 .由已知得， AF AM
6、 0，即 y20 8y0 16 0，因而 y0 4， M? ?8p， 4 .=【 ;精品教育资源文库 】 = 由 |MF| 5 得， ? ?8p p2 2 16 5，又 p0，解得 p 2 或 p 8，故选 C. 答案 C 二、填空题 7已知抛物线 y2 4x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A， B 两点，过 A， B 分别作 y 轴垂线，垂足分别为 C， D，则 |AC| |BD|的最小值为 _ 解析 由题意知 F(1,0)， |AC| |BD| |AF| |FB| 2 |AB| 2，即 |AC| |BD|取得最小值时，当且仅当 |AB|取得最小值由抛物线定义知，当 |AB|为通径，即 |
7、AB| 2p 4时，取得最小值，所以 |AC| |BD|的最小值为 2. 答案 2 8 (2017 武汉市武昌区高三三调 )已知抛物线 ： y2 8x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 P 在 上且 |PK| 2|PF|，则 PKF 的面积为 _ 解析 由已知得， F(2,0)， K( 2,0)，过 P 作 PM 垂直于准线，则 |PM| |PF|，又 |PK| 2|PF|， |PM| |MK| |PF|， PF x 轴， PFK 的高等于 |PF|，不妨设 P(m2， 2 2m)(m0)，则 m2 2 4，解得 m 2，故 PFK 的面积 S 42 2 2 12 8. 答案 8
8、9 (2016 沈阳质量监测 )已知抛物线 x2 4y 的焦点为 F，准线为 l， P 为抛物线上一点，过 P 作 PA l 于点 A，当 AFO 30( O 为坐标原点 )时， |PF| _. 解析 设 l 与 y 轴的交点为 B，在 Rt ABF 中， AFB 30 ， |BF| 2，所以 |AB|2 33 ，设 P(x0， y0)，则 x0 2 33 ，代入 x2 4y 中，得 y013，从而 |PF| |PA| y0 143. 答案 43 三、解答题 10已知抛物线 y2 2px(p0)的焦点为 F， A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点， A 到抛物线准线的距离等于 5
9、，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B， OB 的中点为 M. (1)求抛物线的方程； (2)若过 M 作 MN FA，垂足为 N，求点 N 的坐标 解 (1)抛物线 y2 2px 的准线为 x p2，于是 4 p2 5， p 2， 抛物线方程为y2 4x. (2) 点 A 的坐标是 (4,4)，由题意得 B(0,4)， M(0,2) 又 F(1,0)， kFA 43. =【 ;精品教育资源文库 】 = MN FA， kMN 34. 又 FA 的方程为 y 43(x 1)， 故 MN 的方程为 y 2 34x，解方程组得 x 85， y 45， N 的坐标为 ? ?85， 45 . 能
10、力提升 11已知抛物线 x2 4y 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 的中点到 x 轴的最短距离为( ) A.34 B.32 C 1 D 2 解析 由题意知，抛物线的准线 l： y 1，过点 A 作 AA1 l 交 l 于点 A1，过点 B作 BB1 l交 l于点 B1，设弦 AB的中点为 M，过点 M作 MM1 l交 l于点 M1，则 |MM1| |AA1| |BB1|2 .因为 |AB| AF| |BF|(F 为抛物线的焦点 )，即 |AF| |BF|6 ，当直线 AB 过点 F 时，等号成立，所以 |AA1| |BB1|6,2| MM1|6 ， |MM1|3 ，故点 M 到 x
11、轴的距离 d2 ，选 D. 答案 D 12 (2016 全国卷 )以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于D， E 两点已知 |AB| 4 2， |DE| 2 5，则 C 的焦点到准线的距离为 ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 解析 如图，设圆的方程为 x2 y2 R2(R0)，抛物线方程为 y2 2px(p0)， A(m， n)， 抛物线 y2 2px 关于 x 轴对称，圆关于 x 轴对称，且 |AB| 4 2， |yA| 2 2， xA y2A2p 4p. A 在圆上， 16p2 8 R2. 由抛物线 y2 2px 知，它的准线方程为 x p2， =
12、【 ;精品教育资源文库 】 = |DE| 2 5， R2 p24 5. 联立 可解得 p 4， C 的焦点到准线的距离为 4.故选 B. 答案 B 13 (2017 全国卷 )已知 F 是抛物线 C： y2 8x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则 |FN| _. 解析 解法一：依题意，抛物线 C： y2 8x 的焦点 F(2,0)，准线 x 2，因为 M 是 C上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N， M 为 FN 的中点，设 M(a， b)(b0)，所以 a 1， b 2 2，所以 N(0,4 2)， |FN| 4 32 6.
13、 解法二：依题意，抛 物线 C： y2 8x 的焦点 F(2,0)，准线 x 2，因为 M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N， M 为 FN 的中点，则点 M 的横坐标为 1，所以 |MF| 1 ( 2) 3，|FN| 2|MF| 6. 答案 6 14 (2017 山东潍坊期末 )已知点 A 为抛物线 M： x2 2py(p0)与圆 N： (x 2)2 y2r2在第二象限的一个公共点，满足点 A 到抛物线 M 准线的距离为 r.若抛物线 M 上动点到其准线的距离与到点 N 的距离之和的最小上值为 2r，则 p _. 解析 圆 N： (x 2)2 y2 r2的圆心 N( 2,0)
14、，半径为 r.设抛物线 x2 2py 的焦点为F? ?0， p2 ，则 |AN| |AF| 2r. 由抛物线 M 上一动点到其准线与到点 N 的距离之和的最小值为 2r，即动点到焦点 F 与到点 N 的距离之和的最小值为 2r， 可得 A， N， F 三点共线，且 A 为 NF 的中点 由 N( 2,0)， F? ?0， p2 ，可得 A? ? 1， p4 ，代入抛物线 M 的方程可得， 1 2p p4，解得 p 2. 答案 2 15 (2017 河北廊坊期末质量监测 )我国唐代诗人王维诗云： “ 明月松间照，清泉石上流 ” ，这里的明月和清泉都是自然景物，没有变，形容词 “ 明 ” 对 “
15、清 ” ，名词 “ 月 ” 对“ 泉 ” ，词性不变，其余各词均如此变化中的不变性质，在文学和数学中都广泛存在比如我们利用几何画板软件作出抛物线 C： x2 y 的图象 (如图 )，过焦点 F 作直线 l 交 C 于 A，B 两点，过 A， B 分别作 C 的切线，两切线交于点 P，过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于点 N，拖动点 B 在 C 上运动，会发现 |NP|NF|是一个定值，试求出该定值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 由题意，得线段 AB 是过抛物线 x2 y 焦点 F 的弦过 A， B 两点分别作抛物线的切线，两切线相交于 P 点，则 P 点在抛物线的准线上下面给出证明： 由抛物线 C： x2 y，得其焦点坐标为 F? ?0， 14 . 设 A(x1， x21)， B(x2， x22)，直线 l： y kx 14. 将直线 l 的方程代入抛物线 C 的方程 x2 y，得 x2 kx 14 0. x1x2 14. 又 抛物线 C 的方程为 y x2，求导得 y 2x， 抛物线 C 在点 A 处的切线的斜率为 2x1，切线方程为 y x21 2x1(x x1)； 抛物线 C 在点 B 处的切线的斜率为 2x2，切线方程为 y x22 2x2(x x2) 由 得 y 14. 点 P 的
