1、 第一章 行列式知识点名称内容1.二阶行列式：2 = |3 = | =1121311222321323| =2.三阶行列式：33 +31 +32 31 2211221223132113二阶行列式33与三阶行列33 32。11 231221式2223|， 21 = | 1213|， 31 = |1213|23引入三个二阶行列式：11 = |32333233221 = (1) +1( = 1,2,3)，即 11 = 11， 21 = 21， 31 = 31，称 1为元 1在 3中1为元 1在 3中的代数余子式。1的余子式，称3.N阶行列式由 n行、n列元素组成，记为：n阶行列式4.行列式展开定理：
2、n阶行列式D = | | 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即:行列式展开定理D =，n)1 +2 + ( = 1,2， ，n)或D =+ 2( = 1,2，121125.6.7.上三角和下三角行列式计算，只需对角线数字相乘即可。行列式和它的转置行列式相等，即 D=D。用数 k乘行列式 D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于 kD。这也就是说，行列式可以按行和按列提出公因数。行列式的性质8.9.互换行列式的任一两行（列），行列式的值改变符号。推论：如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于零。如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于零。10. 行
3、列式可以按行（列）拆开。11. 把行列式 D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为 D。行列式的计算12. 利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（1），在按行或按列提取公因子 k时，必须在新的行列式前面乘上 k。1 / 13. 把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质 6在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按包含 0最多的行或列展开.14. 设含有 n个方程的 n元线性方程组为：如果其系数行列式则方程组必
4、有唯一解：克拉默法则其中，是 D中第列换成常数项后得到的行列式15. 设含有个方程的元齐次线性方程组：如果其行列式值不等于零，则该方程组只有零解：第二章 矩阵知识点名称矩阵的相等内容16. 设A = ()，B = ( ) ，若 m=k，n=l且=，i=1,2, ,m;j=1,2, ,n,则称矩阵 A与矩阵 B相等，记为 A=B。矩阵的加、减法17. 只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可以相加。设 A,B,C都是 mn矩阵，O是 mn零矩阵，则交换律：A+B=B+A;结合律：（A+B）+C=A+（B+C）;A+O=O+A=A;消去率A+C=B+C,则 A=B.18. 对于任意一个矩阵A = (1
5、9. 结合律：（ ）) 和任意一个数 k，规定 k与 A的乘积为kA = (k)数乘运算=() =， 和为任意实数。分配率 ( ) = , ( + ) =+， 和为任意实数。乘法运算20. 矩阵乘法结合律（AB）C=A(BC).2 / 21. (A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC.22. 两种乘法的结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB),k为任意数。23.= ,24. 设 A为一个m n矩阵，把 A中行与列互换，得到一个n m矩阵，称其为 A的转置矩阵，记为 A a11 a 12= （其中，分别为 m阶和 n阶单位矩阵）T，即：La1n aa21 L am111矩阵的转置a2
6、1 a22 L a2n a12 a22 L am2 A = ， AT=MM MMM Mam2 L amn a2n L amn nmaa1nm1mnn维行（列）向量的转置矩阵为 n维列（行）向量.25. 设为一个阶方阵，则由 A中元素按原来的顺序构成的一个阶行列式，成为方阵 A的行列式，记为A。方阵的行列式26. 矩阵的行数和列数未必相等，但行列式的行数和列数必须相等。27. 方阵的行列式的性质：设 A，B为阶方阵，为数，则：（）（）（）。28. 任意给定一个多项式 f (x) = amxm + am1xm1m定义一个 n阶方阵 f（A）= amA + am1A+m1 +L+ a1A+ a0En
7、。称 f (A)为 A的方阵多项式，+ a1x + a0和任意给定一个 n阶方阵 A，都可以方阵多项式它也是一个 n阶方阵.注意：在方阵多项式中，末项必须是数量矩阵a0En而不是常数a0，方阵多项式是以多项式形式表示的方阵.129. 设 A,B为同阶的可逆矩阵，常数 k0，则：（1）A1为可逆矩阵，且（A1） = 。（2） AB1为可逆矩阵，且（AB） = B1A1。设 1, 2, 是 m个同阶的可逆矩阵，则2 也可1逆，且(2 1)1 =111 11（3）kA为可逆矩阵，且(kA)(-1)=1/k A(-可逆矩阵1)。（4）A 为可逆矩阵，且(kA)1 = 1 A1。（5）可逆矩阵可以从矩阵
8、等式的同侧消去。即当 P为可逆矩阵时，有 PA=PBA=B；AP=BPA=B。（6）设 A是 n阶可逆矩阵。我们记 0 =E ，并定义 k = (A1) ，其中 k是任意正整数。则有k=k+，( k) = k 。这里，k和 l为任意整数（包括负整数、零和正整数）。30. 设A = ( ) ，为|A|的元 的代数余子式（i，j=1,2,，n，）,则矩阵1112212212)称为 A的伴随矩阵，记为A。n阶方阵 A为可逆矩阵，则|A|0，反之亦伴随矩阵(12成立。求逆矩阵公式A1 = 1 A。推论：设 A,B均为 n阶矩阵，并且满足 AB=E ，则 A，B都|3 / 可逆，且A1 = ，B1 =
9、。31. 可逆矩阵 A的逆矩阵是唯一的。32. n阶方阵 A可逆 A 0，且 A1 = 1 A*.方阵可逆条件和求逆运算率A33. 设 A，B均为 n阶方阵，且满足 AB = E，则 A，B都可逆，且 A = B，B1 = A .1分块矩阵的转置34. 分块矩阵转置时，不但看做元素的子块要转置，而且每个子块是一个子矩阵，它内部也要转置，这一现象不妨称为“内外一起转”35. 设矩阵 A = (aij) ， B = (bij) ，利用分块矩阵计算乘积 AB时，应使左边矩阵 A的列分块方mpp n式与右边矩阵 B的行分块方式一致，然后把矩阵的子块当做元素来看待，并且相乘时， A的各子块分别左乘 B的
10、对应的子块.分块矩阵的乘法和分块矩阵求逆C11 C12LLC1t C21 C22C2t AB = C = M MMCCr 2 L Crtr1其中Cij = Ai1B1 j + Ai2B2 j +L+ AisBsj（i =1,2,L,r， j =1,2,L,t）36. 互换矩阵中两行（列）的位置；37. 用一个非零常数 k乘 A某一行（列）；初等变换38. 用一个数乘 A某一行（列）以后加到另一行（列）上.注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵作初等变换是变换过程用“”连接前后矩阵.39. Di(k)左（右）乘 A就是用非零数 k乘 A的第i行（列
11、）.40. Tij (k)左乘 A就是把 A中第 j行的k倍加到第i行上.j41. Tij (k)右乘 A就是把 A中第i行的k倍加到第 行上.初等方阵42. 任意一个mn矩阵 A，一定可以经过有限次初等行变换和初等列变换化成如下形式的mn矩Er O 阵：这是一个分块矩阵，其中 r为 阶单位矩阵，而其余子块都是零块矩阵.称ErO O矩阵的等价标准形Er OO O为 A的等价标准形。注意：等价标准形中的 r总是不变的，它由 A完全确定.43. 对于任意一个m n矩阵 ，一定存在m阶可逆矩阵P和 n阶可逆矩阵Q，使得E O PAQ = rO O4 / 44. 设 A是n阶可逆矩阵， B是nm矩阵，
12、求出矩阵 X 满足AX = B .原理 若找到n阶可逆矩阵 P使 PA = E ，则 P = A1，而且有 P(A,B)= (PA,PB)= (En, A1B)n上式右边矩阵的最后m列组成的矩阵就是 X ，即 X = A1B .用矩阵的初等变换求解矩阵方阵()()45. 方法：用初等行变换把分块矩阵(A, B)化成 E, A1B，即 A,B(E, A1B .设 A是n阶可逆矩阵， B是mn矩阵，求出矩阵 X 满足为 X = BA1，而不可以写成 X = A1B .XA = B .注意：矩阵方程 XA = B的解化成(E , BA T)( 1) ，可求出 X T = (BA1) .具体过程为T方
13、法:用初等行变换把(AT ,BT )(AT , BT ) (En, X T )n( )46. 设 A =a，则r(A)min m,n ijmn47. r(AT )= r(A)，实际上， A与AT中的最高阶非零子式的阶数必相同.矩阵的秩48. n阶方阵 A为可逆矩阵 A 0 r(A)= n .所以，可逆矩阵常称为满秩矩阵.秩为m的mn矩阵称为行满秩矩阵.秩为n的mn矩阵称为列满秩矩阵.49. 满足以下两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵（）若存在全零行（元素全为零的行），则全零行都位于矩阵中非零行的下方（）各非零行中从左边数起的第一个非零元素的列指标随着行指标的递增而严格增大。阶梯形矩阵50. 设元线性
14、方程组为矩阵与线性方程组可以表示成矩阵形式 A，其中 A（）为线性方程组的系数矩阵，称为未知列向量，为常数列矩阵。当时，方程组为齐次线性方程组。线性方程组的增广矩阵是一个（）矩阵。对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解。第三章 向量空间知识点名称内容5 / 51. 如果 n维向量a = (a1,a2,L,an)与 n维向量b = (b1,b2,L,bn)的对应分量都相等，即ai = bi(i =1,2,L,n)，则称向量a 与b 相等，记作a = b .a = (a1,a2,L,an)， b = (b
15、1,b2,L,bn)，则a 与b 的和是向量n52. （向量的加法）设 维向量a + b = (a1 + b1,a2 + b2,L,an + bn)。53. （数与向量的乘法）设a = (a1,a2,L,a )n是一个 维向量，k为一个数，则数k与a 的乘积称n为数乘向量，简称为数乘，记作ka，并且ka = (ka1,ka2,L,kan)。54. 向量的运算律：设a,b,g 都是 维向量，nk,l是数，则：n维向量及其线性运算a + b = b +a（加法交换律）；(a + b +g = a + b +g （加法结合律）；)()a +J = a ；a +(a)=J；1a = a ；k(a +
16、b)= ka + kb （数乘分配律）；(k + l)a = ka + la（数乘分配律）；(kl)a = k(la)（数乘向量结合律）.55. 任意一个含零向量的向量组必为线性相关组。56. 单个向量a 线性相关 a = 0；单个向量a 线性无关 a 0。存在不全为零的数k,l，使得ka + lb =J，即a = l bn57. 两个非零的 维向量a,b 线性相关k线性相关性概念k或 b = a。la ,a 2,L,a1A = (a1,a2,L,an)的行列式不等于 0。n ,线性无关矩阵58. n个 维列向量n59. 当m n时，m n个 维列向量a1,a 2,L,a m一定线性相关.这是
17、由于当m n时，齐次线性方程组 Ax = 0中的变量个数 大于方程个数 ,它必有可以任意取值的自由变量，因此，它必有非零mn解。60. 求线性相关系数的方法如下：设a1,a 2, ,a m为m n个 维列向量，则a1,a 2, ,a m线性相关求相关系数的方法存在m个不全为零的数 k1a1 + k2a 2 +L+ kma m = 0 . m元齐次线性方程组 x1a1 + x2a2 + + xmam = 0有非零解，即 Ax = 0有非零解.非零6 / 解就是一个相关系数.矩阵 A = (a1,a2, ,am)的秩小于m。61. 向量组 T与它的任意一个极大无关组等价，因而 T的任意两个极大无关
18、组等价。R = a1,a 2,L,a r和S = b1,b2,L,bs，且已知向量组 R可由向量组Sn62. 设有两个 维向量组向量组的极线性表出。大线性无关若r s，则 R必为线性相关组.组若 R为线性无关组，则必有r s63. 任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等。64. 一个向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相同。向量组的秩及极大无关组的求法65. 对矩阵施行初等变换，不改变它的行秩和列秩。66. 设 A为mn阵，则r(A)= A的行秩= A的列秩。第四章 线性方程组知识点名称内容67. 齐次线性方程组关于解的结论：Ax = 0的解的全体所组成的向量集合V = x |
19、 Ax = 0，V 有以下性质：性质 1 若x1,x2是齐次线性方程组Ax = 的解，则x1 +x2也是0Ax = 0的解.x性质 2 若 是齐次线性方程组 Ax = 0的解，k是任意实数，则kx也是 Ax = 0的解68. 齐次线性方程组的基础解系与通解。设x1,x2,L,xs为齐次线性方程组 Ax = 0的一个解向量集，如果它满足以下两个条件：x1,x2,L,xs是线性无关的向量组；Ax = 0的任意一个解 都可表示为x1,x2,L,xs的线性组合，即齐次线性方程组的解xx = k1x1 + k2x2 +L+ k xk ,k2,L,kss，1s是常数.则称x1,x2,L,xs是 Ax =
20、0的一个基础解系.定理 1 设 A是mn矩阵，r(A)= r，则Ax = 0的基础解系中的解向量个数为nr；Ax = 0的任意nr个线性无关的解向量都是它的基础解系.推论（1）：设 A是mn矩阵，则a. Ax = 0只有零解 r(A)= n；此时， Ax = 0没有基础解系；b. Ax = 0有非零解 r(A) n；此时， Ax = 0有无穷多个基础解系（基础解系的解向量有7 / nr个）.当m n时， Ax = 0必有非零解，因此必有无穷多个基础解系.（2）当 A是 阶方阵时， Ax = 0只有零解 A 0； Ax = 0有非零解 A = 0 .n注意：基础解系必须满足三个条件： 基础解系中
21、每一个向量都是 Ax = 0的解； 基础解系的向量个数必须为nr； 基础解系的向量组线性无关.设向量组x1,x2,L,xnr是 Ax = 0的任意一个基础解系，则其通解为:x = k1x1 + k2x2 +L+ k xnrk ,k2,L,knr，这里1nr为任意实数.齐次线性方程组的通解的求法69. 对方程组 Ax = 0先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解，从中也能求出一个基础解系。70. 设 Ax = b为 元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是= b有解时，即r(A,b)= r(A)= r时，那么， Ax = b有唯一解nr(A,b)= r(A)。n非齐次线
22、性方程组有解条件71. 当 元非齐次线性方程组 Axr = n；（2） Ax = b有无穷多解 r n。72. n元齐次线性方程组 Ax = b有非零解的充要条件是r( A) = r n。设 A为 阶方阵，则 元齐次线性方程组 Ax = b有非零解 A = 0。nn设 A为m n矩阵，且m 0 ,i =1,2,L,n。107.设 A与 B是两个合同的实对称矩阵，则 A为正定矩阵当且仅当 B为正定矩阵108. 同阶正定矩阵之和必为正定矩阵。109. n阶对称矩阵 A = (aij)是正定矩阵 A的nn个特征值全大于零。具有以下推论：（1） 阶对称( )nn( )是正定矩阵A = aij矩阵 A = a是正定矩阵 A的正惯性指数为 ；（2） 阶对称矩阵ij A合同于单位矩阵；（3）任意两个同阶的正定矩阵必是合同矩阵.（4） 阶对称矩阵n( )是正定矩阵 AA = a的 个顺序主子式 Dk 0, k =1,2,L,n .nij12 /
