1、第7章 扭转7.1扭转的概念 工程中有些杆件如车床中的主轴、传动轴工程中有些杆件如车床中的主轴、传动轴,汽车方向盘下的转向轴汽车方向盘下的转向轴AB(图图7-1a)、攻螺纹用丝锥的锥杆、攻螺纹用丝锥的锥杆(图图7-1b)等等,均属于受扭转的杆件。均属于受扭转的杆件。图7-1 它们都有相同的受力特点和变形形式它们都有相同的受力特点和变形形式,从而均可抽象为如图从而均可抽象为如图7-2所示的所示的力学模型。由图可见力学模型。由图可见,它们的受力和变形特点是它们的受力和变形特点是:在杆件的两端作用有两在杆件的两端作用有两个大小相等、转向相反个大小相等、转向相反,且作用面垂直于杆件的轴线的力偶且作用面
2、垂直于杆件的轴线的力偶,致使杆件的致使杆件的任意两个横截面发生绕杆轴作相对转动的变形。这种变形称为扭转。任意两个横截面发生绕杆轴作相对转动的变形。这种变形称为扭转。扭转时两个横截面相对转动的角度扭转时两个横截面相对转动的角度,称为扭转角称为扭转角,一般用一般用表示表示(图图7-2)。以扭转变形为主的杆件通常称为轴。截面形状为圆形的轴称为圆轴以扭转变形为主的杆件通常称为轴。截面形状为圆形的轴称为圆轴,圆圆轴在工程上是常见的一种受扭转的杆件。轴在工程上是常见的一种受扭转的杆件。图7-27.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 工程中作用于轴上的外力偶矩有时并不直接给出工程中作用于轴上的外力偶矩有时并不直接
3、给出,而往往给出轴的转速和而往往给出轴的转速和所传递的功率所传递的功率,它们的换算关系为它们的换算关系为 9 549i)7 1/m n(kWeN mPMn r式中式中,Me为外力偶矩为外力偶矩,单位为单位为Nm(牛牛米米);P为轴传递的功率为轴传递的功率,单位为单位为kW(千千瓦瓦);n为轴的转速为轴的转速,单位为单位为r/min(转转/分分)。7.2.1功率、转速和外力偶矩间的关系功率、转速和外力偶矩间的关系 对于图对于图7-3a所示的圆轴所示的圆轴,为分析其内力为分析其内力,按截面法按截面法,在轴的任一横截面在轴的任一横截面nn处假想地把圆轴截开分成左、右两部分处假想地把圆轴截开分成左、右
4、两部分,保留左部分保留左部分,考虑其平衡。在考虑其平衡。在外力偶矩外力偶矩Me作用下作用下,截面截面nn上必有与上必有与Me转向相反的内力偶转向相反的内力偶,设其矩为设其矩为T(图图7-3b),由平衡条件得由平衡条件得 内力偶矩内力偶矩T称为扭矩。称为扭矩。eTMeTM7.2.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 扭矩的符号规定如下扭矩的符号规定如下:按右手螺旋法则按右手螺旋法则,用拇指指向表示用拇指指向表示T的矢量方向的矢量方向,当当扭矩方向与截面的外法线方向一致时定为正号扭矩方向与截面的外法线方向一致时定为正号,相反时为负号相反时为负号(图图7-4)。按。按照这一符号规定
5、照这一符号规定,图图7-3b中所示扭矩中所示扭矩T为正。当保留右部分时为正。当保留右部分时(图图7-3c),所得所得扭矩的大小、符号与按保留左半部分的计算结果相同。扭矩的大小、符号与按保留左半部分的计算结果相同。图7-4 若作用于轴上的外力偶矩多于两个若作用于轴上的外力偶矩多于两个,则在轴各段的横截面上则在轴各段的横截面上,扭矩不尽扭矩不尽相同相同,这时往往用图线形象地表示截面上扭矩沿轴线变化的情况。如这时往往用图线形象地表示截面上扭矩沿轴线变化的情况。如以平行于轴线的坐标表示横截面的位置以平行于轴线的坐标表示横截面的位置,垂直于轴线的坐标表示相应垂直于轴线的坐标表示相应截面上的扭矩截面上的扭
6、矩,这样绘成的图形称为扭矩图。图这样绘成的图形称为扭矩图。图7-3d为图为图7-3a所示轴的所示轴的扭矩图。扭矩图。7.3薄壁圆筒的扭转切应力互等定理 剪切胡克 定律 薄壁圆筒指的是壁厚薄壁圆筒指的是壁厚远小于其平均半径远小于其平均半径r0的圆筒的圆筒(图图7-6a)。当其两端作。当其两端作用一对大小相等、转向相反的外力偶矩用一对大小相等、转向相反的外力偶矩Me时时,即发生扭转变形。即发生扭转变形。在施加外力偶矩之前在施加外力偶矩之前,可先在圆筒表面上画出一系列纵向线和距筒端稍可先在圆筒表面上画出一系列纵向线和距筒端稍远处的圆周线。施加外力偶矩远处的圆周线。施加外力偶矩Me后后,当圆筒产生不大
7、的扭转角当圆筒产生不大的扭转角(图图7-6c)时时,可以观察到如下现象可以观察到如下现象:7.3.1薄壁圆筒的扭转切应变的概念薄壁圆筒的扭转切应变的概念图7-61)各圆周线形状、大小和间距均无改变各圆周线形状、大小和间距均无改变,只是绕轴线相对旋转了不同的只是绕轴线相对旋转了不同的角度。角度。2)各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度。由于圆筒沿纵向和周向均无尺寸改变由于圆筒沿纵向和周向均无尺寸改变,且筒沿这两个方向的变形并未且筒沿这两个方向的变形并未受到约束受到约束,故它沿纵向和周向将不会有正应力。故它沿纵向和周向将不会有正应力。若以筒的横截面及径向截面从筒中截取微小的直角
8、六面体若以筒的横截面及径向截面从筒中截取微小的直角六面体abcd如图如图7-6d所示所示,则上述角度则上述角度就是此微小直角六面体上原矩形就是此微小直角六面体上原矩形abcd的直角改变的直角改变量。这种直角改变量称为量。这种直角改变量称为切应变切应变。直角六面体发生切应变直角六面体发生切应变,在它的侧面上必有切应力作用在它的侧面上必有切应力作用,根据切应变根据切应变的的倾斜方位倾斜方位,可以断定切应力可以断定切应力的方向与过该点的半径垂直的方向与过该点的半径垂直,其指向顺同其指向顺同T的的转向。由于所有纵向线的倾角转向。由于所有纵向线的倾角相同相同,说明沿圆周上各点的切应变相等说明沿圆周上各点
9、的切应变相等,因而可知在同一圆周上各点的切应力因而可知在同一圆周上各点的切应力也大小相等。由于筒壁很薄也大小相等。由于筒壁很薄,故故可近似地认为切应力沿壁厚均匀分布可近似地认为切应力沿壁厚均匀分布,如图如图7-6e所示。所示。在横截面上取一微面积在横截面上取一微面积dA=r0d,则作用在其上的微内力为则作用在其上的微内力为dA(图图7-6e)。由静力分析可知由静力分析可知,在整个截面上所有这些微内力矩之和即为截面上的扭在整个截面上所有这些微内力矩之和即为截面上的扭矩矩T,即即22000=2TArdAdr 得薄壁圆筒截面上切应力的计算公式为得薄壁圆筒截面上切应力的计算公式为20(72)2TTr从
10、几何关系可得从几何关系可得(3)7L式中式中,为筒两端面的扭转角为筒两端面的扭转角;、r、r0、L的含义见图的含义见图7-6a。将图将图7-6d中微小直角六面体尺寸取为中微小直角六面体尺寸取为ab=dy,bc=dx,厚度用厚度用dz表示表示,即如图即如图7-7所示。称该微小直角六面体为单元体。所示。称该微小直角六面体为单元体。图7-77.3.2切应力互等定理切应力互等定理 由力偶的平衡条件可由力偶的平衡条件可得 =(7-4)此式表明此式表明,通过物体内一点处两个互相垂直的截面上垂直于两截面交通过物体内一点处两个互相垂直的截面上垂直于两截面交线的切应力线的切应力,必然数值相等必然数值相等,其方向
11、均指向或背离此交线。这一关系称其方向均指向或背离此交线。这一关系称为为切应力互等定理切应力互等定理。图图7-7所示单元体的四个侧面上所示单元体的四个侧面上,只有切应力而无正应力只有切应力而无正应力,这种情况称这种情况称为为纯剪切应力状态纯剪切应力状态。切应力互等定理虽然是以纯剪切的情况证明。切应力互等定理虽然是以纯剪切的情况证明的的,但是当单元体上同时存在正应力时但是当单元体上同时存在正应力时,仍然成立仍然成立,它是具有普遍意义的。它是具有普遍意义的。从薄壁圆筒的扭转试验可以得到与拉伸图相似的从薄壁圆筒的扭转试验可以得到与拉伸图相似的T-图图(图图7-8),其中有其中有一部分是直线一部分是直线
12、,利用式利用式(7-2)、式、式(7-3)即可以从此图得到切应力即可以从此图得到切应力与切应变与切应变间的关系图线间的关系图线(图图7-9),其中其中,直线部分说明直线部分说明与与成正比成正比,即有即有 =G(7-5)7.3.3剪切胡克定律剪切胡克定律图7-8图7-9 这一关系称为这一关系称为剪切胡克定律剪切胡克定律。式中。式中,比例常数比例常数G称为材料的切变模量称为材料的切变模量,它反映了材料抵抗剪切变形的能力。它反映了材料抵抗剪切变形的能力。G值也随材料而异值也随材料而异,可由试验测定。可由试验测定。G和和E的单位和量纲相同。的单位和量纲相同。图图7-9中直线部分最高点的切应力值称为中直
13、线部分最高点的切应力值称为剪切比例极限剪切比例极限,用用p表表示示,其值也随材料而不同其值也随材料而不同,需由试验测定。当切应力超过这一极限需由试验测定。当切应力超过这一极限值时值时,式式(7-5)所表达的关系不再成立。所表达的关系不再成立。7.4圆轴扭转时的应力和变形1.几何方面几何方面图7-10如果认为轴内变形与其表面变形相似如果认为轴内变形与其表面变形相似,那么可以假定那么可以假定:变形后横截面仍保持平面变形后横截面仍保持平面,其形状、大小与间距均不改变其形状、大小与间距均不改变,半径仍为直线半径仍为直线,此假设称为此假设称为圆轴扭转的平面假设圆轴扭转的平面假设。7.4.1圆轴扭转时横截
14、面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力 根据上述假设根据上述假设,若用相距若用相距dx的两个横截面以及夹角无限小的两个径向的两个横截面以及夹角无限小的两个径向截面从轴中切取一楔形体截面从轴中切取一楔形体O1O2ABCD(图图7-11a)则其变形如图则其变形如图7-11b所示所示,轴表面矩形轴表面矩形ABCD变为平行四边形变为平行四边形ABCD,距轴线距轴线处的矩形处的矩形abcd变为平变为平行四边形行四边形abcd,即均产生剪切变形。即均产生剪切变形。图7-11 设所切楔形体左、右两截面间相对转角即扭转角为设所切楔形体左、右两截面间相对转角即扭转角为d(DO2D),矩形矩形abcd的切应变为的切应
15、变为dad,则由图中可以看出则由图中可以看出ddxddtanaa dx()da或式中式中,代表扭转角沿杆轴的变化率。对于同一截面代表扭转角沿杆轴的变化率。对于同一截面,为常数为常数,可见切应变可见切应变与与成正比。成正比。ddxddx2.物理方面物理方面 由剪切胡克定律可知由剪切胡克定律可知,在线弹性范围内在线弹性范围内 =G将式将式(a)代入上式代入上式,得横截面上半径为得横截面上半径为处的切应力为处的切应力为dx)d(Gb其方向则垂直于半径其方向则垂直于半径(图图7-11c),因为剪切变形发生在垂直于半径的平面内。因为剪切变形发生在垂直于半径的平面内。式式(b)表明表明:圆轴横截面上的扭转
16、切应力圆轴横截面上的扭转切应力与到轴心的距离与到轴心的距离成正比成正比,即切应即切应力大小沿半径方向按直线规律变化力大小沿半径方向按直线规律变化;在离圆心等远的各点处在离圆心等远的各点处,切应力值均切应力值均相等。实心圆截面轴和空心圆截面轴的扭转切应力分布情况分别如图相等。实心圆截面轴和空心圆截面轴的扭转切应力分布情况分别如图7-12a和图和图7-12b所示。所示。图7-123.静力学方面静力学方面图7-13如图如图7-13所示所示,在距圆心在距圆心处的微面积处的微面积dA上作用微剪力上作用微剪力dA,它对圆心的微它对圆心的微力矩为力矩为dA。在整个横截面上。在整个横截面上,所有这些微力矩之和
17、应该等于该截面上所有这些微力矩之和应该等于该截面上的扭矩的扭矩T,因此因此AdAT将式将式(b)代入上式代入上式,并令并令2(7)6pAIdA 2dddxdxApGdAGIT则则由此得由此得p)77dx(dTGI 此即此即圆轴扭转变形圆轴扭转变形的基本公式。式中的基本公式。式中,Ip称为圆截面的称为圆截面的极惯性矩极惯性矩,它是一个只与横截面几何尺寸有关的量。它是一个只与横截面几何尺寸有关的量。p(7)8TI式式(7-8)为圆轴扭转时为圆轴扭转时,横截面上任意一点处切应力计算横截面上任意一点处切应力计算公式。公式。/()()279tpDWIWt称为抗扭截面系数称为抗扭截面系数,是一个仅与横截面
18、几何尺寸有关是一个仅与横截面几何尺寸有关的量。的量。t7 10()maxTW圆轴的最大扭转切应力圆轴的最大扭转切应力从式从式(7-7)得得p()7 11TddxGI当两横截面间扭矩当两横截面间扭矩T为常量为常量,且轴为同一材料等截面圆轴时且轴为同一材料等截面圆轴时,对上式沿对上式沿x轴积轴积分即为分即为p(l7 12)TGI上式所求扭转角上式所求扭转角的单位为弧度。由上式可见的单位为弧度。由上式可见GIp越大越大,在同样扭矩作用在同样扭矩作用下下,扭转角扭转角越小越小,所以称所以称GIp为圆轴的为圆轴的抗扭刚度抗扭刚度。7.4.2圆轴扭转时的变形计算圆轴扭转时的变形计算实心圆截面轴实心圆截面轴
19、43()/32()/16IpDWtD，Ip的量纲为的量纲为L4,Wt的量纲为的量纲为L3。7.4.3极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数7.5圆轴扭转时的强度和刚度计算 为保证轴安全地工作为保证轴安全地工作,要求轴内最大切应力必须小于材料的许用扭转切应要求轴内最大切应力必须小于材料的许用扭转切应力力,因此圆轴扭转的强度条件为因此圆轴扭转的强度条件为t7 1)5(maxTW7.5.1强度计算强度计算式中的许用扭转切应力式中的许用扭转切应力,是根据扭转试验并考虑适当的安全因数确定的。是根据扭转试验并考虑适当的安全因数确定的。它与许用拉应力有如下的近似关系它与许用拉应力有如下的近似关系:对于
20、塑性材料对于塑性材料=(0.50.6)t对于脆性材料对于脆性材料=(0.81.0)t由式由式(7-7)有有pddxTGI为保证轴的刚度为保证轴的刚度,通常规定单位长度扭转角的最大值通常规定单位长度扭转角的最大值max不能超过许用单不能超过许用单位长度扭转角位长度扭转角,即即maxp 7 16()maxTGI式式(7-16)称为称为扭转刚度条件扭转刚度条件,式中式中,的单位为的单位为rad/m(弧度弧度/米米)。7.5.2刚度计算刚度计算7.6非圆截面杆扭转简介 实验表明实验表明,非圆截面杆受扭后横截面已不再保持平面非圆截面杆受扭后横截面已不再保持平面,而变成了曲面而变成了曲面,这一这一现象称为
21、现象称为截面翘曲截面翘曲,如图如图7-17b所示为矩形截面杆所示为矩形截面杆(图图7-17a)受扭后的变形受扭后的变形情况。情况。图7-17 经研究表明经研究表明:矩形截面杆扭转时横截面上切应力分布规律如图矩形截面杆扭转时横截面上切应力分布规律如图7-17c所示。在图中画出了沿横截面边缘和对称轴上的切应力分布情况。所示。在图中画出了沿横截面边缘和对称轴上的切应力分布情况。从图上可见从图上可见,截面边缘各点处的切应力的方向均平行于周边截面边缘各点处的切应力的方向均平行于周边(或与周边或与周边相切相切);角点和中心处切应力为零角点和中心处切应力为零,最大切应力最大切应力max发生在长边中点发生在长
22、边中点A处处;在短边中点在短边中点B处的切应力也有相当大的数值。处的切应力也有相当大的数值。其计算公式如下其计算公式如下:最大切应力最大切应力短边中点处的切应力短边中点处的切应力单位长度扭转角单位长度扭转角2/(Ta)(7 18)maxThbBmax3/()(7 19)Thb G式中式中,hb2为矩形截面的抗扭截面系数为矩形截面的抗扭截面系数;hb3为矩形截面的相当极惯性为矩形截面的相当极惯性矩矩;h、b分别为长边和短边的长度；分别为长边和短边的长度；、为与截面尺寸有关的因数为与截面尺寸有关的因数,其值与边长比其值与边长比h/b有关有关,可从表可从表7-1中中查得。查得。1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.00.208 0.2190.2310.2460.2580.2670.2820.2990.3070.3130.3330.141 0.1660.1960.2290.2490.2630.2810.2990.3070.3130.3331.000 0.9300.8580.7960.7670.7530.7450.7430.7430.7430.743表7-1矩形截面杆扭转时的因数、
