1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 层级快练 (四十五 ) 1 分析法又称执果索因法 ， 若用分析法证明： “ 设 abc， 且 a b c 0， 求证： b2 ac0 B a c0 C (a b)(a c)0 D (a b)(a c)0?(a c)(2a c)0?(a c)(a b)0. 2 要证 a2 b2 1 a2b2 0 只要证明 ( ) A 2ab 1 a2b2 0 B a2 b2 1 a4 b42 0 C.（ a b）22 1 a2b2 0 D (a2 1)(b2 1)0 答案 D 3 下列不等式不成立的是 ( ) A.122 2 C 233cos1 答案 B 4 若实数 a， b
2、满足 a bQ B P Q C P0， b0， a b 1， 则下列不等式不成立的是 ( ) A a2 b2 12 B ab 14 C.1a 1b 4 D. a b 1 答案 D 解析 a2 b2 (a b)2 2ab 1 2ab1 2( a b2 )2 12， A 成立； ab (a b2 )2 14， B 成立； 1a1ba bab 1ab1（ a b2 ） 2 4， C 成立； ( a b)2 a b 2 ab 1 2 ab1， a b1， 故 D 不成立 8 (2018 广东模拟 )设 x， y， z R ， a x 1y， b y 1z， c z 1x， 则 a， b， c 三个数
3、( ) A 至少有一个不大于 2 B都小于 2 C 至少有一个不小于 2 D都大于 2 答案 C 解析 假设 a， b， c 三个数都小于 2. 则 6a b c x 1y y 1z z 1x 2 x 1x 2 y 1y 2 z 1z 6， 即 66， 矛盾 所以 a， b， c 三个数中至少有一个不小于 2. 9 设 a0， b0， 求 证： lg(1 ab) 12lg(1 a) lg(1 b) 答案 略 证明 要证 lg(1 ab) 12lg(1 a) lg(1 b)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 只需证 1 ab （ 1 a）（ 1 b） ， 即证： (1 ab)2 (1 a)(1
4、 b)， 即证： 2 ab a b， 而 2 ab a b 成立 ， lg(1 ab) 12lg(1 a) lg(1 b) 10 (2017 江苏盐城一模 )已知 x1， x2， x3为正实数 ， 若 x1 x2 x3 1， 求证： x22x1x32x2x12x3 1. 答案 略 解析 x22x1 x1x32x2 x2x12x3 x3 2 x22 2 x32 2 x12 2(x1 x2 x3) 2， x22x1x32x2x12x3 1. 11 (1)设 x 是正实数 ， 求证： (x 1)(x2 1)(x3 1)8x 3. (2)若 x R， 不等式 (x 1)(x2 1)(x3 1)8x 3
5、是否仍然成立？如果成立 ，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的 x 的值 答案 (1)略 (2)成立 ， 证明略 解析 (1)证明： x 是正实数 ， 由均值不等式 ， 得 x 12 x， x2 12x ， x3 12 x3. 故 (x 1)(x2 1)(x3 1)2 x 2x 2 x3 8x3(当且仅当 x 1 时等号成立 ) (2)解：若 x R， 不等式 (x 1)(x2 1)(x3 1)8x 3仍然成立 由 (1)知 ， 当 x0 时 ， 不等式成立； 当 x0 时 ， 8x3 0， 而 (x 1)(x2 1)(x3 1) (x 1)2(x2 1)(x2 x 1) (x 1)
6、2(x2 1)(x 12)2 340 ， 此时不等式仍然成立 12 (2017 湖北武汉调研 )已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a3 5， S8 64. (1)求数列 an的通项公式； (2)求证： 1Sn 1 1Sn 12Sn(n2 ， n N*) 答案 (1)an 2n 1 (2)略 解析 (1)设等差数列 an的公差为 d， 则?a3 a1 2d 5，S8 8a1 28d 64， 解得 a1 1， d 2. 故所求的通项公式为 an 2n 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)证明：由 (1)可知 Sn n2， 要证原不等式成立 ， 只需证 1（ n 1） 2 1（
7、n 1） 22n2， 只需证 (n 1)2 (n 1)2n22(n2 1)2. 只需证 (n2 1)n2(n2 1)2. 只需证 3n21. 而 3n21 在 n1 时恒成立 ， 从而不等式 1Sn 1 1Sn 12Sn(n2 ， n N*)恒成立 13 (2015 湖南 ， 理 )设 a0， b0， 且 a b 1a 1b.证明： (1)a b2 ； (2)a2 a0， b0， 得 ab 1. (1)由基本不等式及 ab 1， 有 a b2 ab 2， 即 a b2. (2)假设 a2 a0 得 00， 且 x1 时 ， f(x)lnxx 1. 答案 (1)a 1， b 1 (2)略 解析
8、(1)f (x)a（ x 1x lnx）（ x 1） 2 bx2. 由于直线 x 2y 3 0 的斜率为 12， 且过点 (1， 1)， 故?f（ 1） 1，f （ 1） 12， 即 ?b 1，a2 b12.解得 a 1， b 1. (2)由 (1)知 f(x) lnxx 1 1x， 所以 f(x) lnxx 1 11 x2(2lnx x2 1x ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 考虑函数 h(x) 2lnx x2 1x (x0)， 则 h (x) 2x 2x2（ x2 1）x2 （ x 1） 2x2 . 所以当 x1 时 ， h (x)0， 可得 11 x2h(x)0； 当 x(1 ，
9、) 时 ， h(x)0. 从而当 x0， 且 x1 时 ， f(x) lnxx 10， 即 f(x)lnxx 1. 1 (2017 安徽毛坦厂中学月考 )若 a， b， c 是不全相等的实数 ， 求证： a2 b2 c2ab bc ca. 证明过程如下： 因为 a， b， c R， 所以 a2 b2 2ab， b2 c2 2bc， c2 a2 2ac， 又因为 a， b， c 不全相等 ， 所以以上三式至少有一个等号不成立 ， 所以将以上三式相加得 2(a2 b2 c2)2(ab bc ac)， 所以 a2 b2 c2ab bc ca. 此证法是 ( ) A 分析法 B综合法 C 分析法与综合
10、法并用 D反证 法 答案 B 解析 由已知条件入手证明结论成立 ， 满足综合法的定义故选 B. 2 已知 M ( 1， 1)， 求证：当 a， b M 时 ， |a b|0 即证 (1 a2)(1 b2)0 =【 ;精品教育资源文库 】 = 10， 1 b20， (1 a2)(1 b2)0 原不等式成立 3 设数列 an满足 a1 0 且 11 an 1 11 an 1. (1)求 an的通项公式； (2)设 bn 1 an 1n ， 记 Sn ?k 1nbk， 证明： Sn1. 答案 (1)an 1 1n (2)略 解析 (1)由题设 11 an 1 11 an 1， 得 11 an是公差为 1 的等差数列 又 11 a1 1， 故 11 an n.所以 an 1 1n. (2)由 (1)得 bn 1 an 1n n 1 nn 1 n 1n 1n 1，
