1、突破点15函数与方程提炼1函数yf(x)零点个数的判断(1)代数法：求方程f(x)0的实数根(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点(3)定理法：利用函数零点的存在性定理，即如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点提炼2已知函数零点个数，求参数的值或取值范围已知函数零点个数，求参数的值或取值范围问题，一般利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题要注意观察是否需要将一个复杂函数转化为两个相对较为简单的函数，常转化为定曲线与动直线问题回访1函
2、数零点个数的判断1(2015湖北高考)函数f(x)2sin xsinx2的零点个数为_2f(x)2sin xsinx22sin xcos xx2sin 2xx2，由f(x)0，得sin 2xx2.设y1sin 2x，y2x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f(x)有两个零点2(2014福建高考)函数f(x)的零点个数是_2当x0时，令x220，解得x(正根舍去)，所以在(，0上有一个零点当x0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln 20，f(2)f(3)0，所以f(x)在(2,3)内有一个零点综上，函
3、数f(x)的零点个数为2.回访2已知函数零点个数，求参数的值或取值范围3(2015湖南高考)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_(0,2)由f(x)|2x2|b0得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示，则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点4(2014天津高考)已知函数f(x)若函数yf(x)a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为_1a2画出函数f(x)的图象如图所示函数yf(x)a|x|有4个零点，即函数y1a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a0)当a2时，函数f(x
4、)的图象与函数y1a|x|的图象有3个交点故a2.当y1a|x|(x0)与y|x25x4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1a|x|的图象有5个交点，此时，由得x2(5a)x40.由0得(5a)2160，解得a1，或a9(舍去)，则当1a2时，两个函数图象有4个交点故实数a的取值范围是1a2.热点题型1函数零点个数的判断题型分析：函数零点个数的判断常与函数的奇偶性、对称性、单调性相结合命题，难度中等偏难(1)(2016秦皇岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：图象关于(1,0)点对称；f(1x)f(1x)；当x1,1时，f(x)则函数yf(x)|x|在区间3,3上的零点个数为()
5、A5 B.6C.7 D.8(2)(2016郑州二模)已知定义在R上的奇函数yf(x)的图象关于直线x1对称，当0x1时，f(x)logx，则方程f(x)10在(0,6)内的零点之和为()A8B.10C.12D.16(1)A(2)C(1)因为f(1x)f(1x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称，又函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，如图所示，画出f(x)以及g(x)|x|在3,3上的图象，由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数yf(x)|x|在区间3,3上的零点个数为5，故选A.(2)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以当1x0时，f(x)f(x)log(x)，又因为函数
6、f(x)的图象关于直线x1对称，所以函数f(x)的图象的对称轴为x2k1，kZ，在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象如图所示，由图易得直线y1与函数f(x)的图象在(0,6)内有四个交点，且分别关于直线x1和x5对称，所以方程f(x)10在(0,6)内的零点之和为212512，故选C.求解此类函数零点个数的问题时，通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的实数根，也就是函数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象交点的横坐标其解题的关键步骤为：分解为两个简单函数；在同一坐标系内作出这两个函数的图象；数交点的个数，即原函数的
7、零点的个数提醒：在画函数图象时，切忌随手一画，注意“草图不草”，画图时应注意基本初等函数图象的应用，以及函数性质(如单调性、奇偶性、对称性等)的适时运用，可加快画图速度，从而将问题简化变式训练1(1)(2016合肥二模)定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)则关于x的函数F(x)f(x)a(0a1)的零点个数为()A2B.3C.4D.5(2)已知函数f(x)cos x，g(x)2|x2|，x2,6，则函数h(x)f(x)g(x)的所有零点之和为()A6B.8C.10D.12(1)D(2)D(1)在同一坐标系中画出函数yf(x)和ya(0a1)的图象，如图所示：两图象共有5个交点，所以F
8、(x)有5个零点(2)函数h(x)f(x)g(x)的零点之和可转化为f(x)g(x)的根之和，即转化为y1f(x)和y2g(x)两个函数图象的交点的横坐标之和又由函数g(x)2|x2|与f(x)的图象均关于x2对称，可知函数h(x)的零点之和为12.热点题型2已知函数的零点个数求参数的取值范围题型分析：已知函数的零点个数求参数的取值范围，主要考查学生的数形结合思想和分类讨论思想，对学生的画图能力有较高要求(1)(2016重庆模拟)已知函数f(x)且g(x)f(x)mxm在(1,1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.(2)(名师押题)已知函数f(x)g(x)kx
9、1(xR)，若函数yf(x)g(x)在x2,3内有4个零点，则实数k的取值范围是()A. B.(2，)C. D.(2，4(1)A(2)C(1)令g(x)0，则f(x)m(x1)，故函数g(x)在(1,1内有且仅有两个不同的零点等价于函数yf(x)的图象与直线ym(x1)有且仅有两个不同的交点函数f(x)的图象如图中实线所示易求kAB，kAC2，过A(1,0)作曲线的切线，不妨设切线方程为yk(x1)，由得kx2(2k3)x2k0，则(2k3)24k(2k)0，解得k.故实数m的取值范围为.(2)当x0时，显然有f(x)g(x)，即x0不是yf(x)g(x)的零点当x0时，yf(x)g(x)在x
10、2,3内的零点个数即方程f(x)g(x)(2x3)的实根的个数当0x3时，有kx1x23，即kx；当2x0时，有kx114xcos x，即k4cos x.则yf(x)g(x)(2x3)的零点个数等价于函数yk与y的图象的交点个数，作出这两个函数的图象，如图所示，由图知2k，故选C.求解此类逆向问题的关键有以下几点：一是将原函数的零点个数问题转化为方程根的个数问题，并进行适当化简、整理；二是构造新的函数，把方程根的个数问题转化为新构造的两个函数的图象交点个数问题；三是对新构造的函数进行画图；四是观察图象，得参数的取值范围提醒：把函数零点转化为方程的根，在构造两个新函数的过程中，一般是构造图象易得
11、的函数，最好有一条是直线，这样在判断参数的取值范围时可快速准确地得到结果变式训练2(1)(2016湖北七校联考)已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是()A. B.C. D.(2)(2016汕头一模)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f(x)f(x)0，当x1,0时，f(x)x2，若g(x)f(x)logax在x(0，)上有且仅有三个零点，则a的取值范围为()A3,5 B.4,6C.(3,5) D.(4,6)(1)C(2)C(1)令yf(2x21)f(x)0，且f(x)是奇函数，则f(2x21)f(x)f(x)，又因为f(x)是R上的单调函数，所以2x21x只有一个零点，即2x2x10只有一个零点，则18(1)0，解得，故选C.(2)因为f(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，所以f(x)是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出f(x)的图象如图所示：因为g(x)f(x)logax在x(0，)上有且仅有三个零点，所以yf(x)和ylogax的图象在(0，)上只有三个交点，所以解得3a5.9
