1、线 性 代 数第1章 行列式行列式1.1 全排列及其逆序数 1.1.1 排列与逆序 自然数 组成的有序数组称为一个 元排列，记为 元排列共有个排列 称为自然排列或标准排列，规定其为标准次序 定义定义1 在一个 元排列 中，若一个大的数排在一个小的数的前面（即与标准次序不同时），则称这两个数有一个逆序一个 元排列中所有逆序的总数，称为此排列的逆序数，记为 若排列的逆序数为奇数（偶数），则称此排列为奇排列（偶排列）1 2，n12np pp12nnnn！12()np ppn12np ppn 计算排列逆序数的方法：设 为 个自然数 的一个排列，考虑元素 ，如果比 大且排在 前面的数有 个，就说这个元素
2、的逆序数是，全体元素的逆序数的总和就是此排列的逆序数，即12np ppn1,2,n(1,2,)ipinipit12()np pp121nniittttip 例例1 求下列排列的逆序数：（1）；（2）解解 此排列为偶排列（2）同理可得 此排列的奇偶性由 确定436251(1)21n n436251（）=0+1+0+3+1+5=10(1)(1)210 12(2)(1)2n nn nnn n 1.1.2 对换 定义定义2 将一个排列中的某两个数的位置互换（其余的数不动），就得到了一个新排列，称这样的变换为一次对换，将相邻两个数对换，称为相邻对换 定理定理1 对排列进行一次对换，则改变其奇偶性 由定理
3、1可得下面的推论 推论推论1奇排列调成自然（标准）排列的对换次数为奇数，偶排列调成自然（标准）排列的对换次数为偶数 推论推论2 全体 元排列（）的集合中，奇、偶排列各占一半n1n 1.2 行列式的概念 1.2.1 二、三阶行列式 一、二阶行列式一、二阶行列式 求解二元一次方程组求解二元一次方程组 (1.2.1)引入符号引入符号 称称 为二阶行列式（为二阶行列式（1.2.1）的系数行列式），它代）的系数行列式），它代表一个数，简记为表一个数，简记为 ，其中数，其中数 称为行列式称为行列式 的第的第 （行标）行、第（行标）行、第 （列标）列的元（列标）列的元素素11 1122121 12222a
4、xa xba xa xb，1112112212212122aaDa aa aaaDdet()ijDaija(1,2;1,2)ijijD 当 时，求得方程组(1.2.1)的解为 ，根据二阶行列式的定义，方程组根据二阶行列式的定义，方程组(1.2.1)的解中的解中的分子也可用二阶行列式表示若记的分子也可用二阶行列式表示若记其中其中 表示将表示将 中第中第 列换成列换成(1.2.1)式式右边的常数项所得到的行列式右边的常数项所得到的行列式112212210a aa a122122111221221baa bxa aa a11 2121211221221a bbaxa aa a 112112212 2
5、222,baDbaa bba111211 2121212abDa bbaab，(1,2)jDj Dj其中 于是，当系数行列式 时，二元一次方程组(1.2.1)有惟一解0D 112222122122111112112212212122,bababaa bDxaaa aa aDaa11121211 2121221112112212212122ababa bbaDxaaa aa aDaa，二、三阶行列式二、三阶行列式 求解三元一次方程组 (1.2.2)引入符号引入符号称为三阶行列式（称为三阶行列式（1.2.2)的系数行列式）的系数行列式）11 1122133121 1222233231 132233
6、32a xa xa xba xa xa xba xa xa xb，111213212223313233aaaDaaaaaa 三阶行列式的对角线法则：当系数行列式 时，三元一次方程组(1.2.2)有惟一解 ，其中 112233122331132132112332122133132231a a aa a aa a aa a aa a aa a a0D 11DxD3223,DDxxDD1121312222333233,baaDbaabaa1111322122331333,abaDabaaba1112132122231323aabDaabaab 三阶行列式具有以下特点：（1）三阶行列式值的每一项都是位
7、于不同行，不同列的三个元素的乘积，除去符号，每项的三个元素按它们在行列式中的行的顺序排成，其中第一个下标（行标）都按自然顺序排列成，而第二个下标（列标）排列成 ，它是自然数 的某个排列；（2）各项所带的符号只与列标的排列有关：带正号的三项列标排列：；带负号的三项列标排列是：由上节知，前三个排列为偶排列，而后三个排列为奇排列，因此各项所带符号可以表示为 ，其中 为列标排列的逆序数；123,231,312132,213,321(1)tt123123pppaaa123123p p p1,2,3（3）因 共有 个不同的排列，所以对应行列式右端是6项的代数和 因此，三阶行列式可以写成其中 为排列 的逆序
8、数，即 ，上式表示对 三个数的所有排列 求和 1,2,33!6123111213212223123313233(1)tpppaaaaaaaaaaaat123p p p123()tp p p1,2,3123p p p 1.2.2 阶行列式的定义 定义定义3称由 个数 排成 行列组成的记号为 阶行列式，简记为 2n(,1,2,)ija i jnn111212122212nnnnnnaaaaaaDaaanndet()ijDa 阶行列式可表示为其中表示对 的所有排列取和，数 称为行列式 的元素 定理定理2 阶行列式也可定义为其中 为行标排列 的逆序数n1211121212221212det()(1)n
9、nntijppnpnnnnaaaaaaDaaaaaaa1,2,nijadet()ijan1211121212221212(1)nnntppp nnnnnaaaaaaDaaaaaat12np pp 定义定义4对角线以下（上）的元素均为零的行列式称为上（下）三角行列式 阶上三角行列式n111212221122000nnnnnnaaaaaa aaa11111(1)21212121110(1)00nnn nnnnnnaaaaaa aaa 同理，阶下三角行列式n112122112212000nnnnnnaaaa aaaaa1(1)2122121111000(1)nn nnnnnnnnnnnaaaa aa
10、aaa 1.3 行列式的性质转置行列式:设将 的行与列互换（顺序不变），得到的新行列式，记为111212122212nnnnnnaaaaaaDaaaD1121112222T12()nnnnnnaaaaaaDDaaa 或 称 为 的转置行列式显然 也是 的转置行列式，即性质性质1 行列式与其转置行列式相等，即性质性质2 行列式的两行（列）互换，行列式变号推论推论 行列式有两行（列）相同，则此行列式为零性质性质3 行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式TDDT TDD（）DTDTDDkk 推论推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可行列式的某一行（列）中所有元素
11、的公因子可以提到行列式符号的外面以提到行列式符号的外面 推论推论2行列式的某一行（列）中所有元素为零，则行列式的某一行（列）中所有元素为零，则此行列式为零此行列式为零 性质性质4 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零此行列式为零 性质性质5 若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和则此行列式等于两个行列式之和 即11121112212niiiiininnnnnaaaDaaaaaaaaa111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaa
12、aaaaaaaaaaaa 性质性质6 将行列式某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不变即第 行乘 加到第 行上，有ikj111211112112121122121212nniiiniiinjijijninjjjnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaakaakaakaaaaaaaaaa 为叙述方便，引进以下记号：（1）交换行列式的 两行（列），记为 ；（2）第 行（列）乘以 ，记作 ，第 行（列）提出公因子 ，记作 ；（3）将行列式的第 行（列）乘 加到第 行（列）上，记为 ,i j()ijijrr ccik()iirk ck()iirk ckj()jij
13、irkr ckcikik 例例1 计算 解解 1201135001561234D 322141120112011201015101510151015601560007123400330033rrrrrrD34120101512100330007rr 例例2 计算解解 abbbbabbDbbabbbba12341(3)3131(3)3131cccccababbbbbbbababbabbDababbabbababbbabba132,3,41000(3)(3)()000000irribbbababab ababab 例例3计算 解解从第1列开始，前列减后列，然后再在前3列中，前列减后列2222222
14、222222222(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)aaaabbbbDccccdddd1223342222272523(1)272523(1)272523(1)272523(1)ccccccaaaabbbbDccccdddd122322222223(1)2223(1)02223(1)2223(1)ccccaabbccdd 例例4计算 阶行列式n112131122321233123nnnnnxaaaxxaaDxxxaxxxx解解从第1行开始前行乘加到后行上，得 2132431112131212231321323321000000nnn
15、rrrrnnrrnnnrrnnnxaaaxaaaaaDxaaaxa12123231()()()nnnx xaxaxa11,2()niiiixxa其中记号“”表示全体同类因子的乘积 1.4 行列式按行（列）展开1.4.1 行列式按某一行（列）展开定义定义5 在 阶行列式中，将元素 所在的第 行和第 列划去，剩下的元素按原排列构成的 阶行列式，称为 的余子式，记为 ；称为元素 的代数余子式引理引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零，则此行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即nijaij1nijaijM1ijijijAM ijainijaija1111100jnijijijnnjnnaa
16、aaDa Aaaa 定理定理3 行列式等于它的任意一行（列）的各 或1122(1,2,)iiiiininDa Aa Aa Ain1122(1,2,)jjjjnjnjDa Aa Aa Ajn 例例1 计算 解解 21122112nD121001122112nnrrrD 从而解得111211211211112112121nnn 按第一行展开11nD1nDn 例例2计算 解解按第1行展开，有2nababDcdcd1 2200(1)000000nnababababDabcdcdcdcddc 以此作递推公式，得21 12(1)2(1)2(1)(1)()nnnnadDbcDadbc D 222(1)2(2
17、)()()nnnDadbc DadbcD112()()()nnnabadbcDadbcadbccd 例例3证明范德蒙德（Vander-monde）行列式 证证对行列式阶数用数学归纳法当 时，1222212111112111()nnnijj innnnnxxxDxxxxxxxx (2)n2n 22111211()ijj iDxxxxxx 2，结论成立假设对 阶范德蒙德行列式结论成立，往证 阶范德蒙德行列式也成立 从第 行开始，后行减前行的 倍，得 按第1列展开，并提出每一列的公因子 ，1nnn1x2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnn
18、xxxxxxDx xxx xxxxxxxxxxxxxx1()ixx 有 上式右端的行列式是一个 阶范德蒙德行列式，由归纳法假设，它等于所有 因子的乘积，其中 ，即23222213112322223111()()()nnnnnnnnxxxDxxxxxxxxxxxx1n()ijxx2jin21311()()()()()nnijijj inj inDxxxxxxxxxx21 推论推论 行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即 或11220()ijijinjna Aa Aa Aij11220()ijijninja Aa Aa Aij 结合定理3及推论，得到代数余子式
19、的重要性质：或其中1,()0,()nikjkijkDija ADij1,()0,()nkikjijkDija ADij1,()0,()ijijij 1.5 克拉默（Cramer）法则 设含有 个未知数，个方程的线性方程组为 (1.5.1)阶行列式 称为方程组(1.5.1)的系数行列式n11 11221121 1222221 122,.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb111212122212nnnnnnaaaaaaDaaann 定理定理5（克拉默法则）（克拉默法则）若线性方程组(1.5.1)的系数行列式 ，则方程组有惟一解 (1.5.2)其中 是将
20、系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项 代替后所得到的 阶行列式，即0D(1,2,)jjDxjnDjDDj12,nb bbn11111111212122121111jjnnjjnjiijinnjnnjnnaabaaaabaaDb Aaabaa 克拉默法则等价地指出：如果方程组(1.5.1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式 当方程组(1.5.1)的右端常数项 全为零时，即 (1.5.3)称(1.5.3)为齐次线性方程组当 不全为零时，称方程组(1.5.1)为非齐次线性方程组0.D12,nb bb11 1122121 122221 1220,0,0,nnnnnnnnna xa xa
21、xa xa xa xa xa xa x12,nb bb 显然，齐次线性方程组(1.5.3)必定有解称之为零解，若解 不全为零，则称为非零解定理定理6若齐次线性方程组(1.5.3)的系数行列式 ，则它只有零解（没有非零解）反之，若齐次线性方程组(1.5.3)有非零解，则它的系数行列式 120,0,0nxxx12,nx xx0D 0D 例例 问 取何值时，齐次线性方程组 有非零解解解由定理6可知，若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式 ，而1231213(5)220,2(6)0,2(4)0 xxxxxxx0D 522260204D(5)(6)(4)4(4)4(6)由 ，解得 、或 不难验证，当
22、、或 时，原齐次线性方程组确有非零解 0D 258258(5)(2)(8)第2章 矩阵 2.1 矩阵的概念 2.1.1矩阵的定义 定义定义1 由 个数 按一定顺序排成 行 列的数表称为一个 行 列矩阵，简称 矩阵，记为或 ，其中 表示位于第 行第 列的数,称为 的元素（或元），所以 矩阵也可以简记为 或 m n(1,2,1,2,)ijaim jnmn111212122212nnmmmnaaaaaaAaaaAm nA ijaij()ija()ijm na mnm nAm n 2.1.2 几种特殊形式的矩阵（1）行矩阵）行矩阵 当 时，即只有一行的矩阵或称为行矩阵或行向量（2）列矩阵）列矩阵 当
23、时，即只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量1m 12()nAa aa=L12(,)nAa aa=L1n mbbbB21（3）零矩阵）零矩阵 所有元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 例如，的零矩阵可记为（4）方阵）方阵 行数和列数都等于 的矩阵，称为 阶矩阵或 阶方阵，记为 ，Om n000000000m nOnnAnn 即 其中元素 称为 阶方阵的主对角元素，过元素 的直线称为 阶方阵的主对角线（5）阶对角阵阶对角阵 非主对角元素全为零的 阶方阵称为 阶对角矩阵，即111212122212nnnnnnnaaaaaaAAaaa1122,nnaaan1122,nnaaannnn0(;,1,2,)ijai
24、j i jn 记为12120000diag(,)00nnaaa aaa 或12naaa其中未写出的元素全为零（6）阶单位矩阵阶单位矩阵 主对角元素全为1，其余元素全为零的 阶方阵称为 阶单位矩阵，即 且 记为或n1(1,2,)iiain0(;,1,2,),ijaij i jnnn100010001nEE111（7）阶数量矩阵阶数量矩阵 主对角元素等于同一个数 的 阶对角阵，称为 阶数量矩阵，记为 或k000000kkkEkkkknnn 2.2矩阵的运算 2.2.1 矩阵的线性运算 1矩阵的加法 定义定义2 两个 的同型矩阵 和 的对应元素相加，所得 的矩阵称为矩阵 与的和,记为 ，即mn()i
25、jAa=()ijBb=ABCAB=+mn CAB=+111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababababab()ijijab=+例例1 设 则 而 无意义305,147A312,435B12.3C 1275316573441251033BACA 2数与矩阵的乘法 定义定义3 用数 乘以 矩阵 的所有元素，所得的 矩阵称为数 与矩阵 的数乘矩阵，简称数乘，记为 ，即 当 时，称 为矩阵 的负矩阵，显然有 mn AAmn A111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa1A-=()ija-()AAO+-=A 所以矩阵的减法可定义为 矩阵
26、的加法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线性运算，其运算规律：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）()ABAB-=+-ABBA()()ABCABCAOA+=()()AA()AAA()ABAB 例例2 设且 ，求矩阵 解解 在 等式两端同加上 ，得32,15A11127B32AXBX3A32AXB111322332715XBA11196272731558 上式两端同乘 ，得12712712585242X 2.2.2 矩阵与矩阵相乘 定义定义4 设 是一个 矩阵，是一个 矩阵，则规定 与 的乘积是一个矩阵 ，其中记为 ()ijAam l()ijBblnABm n()ijCc1 1221(1,2
27、,;1,2,)ijijijilljlikkjkca ba ba ba bim jnCAB=例例3 设矩阵求乘积 解解 101,113A113121430BAB034101121113311CAB3143239101041033006210523 例4 设矩阵 ，求 及 解解2142A6342BABBA168321663422142AB000021426342BA例5 设 ，求 与 解解 12()nAa aaT12(,)nBb bbABBA12121 12 2()nn nnbbABa aaaba ba bb1niiiab1212()nnbbBAa aab，nnnnnnababababababab
28、abab212221212111 矩阵乘法的运算规律（假设运算都是可行的）：（1）结合律：（2）分配律：（3）对任意数 有（4）设 是 矩阵，则 ，或简记为 即单位矩阵是矩阵乘法的单位元，作用类似于乘法中的数1 ()()AB CA BC(),()AB CAB AC B C A BA CA()()()ABA BABAm nmm nm nE AAm nnm nAEAEAAEA 定义定义5方阵 的 次幂定义为 个方阵 连乘，即 其中 为正整数，规定 ，其运算规律：（1）；（2）为正整数 因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 阶方阵 与 ，一般来说AnnnAA AA 个n0AEnAklk lA AA()
29、(,klklAAk l)nAB()kkkABA B 2.2.3 矩阵的转置 定义定义6 将 矩阵 的行换成同序数的列，所得的 矩阵称为 的转置矩阵，记为 或 ，即其运算规律：（1）；m n()ijAan mATAA1121112222T12mmnnmnaaaaaaAaaaTT()AA；（2）；（3）；（4）例例6 已知 求 解法解法1因为TTT()ABABTT()AATTT()ABB A102324171,231102BAT()AB1013173140102324171231102AB 所以 解法解法2 T017()1413310ABTTT()ABB A10313141702130121310
30、27241 定义定义7设 为 阶方阵，若满足 ，则称 为对称矩阵，即 其特点是：关于主对角线对称的元素相等 若满足 ，则称 为反对称矩阵，即 ，当 时，其特点是：关于主对角线对称的元素相反，主对角线上的元素全为零AnTAAA),2,1,(njiaajiijTAA A ijjiaaij0iia 2.2.4 方阵的行列式 定义定义8 由 阶方阵 的所有元素（位置不变）构成的行列式，称为方阵 的行列式，记为 或 ，即 其运算规律：（1）（行列式性质1）；（2）为 阶方阵）；（3）nAAdet AAA111212122212detnnnnnnaaaaaaAaaaTAAnAA(AnABA BBA 2.2
31、.5 共轭矩阵 当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，记 ，称为 的共轭矩阵 其运算规律（设 ，为复矩阵，为复数，且运算都是可行的）：（1）；（2）；（3）)(ijaA ijaija()ijAaAAABBABAAABAAB 2.3 逆矩阵 2.3.1 逆矩阵的定义及性质 定义定义9 设 为 阶方阵，若存在 阶方阵 ，使 ，则称方阵 可逆，为 的逆矩阵 若 可逆，则 的逆矩阵是惟一的 可逆矩阵的性质：(1)若 可逆，则其逆阵 也可逆，且（2）若 可逆，则 也可逆，且 AnBABBAEnABAAAA1A11()AAT11 T()()AAATA（3）若 可逆，为非零常数，则 也可逆，且（4）若 ，为
32、同阶可逆阵，则 也可逆，且 AA111()(0)AA；B111()ABB AAAB 2.3.2 方阵 可逆的充分必要条件及 的求法 定义定义10 设 阶方阵 由 的行列式 的所有元素的代数余子式 所构成的 阶方阵称为矩阵的伴随矩阵.A1An111212122212nnnnnnaaaaaaAaaaAijAnnnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*定理定理1 设 是 阶方阵，为 的伴随矩阵，则定理定理2 阶方阵 可逆 ，且 推论推论若 ，则 An*AEAAAAA*AA0A1*1AAAn)(EBAEAB1 AB 例例1 设判断 是否可逆，若可逆，求 解解因为502613803AA1
33、A0152831502613803A 所以 可逆，又因为 有 A86180,05080,55061312111AAA66383,15283,35263322212AAA31303,00203,20213332313AAA302613805*A 所以 例例2设求矩阵 ，使满足 .解解若 ，存在，则用 左乘上式，右乘上式，*11AAA30261380530261380511,502613803A,3512B130231C XCAXB 1A1B1A1B有即 由例1知，可逆，且又因 ，也可逆，且111111()A AXBBAAXB BA CB11CBAXA3026138051A01BB25131B 所
34、以11CBAX25131302313026138057127617282513911152323292.4 分块矩阵 2.4.1分块矩阵的概念 设 是 矩阵，用若干条横线和竖线将矩阵分成若干个小块，每一小块作为一个小矩阵，称为 的子块（或子矩阵），在进行矩阵运算时，可以将 的每一个子块作为一个元素，这种以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 Am nAA2.4.2 分块矩阵的运算1.分块矩阵的线性运算 分块矩阵的加法设 与 为同型矩阵，且以相同的方式分块，即其中 与 也是同型矩阵，则AB11111111,ssrrsrrsAABBABAABBijAijB(1,2,;1,2,)ir js11111
35、111ssrrrsrsABABABABAB数与分块矩阵的乘法设 为数，则1111srrsAAAAA1111srrsAAAAA2.分块矩阵的乘法 设 为 矩阵，为 矩阵，若它们的分块矩阵分别为其中子块 的列数分别等于子块 的行数，即矩阵 的列的分法与矩阵 的行的分法一致，则Am lBln11111111,trsstttrAABBABAABB12,(1,2,)iiitAAA is12,(1,2,)jjtjBBBjrAB1111rssrCCABCC其中例1 设求 11221tijijijittjikkjkCA BA BA BA B(1,2,;1,2,).is jr1000101001001201,1
36、210104111011120ABAB 解解 将 、分块成AB11000010012101101EOAAE1121221010120110411120BEBBB11111212211121122EOBEBEABAEBBA BBAB111211210102411121111ABB122124133112031AB10101010120112012433243311311131AB3.分块矩阵的转置设 则4分块对角阵及其运算设 为 阶方阵，若 的分块矩阵的主对角元素为非零子块，其余子块均为零子块，且非零子块均为方阵，1111,rssrAAAAATT111TTT1srsrAAAAAAnA 或其中 为
37、方阵，则称 为分块对角阵 分块对角阵的行列式与各主对角块的行列式满足：12sAOOOAOAOOA12sAAAA(1,2,)iA isA12sAA AA 由此可知，若 ，则 ，并有 或 0(1,2,)iAis0A 111121sAOOOAOAOOA111121sAAAA 例2 设求 解解 将 按元素特征分块为其中500031021A1AA12500031021AOAOA11115,5AA1223111,2123AA 所以110010055011011023023A2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 2.5.1 矩阵的初等变换 1初等行（列）变换 定义定义11下列三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）
38、对换变换：对换矩阵的某两行（对换 两行，记为 ）；（2）数乘变换：非零数 乘矩阵某行的所有元素（第 行乘 ，记为 ）；（3）倍加变换：将矩阵的某一行所有元素的 倍加到另一行对应元素上（第 行的 倍加到 行上，记为 ）,i jijrrkiikrkkjkiijrkr 若将上述定义中的“行”换成“列”，即对矩阵的列施行上面三种变换，就称为矩阵的初等列变换，相应的初等列变换分别记 ，2初等变换 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换3等价关系 如果矩阵 经过有限次初等变换化为矩阵 ，则称 与 等价，记为 矩阵的等价具有以下性质：（1）自反性：；（2）对称性：若 则 ；（3）传递性：若 ，则
39、ijccikcijckcBAABABAAABBABC.ACAB 4特殊矩阵（1）行阶梯形矩阵如果矩阵中元素全为零的行在最下面，而非零行中非零元素自上而下逐行减少并呈阶梯状，称此矩阵为行阶梯形矩阵（2）行最简形矩阵若行阶梯形矩阵中的非零行的第一个非零元素为1，且1所在列的其它元素全为零，称此行阶梯形矩阵为行最简形矩阵（3）若 矩阵的左上角为一个 阶单位阵，其余元素全为零，即m nrrm nEOOO 称此矩阵为标准形矩阵，它由 三个数惟一确定，其中 为标准形矩阵中非零行的行数,m n rr 2.5.2 初等矩阵 定义定义12单位矩阵经一次初等变换所得的矩阵称为初等矩（方）阵 三种初等行变换对应的三
40、种初等矩阵分别为：（1）或 ：交换 的 两行（列）所得的矩阵，即(,)E i jijEE,i j11011(,)11011ijijE i jE第行第行（2）或 ：的第 行（列）乘非零数 所得的矩阵，即（3）或 ：的第 行乘 加到第行（第 列乘 加到第 列）所得的矩阵，()E i k()iE kEik11()()11iiE i kE kk第 行(,()E i j k()ijE kEjkiikj 即 初等矩阵都是可逆的，其逆矩阵仍是同种初等矩阵，即 11(,()()11ijikE i j kEkj第 行第行1(,)(,);E i jE i j11()();E i kE ik1(,()(,().E
41、i j kE i jk 定理定理3设 为 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的 阶初等矩阵定理定理4 若 为 矩阵，则存在 阶初等矩阵 与 阶初等矩阵 ，使得推论推论1 阶可逆阵 必等价于单位矩阵 推论推论2 若方阵 可逆，则存在有限个初等矩阵 ，使 Am nAmnAAA12,sP PP12,tQ QQAm nmn1111rssttEOPPPAQQ QOOnEnA12,lP PP12lAPPPA 推论推论3 矩阵 存在 阶可逆阵 和 阶可逆阵 ，使 用初等列变换也可求逆矩阵，即 例例1 设 求 m nABmPnQ
42、PAQB1AEEA有限次初等列变换123221343A1A例例16 设 解解 221331123100123100221010025210343001026301rrrrAE2131253223102110100132025210020365001111001111rrrrrrrr2(2)(1)310013235010322001111rr 所以 113235322111A 例例2 求矩阵 ，使 ，其中 解解 若 可逆，则 XAXB412221,311A1322.31BA1XA B13412131012222122221223113131131rrAB232131232231012210122
43、023660129501295001124rrrrrrrr132332(1)100102010153001124rrrrr 所以 102153124X 2.6 矩阵的秩 2.6.1 矩阵秩的定义 定义定义13 设 为 矩阵，在 中任取 行和列 ，位于这 行 列交叉位置上的 个元素，按原有的位置构成的 阶方阵，称为矩阵 的一个 阶子方阵，其行列式称为 的一个 阶子式定义定义14 设 矩阵 中，有一个 阶子式 不等于零，而所有 阶子式（如果存在）全等于零，则称 为矩阵 的最高阶非零子式，称数 为矩阵 的秩，记为 并规定零矩阵的秩为零 Am nA(1min,)km nk2kkAkkkAkAk1r D
44、r()R Arm nADArA 2.6.2 矩阵秩的性质 （1）设 为 矩阵，则 ；（2）；（3）；（4）；（5），其中 为 矩阵，为矩阵 Am n()min,R Am nT()()R AR A()()(0)R kAR Ak()()()R ABR AR B()()()min(),()R AR BkR ABR A R BAm kBkn 2.6.3 初等变换求矩阵的秩 定理定理5 若 ，则 推论推论1 若 为 阶可逆矩阵，则 推论推论2 若 则 推论推论3 设 为 矩阵，、分别为 阶和 阶满秩矩阵，则 AB()()R AR BAn1()()R AR AnrEOAOO()R ArAAm nBCmn推
45、论推论3 设为()();R BAR A()();R ACR A()().R BACR A 例例 设 求矩阵 的秩 解解 将 施行初等行变换化为行阶梯形矩阵：32050323612015316414AAA1424314123320501641432361043112015301297111641401612812rrrrrrrrA324342341641416414043110431100048000480004800000rrrrrr所以.3)(AR（8）阶三角阵阶三角阵 阶上三角阵和 阶下三角阵统称为 阶三角阵上三角阵 主对角线下方的元素全为零的 阶方阵，即 ，称为上三角形矩阵，简称上三角阵
46、，记为 或 nnnn0(;,1,2,)ijaij i jnn 11121222000nnnnaaaaaa11121222nnnnaaaaaa 下三角阵 主对角线上方的元素全为零的 阶方阵，即 ，称为下三角形矩阵，简称下三角阵，记为 或 n0(;,1,2,)ijaij i jn 11212212000nnnnaaaaaa11212212nnnnaaaaaa （9）同型矩阵）同型矩阵 矩阵 的行数（列数）等于矩阵 行数（列数），称 和 是同型矩阵（10）相等矩阵）相等矩阵 若 与 是同型矩阵，且则称 与 相等，记为 注意：不同型的零矩阵是不相等的()ijAa=()ijBb=AB(1,2,;1,2,
47、)ijijab im jn=LL()ijAa=()ijBb=ABAB=第3章 向量组的线性相关性3.1 维向量 n3.2 向量组的线性相关性 3.2.1向量组的线性组合 定义定义3设有 维向量 ，若存在一组数 ，使 或 则称 为向量组 的线性组合，或称可由向量组 线性表示（表出），称为此线性组合的组合系数 n12,m12,mk kk1122mmkkk1212(,)mmkkk 12,m 12,m12,mk kk 3.2.2 向量组的线性相关与线性无关 定义定义4 设有 维向量组 ，若存在一组不全为零的数 ，使 则称向量组 线性相关，否则称此向量组线性无关 换言之，若 线性无关，成立当且仅当 n1
48、2,m12,mk kk 1122 0mmkkk 12,m12,m1122 0mmkkk120mkkk 由此定义可知：（1）仅含一个零向量的向量组必线性相关（2）仅含一个非零向量的向量组必线性无关（3）任何包含零向量在内的向量组必线性相关 3.2.3 向量组线性相关的充分必要条件 定理定理1 向量组 线性相关的充分必要条件是：向量组 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示 例例1 讨论向量组的线性相关性解解设有一组数，使 12,m(2)m12,m1m1232133,2,2111 123,x xx112233 0 xxx 则有方程组因其系数行列式所以方程组有非零解，从而线性相关 12312312
49、3230,3220,0.xxxxxxxxx2132153223150111100D123,例例 讨论维向量组的线性相关性，通常称为基本单位向量组解解 设有一组数，使12100010,001eee n12,e een12,nk kk1 122eee 0nnkkk 即得，从而，故线性无关 12100001000010nkkk T12(,)0nk kk120nkkk12,e een 例例 设向量组线性无关，讨论向量组的线性相关性解解 设有一组数，使即从而有 12,n 112223,111,nnnnn1122 0nnxxx12,nx xx1122231()()()0nnxxx111221()()()0
50、nnnnxxxxxx由线性无关，得齐次方程组将其系数行列式按第一行展开得12,n 11210,0,0,nnnxxxxxx110001110001(1)0110000011 nA当为奇数时，因此故线性无关；当 为偶数时，因此故 线性相关 n20A12,n T12(,)0nx xx0A12,n nT12(,)0nx xx3.3 线性相关性的判别定理 定理定理2 向量组 线性相关的充分必要条件是（有非零解）它所构成的矩阵 的秩小于向量个数 ；该向量组线性无关的充分必要条件是 .推论推论 1 个 维向量线性无关的充分必要条件是它们所构成的方阵的行列式不等于零.推论推论2 个 维向量组成的向量组，当维数
