1、应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材1第四章第四章 平稳时间序列模型预测平稳时间序列模型预测时间序列分析预测的重要性时间序列分析预测的重要性v 时间序列分析的一个重要的目的是预测其未来值，就是根据以往积累的数据进行分析，先确定其时序模型的形式，然后对未来可能出现的结果进行预测。v 预测是计量经济分析的重要部分，对某些人来说也许是最重要的部分。v 概括地说，在计量经济学中依据时间序列数据进行经济预测的方法有四种：(1)单一方程回归模型；(2)联立方程回归模型；(3)自回归移动平均模型；(4)向量自回归模型。应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材2第一节第一节 预测准则预测准则v称 为 的预
2、测值或 的h步预测值 v怎样选取预测函数 呢？直观的想法是所选取的预测函数应能够使预测误差 尽可能的小。这就需要确定一种准则，使得依据这种准则能衡量采用某种预测函数所得的预测误差比采用别的预测函数所得的预测误差小。t hyt hy ty1(,)t httt Nyy yy()tt ht he hyy应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材3一、一、从几何角度提出预测问题从几何角度提出预测问题v对在t+h的取值进行预测，我们所能利用的就是yt在t和以前时刻的取值 所提供的信息,也就是说 是 的函数，我们知道最简单的函数是的线性函数，设为v现在的问题是如何求出系数 使得 与 最接近。1,ttt Ny
3、 yyt hy1,ttt Ny yy011t httyg yg y01,gg t hyt hy应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材4 图4.1 在平面M上的投影v从几何图形来看，离yt+h最近的是向量yt+h在平面M上的投影。应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材5二、求解正交投影二、求解正交投影v基于直到时刻t的信息集 对变量 取值的预测记为 ，为获得此预测必需指明相应的损失函数(loss function)。一个十分方便的结果是选取平方损失函数，即选取 ，使其均方误差达到最小。v容易知道，关于 的条件期望 是 关于 的最小均方误差预测。v这种预测具有许多优良性质，但其计算比较复杂。在
4、许多的实际应用问题，我们更感兴趣于在的线性函数类中寻求的预测。tt hyt hy1ty1tyt1|1|ttttyE y1tyt应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材6v例如 时，可选取：v假定我们已求得 之值，使得 预测误差 与 无关 即有 成立 则称(4.1)式为yt+1关于 的线性投影。并记为 11,tttt nty yy Y1 (4.1)tyt Y1ttyY11,tttt nty yy Y10tEyttY Yt11|tttyE y应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材7三、最小均方误差预测三、最小均方误差预测v设随机序列适合一个ARMA模型，即v在已知 的条件下，很自然会考虑到 的线
5、性函数v这是一种比较容易处理而在使用中最有广泛意义的情形。作为一个好的预测值，应该满足预测的误差越小越好，于是问题转化为求 使 与 之间的误差最小。使预报的均方误差最小的称为线性最小均方预测。1111ttptpttqt qyyya t1,tty y011t httyC yC y01,C Ct hyt hy应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材8v综上可得，yt+h的线性最小均方误差预测为 称(4.5)式为线性最小均方误差预测的传递函数形式。我们知道这是可以实现的，因为一个系统的参数完全可以由其格林函数确定。v预测的残差为 v预测误差方差为1122 (4.5)t hhththtyGGG10 (
6、4.6)ht ht hjt hjjyyG 1220 (4.7)jjG应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材9第二节第二节 ARMA模型预测模型预测v前面我们对最小均方预测的基本原理进行了讨论，所有的结论都是在平稳的条件下得到的。下面我们求ARMA模型的最小均方预测。一、一、AR(p)模型的预测模型的预测 考虑一个AR(2)模型 其向前一步的预测为 一步预测的误差方差为 1122ttttyyy1121tttyyy2应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材10v向前二步的预测为 v注意到 故二步的预测误差的方差为 2112tttyyy211212()ttttyyyy 211122()tttttt
7、yyyy 221(1)应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材11v更一般的情形，遵从AR(p)的序列满足随机差分方程v由差分方程很容易得到AR(p)的最小均方误差预测公式为v再根据(4.9)式，AR(p)模型的递推预报公式为：1122tttptptyyyy1122t ht ht hpt hpyyyy 1121tttptpyyyy1122tptptpptyyyy 21122tttptpyyyy.应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材12 .v由上式可以看出，AR(p)模型的最小均方预测公式比较简单，只要知道 这p个历史值便可以得到任意步长的平稳线性最小均方预测。正是因为AR模型的建模与预测的
8、简单性，所以它成为预测问题中应用得最为广泛的时间序列模型。1122 ()t ht ht hpt hpyyyyhp 11,mmm pyyy 应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材13二、MA(q)模型的最小均方预测v对于MA(q)模型 我们可以得到预测值的递推公式为 分析预测公式(4.11)，可以看出MA模型的最佳预测具有以下两个特点：11tttqt qy 0 t hyhq111t ht hqt h qyhq (4.11)应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材14v(1)MA(q)模型只能对未来进行q步预测，当hq时，预测值为零(时间序列均值为零)；因此当模型阶数较低时，MA模型只能进行短期
9、预测；v(2)MA模型预测中使用的 ，其数据需要 的全部历史数据迭代计算，并需要设 的取值，由此可知这种处理比较繁琐，有一定主观性，故不便应用。1,ttt h q ty011,q应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材15v设有MA(2)模型 则有一步预测 因而 又由于 ，因此预测误差的方差等于 。v对于前两步预测 易知 预测误差为 1122tttty 11121tttty 1121ttty 111tttyy222112tttty 22tty 2221122()()ttttttyy 预测误差的方差为 221(1)应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材16v类似可得三步预测的误差为 预测误差的
10、方差为v与前三步预测相似，模型中已没有记忆对前四步预测有帮助。这时的预测值已经是这个系统的均值。即有 其预测误差的方差为 v更一般的情况，对于一个MA(q)模型 h步预测公式为 3331221()(0)tttttyy 22212(1)4441322()0tttttyy 22212(1)11 1t ht hqt h qyhq 0 t hyhq应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材17vh步预测残差的方差为 三、三、ARMA(p,q)预测预测v对于一个ARMA模型，v仿照AR和MA模型同样的步骤可以推得关于ARMA(p,q)模型的预测公式，.1220()hii1111ttptpttqt qyyy
11、 11111ttptptqtqyyy 2112222tttptptqtqyyyy 应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材18 .v分析上面的公式可知，ARMA(p,q)模型的最佳计算具有以下特点：(1)当 时，预测计算公式中包含了 ,这 q 个值，与MA模型的预测计算一 样，需要由 迭代计算出 ，因此ARMA 模型的预测计算也非常繁琐；(2)当hq时，如果把 看成h的函数(记为 )，则预测公式是一个关于 的齐次差分方程；因此，如同AR模型的最佳预测一样，也可以 由齐次差分方程所确定。v根据上面的分析可知，ARMA模型的最佳预测计算远较AR模型复杂，同时其建模过程也是繁琐的。t hy()ty
12、h()ty h()ty h应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材20第三节第三节 案例分析案例分析v【例4.1】基于批发价格指数的美国通货膨胀研究批发价格指数的美国通货膨胀研究v批发价格指数(Wholesale Price Index，简记为WPI)是通货膨胀测定指标的一种，它是根据大宗物资批发价格的加权平均价格编制而得的物价指数,反应不同时期生产资料和消费品批发价格的变动趋势与幅度的相对数。包括在内的产品有原料、中间产品、最终产品与进出口品，但不包括各类劳务。批发价格是在商品进入零售，形成零售价格之前，有中间商或批发企业所订，其水平决定于出厂价格或收购价格，对零售价格有决定性影响。应用时间
13、序列分析”十一五“国家级规划教材21v所以有经济学家认为批发价格指数比消费物价指数具有更广泛的物价变动代表性，为此我们搜集了1960年第1季度至1990第4季度美国的WPI指数进行研究，数据来源于美国劳工统计局网站http:/stats.bls.gov/。v从1960年第1季度至1990第4季度的WPI共有124个数据，使用EViews命令 Plot WPI 可得其水平序列图如下应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材22204060801001201960196519701975198019851990 -WPI图4.2 美国批发价格指数应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材23v在EVi
14、ews中双击WPI这个序列，点击ViewDescriptive StatisticsHistogram and Stats，则可以得到它基本描述统计特征图4.3。0481216202428325075100Series:WPISample 1960Q1 1990Q4Observations 124Mean 62.77419Median 56.60000Maximum 116.2000Minimum 30.50000Std.Dev.30.24356Skewness 0.307981Kurtosis 1.416508Jarque-Bera 14.91542Probability 0.000577应
15、用时间序列分析”十一五“国家级规划教材24v从图4.3可以得知，WPI的平均值是62.7742，最大值是116.2000，最小值是30.5000，标准差是30.2436，并且这是一个服从双峰分布的变量。v为了判断时间序列模型的类型，我们要计算出自相关函数与偏相关函数值。在EViews中双击WPI这个序列，点击ViewCorrelogram，在弹出的对话框中选择Level，然后点击确定，可得WPI的自相关函数与偏相关函数图4.4应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材25 图4.4 WPI的自相关函数与偏相关函数图v虽然偏相关函数是截尾的，但自相关函数衰减很慢(几乎不减少，所以不是拖尾的)，因此
16、WPI是一个非平稳序列。应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材26v如果非要认为自相关函数是拖尾的，则照第三章的标准，模型应该是AR(1)的，使用命令 LS WPI c AR(1)可得输出输出结果表4.1 应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材27v从表4.1的最后一行的输出结果“Estimated AR process is nonstationary”，可看出这个AR(1)过程是非平稳的。所以下面我们依照博克斯詹金斯方法的思路：原始序列不平稳，但其差分序列可能是平稳的。所以下面我们对WPI的差分序列建模。v使用命令 genr Dwpi=D(WPI),生成WPI的差分序列。然后用命令Pl
17、ot Dwpi 画出Dwpi的差分图形4.5。双击Dwpi这个序列,点击ViewCorrelogram，在弹出的对话框中选择Level，然后点击确定，可得WPI的自相关函数与偏相关函数图4.6 应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材28图4.5 WPI的差分序列图-2-1012341960196519701975198019851990 -Dwpi应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材29v从图4.5看出序列Dwpi是一个无趋势的序列；从图4.6可以看出序列Dwpi偏相关函数3阶以后是截尾的，但自相关函数是拖尾的。因此序列Dwpi是一个平稳序列，适合建立一个AR(3)的模型，使用命令 LS
18、 Dwpi c AR(1)AR(2)AR(3)可得输出输出结果表4.2 图4.6Dwpi的自相关函数与偏相关函数图 应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材30 表4.2 AR(3)模型的输出结果应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材31v从表4.2可以看出AR(2)的系数对应的 p值较大，所以统计上不显著。因此剔除AR(2)这一项以后，再对模型进行拟合可得表4.3应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材32v 从表4.3可以看出，模型的三个参数都通过了t检验，所以这些变量选用是恰当的；且F统计量对应的p值较小，所以模型的整体拟合效果较好。在输出结果视图下，点击ViewResiduals T
19、ests Correlogram-Q-Statistic，可得模型残差序列的自相关函数与偏相关函数图4.7应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材33v因为Q(3)Q(10)对应的p值都比0.05大，可以认为模型的残差序列为白噪声，这也说明模型的拟合效果比较好。所以最终模型为 即v由于变量差分后损失了很多信息，所以差分序列的模型的R2不可能很高。还需要注意的是对输出结果解释，根据Wold分解定理EViews的输出格式表示的是：对序列(Dwpit-0.8280)建立剔除AR(2)这一项后的AR(3)模型，而不是对Dwpit建立AR(3)模型；13Dwpi=0.8280+0.5179(Dwpi-0
20、.8280)+0.2582(Dwpi-0.8280)+ttttu13Dwpi=0.1854+0.5179Dwpi+0.2582Dwpi+tttt应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材34v输出结果中的0.8280是Dwpit的均值，而不漂移项，它的经济学含义是41年间的WPI的季度平均净增值是0.8280。v上述案例分析中描述统计量、自相关函数、偏相关函数和ARMA模型的估计也可以用R软件来实现，下面我们给出相应的R程序。其中的中文是对下面各语句的文字说明，在运行中可以去掉。v(读取数据读取数据)WPI.dat=read.table(c:/WPI.txt,header=T)attach(WP
21、I.dat)WPI应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材35v(画图画图)plot(WPI,type=l)#画线图 hist(WPI)#画直方图 acf(WPI,type=correlation)#画自相关函数图 acf(WPI,type=partial)#画偏相关函数图 plot(diff(WPI),type=l)#画差分序列Dwpi线图 hist(diff(WPI)#画差分序列Dwpi直方图 acf(diff(WPI),type=“correlation)#画差分序列 Dwpi自相关函数图 acf(diff(WPI),type=partial)#画差分序列Dwpi 偏相关函数图应用时间序
22、列分析”十一五“国家级规划教材36v(描述统计量描述统计量)summary(WPI)#给出最小值、第一分位数、中位数、平均值、第三分位数、最大值 var(WPI)#给出方差 sd(WPI)#给出标准差 v(估计模型估计模型)varima(WPI,order=c(1,0,0),method=“CSS”)#对WPI拟合AR(1)模型 fit=arima(diff(WPI),order=c(3,0,0),method=CSS)#对差分序列Dwpi拟合AR(3)模型 应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材37 resid=fit$residuals#给出AR(3)模型的残差 Box.test(res
23、id,lag=3,type=“Ljung-Box”)#给出LjungBox检验统计量，检验残差是否还有自相关性 v本章小结本章小结v1.预测是计量经济分析的重要部分，对某些人来说也许是最重要的部分。预测是经济与管理决策中最普遍且重要的一环，唯有把握未来，才能做出正确的决策。v2.博克斯詹金斯方法(Box-Jenkins)或者ARMA方法。这种方法的要点是：在“数据自己说话”的哲理指引下，着重于分析经济时间序列本身的概应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材38 率或随机性质，而不在意于构造单一方程抑或联立方程组模型。所以此方法和传统的单一方程和联立方程模型是相对立的。v3.对于一个时间序列的预
24、测，基本的博克斯詹金斯策略如下：(1)首先检验序列的平稳性，这可以通过自相关函数(ACF)与偏相关函数(PACF)或者通过以后学习的单位根检验来实现；(2)如果时间序列不平稳，将它差分一次或多次以获得平稳性；(3)然后计算此时间序列的ACF和PACF，以判断序列是纯自回归还是纯移动平均的，或这二者的一种混合体；(4)然后估计此尝试模型；应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材39 (5)分析尝试模型的残差，看它是不是白噪声；如果是，则尝试模型也许是一个好的估计模型；如果不是，则要从头做起，因此博克斯詹金斯方法是一个反复的过程；(6)最后选定的模型便可用于预测。v 4.最小均方误差准则是一种常用
25、的统计准则。在此准则下，如果我们选择线性预测函数，则线性预测函数 事实上 是在空间上的正交投影。v5.AR(p)模型的最小均方预测公式比较简单，只要知道 这p个历史值便可以得到任意步长的平稳线性最小均方预测。t hyt hy11,mmm pyyy 应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材40 正是因为AR模型的建模与预测的简单性，它成为预测问题中应用得最为广泛的时间序列模型。v6.MA(q)模型只能对未来进行q步预测，当hq 时，预测值为零(时间序列均值为零)；因此当模型阶数较低时，MA模型只能进行短期预测。MA(q)模型预测中使用的 ,其数据需要的全部历史数据yt迭代计算，并需要设定 的取值，由此可知这种处理比较繁琐，有一定主观性，故不便应用。v 1,ttt h q 011,q应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材41v当 时，ARMA(p,q)模型预测计算公式中包含了 这q个值，与MA模型的预测计算一样，需要由yt迭代计算出 ，因此ARMA模型的预测计算也非常繁琐。当hq时，ARMA(p,q)模型预测计算中不包含MA部分，可由 ，进行递推计算。hq11,tttq t12,t ht ht hpyyy
