1、本本 章章 内内 容容2.1 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法2.2 等差数列等差数列2.3 等差数列的前等差数列的前 n 项和项和2.4 等比数列等比数列2.5 等比数列的前等比数列的前 n 项和项和第二章第二章 小结小结等比数列的前等比数列的前n项和项和分组求和及求和应用分组求和及求和应用复习与提高复习与提高返回目录返回目录 1.等比数列的前等比数列的前 n 项和公式是怎样的项和公式是怎样的?它它有哪两种形式有哪两种形式?2.等比数列的前等比数列的前 n 项和公式是如何推出的项和公式是如何推出的?国际象棋棋盘国际象棋棋盘12812825625651251210241024204
2、8204840964096819281921638416384327683276865536655361310721310726464格麦粒的和为格麦粒的和为=18446744073709551615上面的全部麦粒数是一个等比数列的和上面的全部麦粒数是一个等比数列的和.如果知道等比数列的首项和公比如果知道等比数列的首项和公比,怎样求前怎样求前 n 项和呢项和呢?请同学们看下面的问题请同学们看下面的问题.问题问题 1.等比数列的任一项乘以公比等比数列的任一项乘以公比 q 后是一个后是一个什么数什么数?等比数列的前等比数列的前 n 项和项和 Sn 的各项乘以公比的各项乘以公比 q 后发生了什么样的
3、变化后发生了什么样的变化?与与 Sn 进行怎样的计算会消进行怎样的计算会消掉许多项掉许多项?请同学们试试请同学们试试.Sn=a1+a2+a3+a4+an-1+an,qSn=qa1+qa2+qa3+qa4+qan-1+qan,qSn=a2+a3+a4+a5+an+an+1,-得得(1-q)Sn=a1-an+1=a1-a1qn=a1(1-qn),当当 q1 时时,两边同除以两边同除以 1-q 得得.1)1(1qqaSnn-=等比数列的前等比数列的前 n 项和公式项和公式:)1(1)1(1-=qqqaSnn当当 n 较大时较大时,qn 是一个高次式是一个高次式.能否用首项能否用首项,末项以及末项以及
4、 q 的一次式表示的一次式表示?请同请同学们试试学们试试.)1(11-=qqqaaSnn如如:棋盘上的麦粒数之和为棋盘上的麦粒数之和为21)21(16464-=S=18446744073709551615.例例 1.求下列等比数列前求下列等比数列前 8 项的和项的和:(1)(2);,81 ,41 ,21.0 ,2431 ,2791=qaa解解:(1),21 ,211=qa由题设得由题设得211)21(1 21 88-=S.256255=(2)a9=a1q8,得得,2724318q=解得解得,31-=q)31(1)31(1 27 88-=S.811640=练习练习:(课本课本58页页)第第 1、
5、2 题题.练习练习:(课本课本58页页)1.根据下列各题中的条件根据下列各题中的条件,求相应的等比数列求相应的等比数列an的前的前 n 项和项和 Sn.(1)a1=3,q=2,n=6;(2).901 ,31 ,7.21=-=-=naqa解解:(1)a1=3,q=2,n=6,Sn=S6qqa-=1)1(6121)21(36-=189.(2)由由 得得qqaaSnn-=11)31(1)31(9017.2-=nS.4591-=2.如果一个等比数列前如果一个等比数列前 5 项和等于项和等于 10,前前 10 项项和等于和等于 50,那么它前那么它前 15 项和等于多少项和等于多少?解解:,101)1(
6、515=-=qqaS,501)1(10110=-=qqaS两式相除得两式相除得1+q5=5,q5=4.代入第一式得代入第一式得,101)41(1=-qa,31011-=-qaqqaS-=1)1(151153)41(103-=210.2.如果一个等比数列前如果一个等比数列前 5 项和等于项和等于 10,前前 10 项项和等于和等于 50,那么它前那么它前 15 项和等于多少项和等于多少?解解:=10+10q5解得解得 q5=4.=210.法二法二,S10=(a1+a2+a5)+(a6+a7+a10)=(a1+a2+a5)+q5(a1+a2+a5)=50,S15=(a1+a2+a5)+(a6+a7
7、+a10)+(a11+a12+a15)=(a1+a2+a5)+q5(a1+a2+a5)+q10(a1+a2+a5)=10+4 10+42 10【课时小结课时小结】1.等比数列前等比数列前 n 项和公式项和公式)1(1)1(1-=qqqaSnn)1(11-=qqqaaSnnq=1 时时,Sn=a1+a1+a1=na1.【课时小结课时小结】2.等比数列前等比数列前 n 项和公式的导出项和公式的导出Sn=a1+a2+a3+an-1+an,qSn=qa1+qa2+qa3+qan-1+qan=a2+a3+a4+an+an+1,得得(1-q)Sn=a1-an+1=a1(1-qn),).1(1)1(1-=q
8、qqaSnn习题习题 2.5A 组组第第 1、2、3 题题.B 组组第第 1、2 题题.习题习题 2.5A 组组1.在等比数列在等比数列an中中:(1)已知已知 a1=-=-1,a4=64,求求 q 与与 S4;(2)已知已知 a3=S3=求求 a1 与与 q.,23,29解解:(1)由等比数列通项公式得由等比数列通项公式得a4=a1p3 -q3=64,q=-4.)4(1)4(1 144-=S=51.习题习题 2.5A 组组1.在等比数列在等比数列an中中:(1)已知已知 a1=-=-1,a4=64,求求 q 与与 S4;(2)已知已知 a3=S3=求求 a1 与与 q.,23,29解解:(2
9、)由由,23 23213=qaa,291)1(29313=-=qqaS由由,23 21qa=,23)1(21=+qqa将将代入代入得得 2q2-q-1=0,或或 q=1,21-=q当当 时时,a1=6;21-=q当当 q=1 时时,a1=.23 2.某企业去年的产值是某企业去年的产值是 138万元万元,计划在今后计划在今后 5 年内每年比上一年产值增长年内每年比上一年产值增长 10%,这这 5 年的总产值是年的总产值是多少多少?解解:各年的增长率相同各年的增长率相同,则各年产值成等比数列则各年产值成等比数列,其中其中 a1=138(1+10%)则则 5 年的总产值为年的总产值为:1.11)1.
10、11(8.15155-=S927(万元万元),答答:这这 5 年的总产值约为年的总产值约为 927万元万元.q=1+10%=1.1,n=5.=151.8,3.如图如图,画一个边长为画一个边长为 2 cm 的正方形的正方形,再将这再将这个正方形各边的中点相连得到第个正方形各边的中点相连得到第 2 个正方形个正方形,依此类依此类推推,这样一共画了这样一共画了 10 个正方形个正方形,求求:(1)第第 10 个正方形的面积个正方形的面积;(2)这这 10 个正方形的面积的和个正方形的面积的和.解解:如图可得第二个正方形面积如图可得第二个正方形面积是第一个正方形面积的是第一个正方形面积的.21以后的每
11、一个正方形面积都是以后的每一个正方形面积都是.21前一个正方形面积的前一个正方形面积的所以各正方形的面积成等比数列所以各正方形的面积成等比数列,其中其中a1=4,q=.21(1)a10=9)21(4).cm(12812=3.如图如图,画一个边长为画一个边长为 2 cm 的正方形的正方形,再将这再将这个正方形各边的中点相连得到第个正方形各边的中点相连得到第 2 个正方形个正方形,依此类依此类推推,这样一共画了这样一共画了 10 个正方形个正方形,求求:(1)第第 10 个正方形的面积个正方形的面积;(2)这这 10 个正方形的面积的和个正方形的面积的和.解解:如图可得第二个正方形面积如图可得第二
12、个正方形面积是第一个正方形面积的是第一个正方形面积的.21以后的每一个正方形面积都是以后的每一个正方形面积都是.21前一个正方形面积的前一个正方形面积的所以各正方形的面积成等比数列所以各正方形的面积成等比数列,其中其中a1=4,q=.21(2)211)21(1 4 1010-=S).cm(128182-=B 组组1.利用等比数列的前利用等比数列的前 n 项和的公式证明项和的公式证明 其中其中 n N*,a,b 是不为是不为 0 的常数的常数,且且 ab.,111221babababbabaannnnnnn-=+-证明证明:左边左边=)1(3322nnnababababa+babann-=+11
13、=右边右边,ababannn-=+1)1(111等式成立等式成立.2.已知等比数列已知等比数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn,求证求证 S7,S14-S7,S21-S14 也成等比数列也成等比数列.证明证明:S14=(a1+a2+a7)+(a8+a9+a14)=S72q14,S7(S21-S14)=S7S7(1+q7+q14)-S7(1+q7)=(a1+a2+a7)+q7(a1+a2+a7)=S7(1+q7),S21=(a1+a2+a14)+(a15+a16+a21)=(a1+a2+a14)+q14(a1+a2+a7)=S7(1+q7+q14).则则(S14-S7)2=S7(1+q7)-
14、S72=S72q14,即即(S14-S7)2=S7(S21-S14),S7,S14-S7,S21-S14 成等比数列成等比数列.2.已知等比数列已知等比数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn,求证求证 S7,S14-S7,S21-S14 也成等比数列也成等比数列.Sk=a1+a2+a3+ak.S2k-Sk=ak+1+ak+2+ak+3+ak+k=qk(a1+a2+a3+ak).S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+a2k+3+a2k+k=q2k(a1+a2+a3+ak).2232kkkkkkkkqSSSSSSS=-=-相邻同相邻同 k 项的和依次成等比数列项的和依次成等比数列.类推类推:返
15、回目录返回目录 1.我们学过哪些数列求和的形式我们学过哪些数列求和的形式?怎样将怎样将这些求和形式用于较复杂的求和式中这些求和形式用于较复杂的求和式中?2.数列求和怎样应用于解决实际问题数列求和怎样应用于解决实际问题?问题问题1.我们学习了等差数列和等比数列的前我们学习了等差数列和等比数列的前 n项和公式项和公式,请问请问:下面这个求和如何运算下面这个求和如何运算?).21()213()212()211(32nn+)21212121()321(32nn+分析分析:思考意向思考意向:是否可构成等差数列和是否可构成等差数列和,或或等比数列和等比数列和?发现发现:将求和式重新组合将求和式重新组合,可
16、构成一个等差数可构成一个等差数列与一个等比数列的和列与一个等比数列的和.即即:原式原式=211)211(21-+n.12121212+-+=nnn2)1(nn+=问题问题1.我们学习了等差数列和等比数列的前我们学习了等差数列和等比数列的前 n项和公式项和公式,请问请问:下面这个求和如何运算下面这个求和如何运算?).21()213()212()211(32nn+这是一个分组求和问题这是一个分组求和问题.求和问题的主要思路求和问题的主要思路:(1)向等差数列求和或等比数列求和转化向等差数列求和或等比数列求和转化.(2)向着已学过的求和模型转化向着已学过的求和模型转化:等差数列前等差数列前 n 项和
17、公式导出模型项和公式导出模型;等比数列前等比数列前 n 项和公式导出模型项和公式导出模型;裂项求和模型裂项求和模型.例例(补充补充1).求和求和 (x0,x1,y1).)1()1()1(22nnyxyxyx+解解:原式原式=(x+x2+xn)+)111(2nyyy+xxxn-=1)1(yyyn11)11(1-=.)1(11)1(-+-=yyyxxxnnn 例例(补充补充2).已知数列已知数列 an 的通项公式为的通项公式为 an=2n-3n+1,求前求前n 项和项和 Sn.解解:Sn=a1+a2+an=(2-3+1)+(22-3 2+1)+(2n-3n+1)=(2+22+2n)-3(1+2+n
18、)+(1+1+1)21)21(2-=n2)1(3+-nn+n.22123221-=+nnn习题习题 2.5 A 组组4.求和求和:(1)(a-1)+(a2-2)+(an-n);(2)(2-3 5-1)+(4-3 5-2)+(2n-3 5-n);(3)1+2x+3x2+nxn-1.解解:(1)原式原式=(a+a2+an)-(1+2+n),当当 a=1 时时,原式原式=(1+1+1)-(1+2+n).(212nn-=当当 a 1 时时,原式原式=.2)1(1)1(+-nnaaan习题习题 2.5 A 组组4.求和求和:(1)(a-1)+(a2-2)+(an-n);(2)(2-3 5-1)+(4-3
19、 5-2)+(2n-3 5-n);(3)1+2x+3x2+nxn-1.解解:(2)原式原式=(2+4+2n)511)511(5132)22(-+=nnn)515151(32n+-).511(43)1(nnn-+=习题习题 2.5 A 组组4.求和求和:(1)(a-1)+(a2-2)+(an-n);(2)(2-3 5-1)+(4-3 5-2)+(2n-3 5-n);(3)1+2x+3x2+nxn-1.解解:(3)原式原式=1+2+n当当 x=1 时时,设设 S=1+2x+3x2+nxn-1,11nnnxxx-=两边同乘以两边同乘以 x 得得,;2)1(+=nn当当 x 0,1 时时,当当 x=0
20、 时时,原式原式=1;xS=x+2x2+3x3+nxn,-得得S(1-x)=1+x+x2+xn-1-nxn则则.1)1(12xnxxxSnn-=【数列求和的应用数列求和的应用】数列求和在实际应用中也是较为广泛的数列求和在实际应用中也是较为广泛的.其基本步骤是其基本步骤是:1.对实际问题进行分析对实际问题进行分析,是否可选用某种数是否可选用某种数列模型进行描述列模型进行描述;2.设置有关参数设置有关参数,建立数列模型建立数列模型;3.应用数列知识进行有关运算应用数列知识进行有关运算;4.用运算结果解决实际问题用运算结果解决实际问题.例例 2.某商场今年销售计算机某商场今年销售计算机 5000台台
21、.如果平均如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加每年的销售量比上一年的销售量增加 10%,那么从今那么从今年起年起,大约几年可使总销售量达到大约几年可使总销售量达到 30000台台(结果保留结果保留到个位到个位)?分析分析:相邻两年销售量关系相邻两年销售量关系:上年销量上年销量上年销量上年销量上年销量上年销量当年销量当年销量%)101(+=1.1(常数常数).适应模型适应模型:各年销量成等比数列各年销量成等比数列.题设已知量题设已知量:今年销量今年销量5000台台,为首项为首项 a1.几年总销量几年总销量30000台台,数列和数列和 Sn.所求问题所求问题:年数年数 n.例例 2.某商场今年
22、销售计算机某商场今年销售计算机 5000台台.如果平均如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加每年的销售量比上一年的销售量增加 10%,那么从今那么从今年起年起,大约几年可使总销售量达到大约几年可使总销售量达到 30000台台(结果保留结果保留到个位到个位)?解解:因为每年比上一年增加的百分比相同因为每年比上一年增加的百分比相同,所以所以各年的销售额成比数列各年的销售额成比数列,其中其中a1=5000,q=1+10%=1.1.设设 n 年的总销售量达到年的总销售量达到 30000 台台,则则,300001.11)1.11(5000=-=nnS整理得整理得 1.1n=1.6.两边取常用对数解得两
23、边取常用对数解得1.1lg6.1lg=n5(年年).答答:大约大约 5 年可使总销售量达到年可使总销售量达到 30000台台.【计算机程序中的求和计算机程序中的求和】例例 3.如图如图,为了估计函数为了估计函数 y=9-x2 在第一象限的图象与在第一象限的图象与 x 轴、轴、y 轴围成的区域的面积轴围成的区域的面积 X,把把 x 轴上的区间轴上的区间0,3分成分成 n 等份等份,从各分点作从各分点作 y 轴的平行线与函数图象相交轴的平行线与函数图象相交,再从各交点向左作再从各交点向左作 x 轴的平行线轴的平行线,构成构成(n-1)个矩形个矩形.下面的程序用来计算这下面的程序用来计算这(n-1)
24、个矩形的面积的和个矩形的面积的和 S.阅读程序阅读程序,回答下列问题回答下列问题:(1)程序中的程序中的 AN、SUM 分别表示什么分别表示什么,为什么为什么?(2)请根据程序分别计算当请根据程序分别计算当 n=6,11,16 时时,各个矩形的面积的和各个矩形的面积的和.39oxyy=9-x2XSUN=0k=1INPUT NWHILE k=N-1AN=(9-(k 3/N)2)3/NSUM=SUM+ANPRINT k,AN,SUMk=k+1WENDEND【计算机程序中的求和计算机程序中的求和】阅读程序阅读程序,回答下列问题回答下列问题:(1)程序中的程序中的 AN、SUM 分别表示什么分别表示什
25、么,为什么为什么?(2)请根据程序分别计算当请根据程序分别计算当 n=6,11,16 时时,各个矩形的面积的和各个矩形的面积的和.39oxyy=9-x2XSUN=0k=1INPUT NWHILE k=N-1AN=(9-(k 3/N)2)3/NSUM=SUM+ANPRINT k,AN,SUMk=k+1WENDEND阴影部份是阴影部份是 n-1个矩形个矩形,解解:每个矩形的宽为每个矩形的宽为,3n各高为各高为,)3(92nk-则各矩形的面积为则各矩形的面积为,3)3(92nnk -AN是第是第 k 个矩形的面积个矩形的面积.则则SUM=SUM+AN是前是前k个矩形面积和个矩形面积和.(1)【计算机
26、程序中的求和计算机程序中的求和】阅读程序阅读程序,回答下列问题回答下列问题:(1)程序中的程序中的 AN、SUM 分别表示什么分别表示什么,为什么为什么?(2)请根据程序分别计算当请根据程序分别计算当 n=6,11,16 时时,各个矩形的面积的和各个矩形的面积的和.39oxyy=9-x2XSUN=0k=1INPUT NWHILE k=N-1AN=(9-(k 3/N)2)3/NSUM=SUM+ANPRINT k,AN,SUMk=k+1WENDEND当当 n=6 时时,解解:=AN1+AN2+ANn-1(2).8125SUM=)12)(1(6121222+=+nnnn)1(21 2727)1(22
27、23-+-=nnnn面积和面积和SUM),12()1(612727)1(3-=nnnnnn【计算机程序中的求和计算机程序中的求和】阅读程序阅读程序,回答下列问题回答下列问题:(1)程序中的程序中的 AN、SUM 分别表示什么分别表示什么,为什么为什么?(2)请根据程序分别计算当请根据程序分别计算当 n=6,11,16 时时,各个矩形的面积的和各个矩形的面积的和.39oxyy=9-x2XSUN=0k=1INPUT NWHILE k=N-1AN=(9-(k 3/N)2)3/NSUM=SUM+ANPRINT k,AN,SUMk=k+1WENDEND当当 n=11 时时,解解:=AN1+AN2+ANn
28、-1(2).1212025SUM=)12)(1(6121222+=+nnnn)1(21 2727)1(2223-+-=nnnn面积和面积和SUM),12()1(612727)1(3-=nnnnnn【计算机程序中的求和计算机程序中的求和】阅读程序阅读程序,回答下列问题回答下列问题:(1)程序中的程序中的 AN、SUM 分别表示什么分别表示什么,为什么为什么?(2)请根据程序分别计算当请根据程序分别计算当 n=6,11,16 时时,各个矩形的面积的和各个矩形的面积的和.39oxyy=9-x2XSUN=0k=1INPUT NWHILE kk0)的等比中项的等比中项.若若 2p=m+n,则则 ap2=
29、aman.若若 p+q=m+n,则则 apaq=aman.知识要点知识要点3.等比数列的前等比数列的前 n 项和公式项和公式).1(11)1(11-=-=q qqaaqqaSnnn(1)导出导出:Sn=a1+a2+a3+an-1+an,qSn=qa1+qa2+qa3+qan-1+qan=a2+a3+a4+an+an+1,得得(1-q)Sn=a1-an+1=a1(1-qn),(2)公式公式:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等比数列成等比数列.知识要点知识要点4.分组求和分组求和(1)写出求和式写出求和式;(2)整理分组整理分组;(3)对各组进行求和对各组进行求和.(有时要注意讨论有时要注意
30、讨论)分组目标分组目标:等差数或等比数列和等差数或等比数列和;错位相减求和错位相减求和,(nan型型);裂项求和裂项求和).)1(1(型型+nn例题选讲例题选讲 例例1.已知等比数列已知等比数列 an 为递增数列为递增数列,且且 a52=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列则数列 an 的通项公式的通项公式 an=.解解:由由 a52=a10 得得 a12q8=a1q9,a1=q.则由则由 2(an+an+2)=5an+1 得得 2(qn+qn+2)=5qn+1,解得解得.2 ,21=qq an 为递增数列为递增数列,q1,即即 q=a1=2.an=2 2n-1=2n.2n(递增等
31、比数列递增等比数列 q1).例例2.已知已知 an 为等比数列为等比数列,下面结论中正确的下面结论中正确的是是()(A)a1+a32a2 (B)a12+a32 2a22 (C)若若 a1=a3,则则 a1=a2 (D)若若 a3a1,则则 a4a2分析分析:由通项公式找由通项公式找 a1,a2,a3 的关系的关系.a1+a3-2a2=a1(1+q2-2q)=a1(1-q)2,a10不确定不确定,所以所以(A)不成立不成立.(1)a12+a32-2a22=a12(1+q4-2q2)=a12(1-q2)2a12+a32-2a220,则则(B)成立成立.(2)0,B(求差可比较大小求差可比较大小).
32、例例3.设等比数列设等比数列 an 的前的前 n 项和为项和为 Sn,若若则则 等于等于()(A)2 (B)(C)(D)3,336=SS69SS3738解解:S3,S6-S3,S9-S6 成等比数列成等比数列,(S6-S3)2=S3(S9-S6),由题设得由题设得,3163SS=).(31)31(696266SSSSS-=-整理得整理得.3769=SSB(等比数列相邻等比数列相邻 k 项和也成等比数列项和也成等比数列)例例4.已知数列已知数列 an 的前的前 n 项和项和 Sn=kcn-k(其中其中 c,k 为常数为常数),且且 a2=4,a6=8a3.(1)求求 an;(2)求数列求数列 n
33、an 的前的前 n 项和项和 Tn.解解:(1)a2=S2-S1=(kc2-k)-(kc-k)=kc2-kc=4.a6=S6-S5=(kc6-k)-(kc5-k)=kc6-kc5.a3=S3-S2=(kc3-k)-(kc2-k)=kc3-kc2.则则 kc6-kc5=8(kc3-kc2).由由解得解得 c=2,k=2.则则 Sn=2n+1-2.an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n.(an=Sn-Sn-1).例例4.已知数列已知数列 an 的前的前 n 项和项和 Sn=kcn-k(其中其中 c,k 为常数为常数),且且 a2=4,a6=8a3.(1)求求 an;(2)求数列
34、求数列 nan 的前的前 n 项和项和 Tn.解解:(2)由由(1)的结果得的结果得 nan=n2n.则则 Tn=1 2+2 22+3 23+n2n.两边同乘以两边同乘以 2 得得2Tn=1 22+2 23+3 24+n2n+1.-得得-Tn=1221)21(2+-=nnn=-=-2+2n+1-n2n+1.Tn=2n+1(n-1)+2.(等比数列等比数列前前 n 项和公式项和公式导出方法导出方法,通通项特点项特点:nan).2+22+23+24+2n-n2n+1 例例5.已知数列已知数列 an,bn 是各项均为正数的等比是各项均为正数的等比数列数列,设设 (1)数列数列 cn 是否为等比数列是
35、否为等比数列?证明你的结论证明你的结论;(2)设数列设数列 lnan,lnbn 的前的前 n 项和分别为项和分别为 Sn,Tn,若若 a1=2,求数列求数列 cn 的前的前 n 项和项和.*).(Nnabcnnn=,12+=nnTSnn解解(1)cn是等比数列是等比数列.证明证明:设设 an=a1qn-1,bn=b1pn-1(a1,b1,p,q 为常数为常数).则则 1111-=nnnqapbc.)(111-=nqpabqp=(常数常数).111111)()(-+=nnnnqpabqpabcc得得cn是等比数列是等比数列.例例5.已知数列已知数列 an,bn 是各项均为正数的等比是各项均为正数
36、的等比数列数列,设设 (1)数列数列 cn 是否为等比数列是否为等比数列?证明你的结论证明你的结论;(2)设数列设数列 lnan,lnbn 的前的前 n 项和分别为项和分别为 Sn,Tn,若若 a1=2,求数列求数列 cn 的前的前 n 项和项和.*).(Nnabcnnn=,12+=nnTSnn解解(2)Sn=lna1+lna2+lnan=ln(a1a2an)Tn=lnb1+lnb2+lnbn=ln(b1b2bn).2ln(2)1(-=nnqn).ln(2)1(1-=nnpbn)ln()2ln(2)1(2)1(1-=nnnnpbqTSnnnnpnbqnln)1(ln2ln)1(2ln21-+-
37、+=.12+=nn取取 n=1 时时,解得解得 b1=8.例例5.已知数列已知数列 an,bn 是各项均为正数的等比是各项均为正数的等比数列数列,设设 (1)数列数列 cn 是否为等比数列是否为等比数列?证明你的结论证明你的结论;(2)设数列设数列 lnan,lnbn 的前的前 n 项和分别为项和分别为 Sn,Tn,若若 a1=2,求数列求数列 cn 的前的前 n 项和项和.*).(Nnabcnnn=,12+=nnTSnn解解(2)Sn=lna1+lna2+lnan=ln(a1a2an)Tn=lnb1+lnb2+lnbn=ln(b1b2bn).2ln(2)1(-=nnqn).ln(2)1(1-
38、=nnpbn)ln()2ln(2)1(2)1(1-=nnnnpbqTSnnnnpnbqnln)1(ln2ln)1(2ln21-+-+=.12+=nn取取 n=1 时时,解得解得 b1=8.取取 n=2,3 时时,得得 q,p 的方程组的方程组,52ln8ln2ln2ln2=+pq.73ln28ln2ln22ln2=+pq解得解得 q=4,p=16.则则 cn=1)416(28-n=的前的前 n 项和为项和为 Xn=41)41(4-n).14(34-=n(对数运算对数运算,取取 n 的值解方程的值解方程).返回目录返回目录(共共 8 题题)练习练习:1.设设 an 是任意等比数列是任意等比数列,
39、它的前它的前 n 项和项和,前前 2n 项和与前项和与前 3n 项和分别为项和分别为 X,Y,Z.则下列等式中恒成立的是则下列等式中恒成立的是()(A)X+Z=2Y (B)Y(Y-X)=Z(Z-X)(C)Y2=XZ (D)Y(Y-X)=X(Z-X)2.已知已知 an 是首项为是首项为 1 的等比数列的等比数列,Sn是是an的前的前 n 项和项和,且且 9S3=S6,则数列则数列 的前的前 5 项和为项和为()(A)(B)(C)(D)5 815或或5 1631或或16318151na 3.等比数列等比数列 an 的前的前 n 项和为项和为 Sn,若若 S3+3S2=0,则公比则公比 q=.4.等
40、比数列等比数列 an 的各项均为正数的各项均为正数,且且 a2a4=2,bn=log2an,则数列则数列 bn 的前的前 5 项项和和 S5=.5.等比数列等比数列 an 的公比的公比 q0,已知已知 a2=1,an+2+an+1=6an,则则 an 的前的前 4 项和项和 S4=.6.已知已知 an 是公差不为零的等差数列是公差不为零的等差数列,a1=1,且且 a1,a3,a9 成等比数列成等比数列.(1)求数列求数列 an 的通项公式的通项公式;(2)求数列求数列 的前的前 n 项和项和 Sn.2na 7.已知已知 an 是首项为是首项为 19,公差为公差为-2 的等差数列的等差数列,Sn
41、 为为 an 的前的前 n 项和项和.(1)求通项求通项 an 及及 Sn;(2)设设 bn-an 是首项为是首项为 1,公比为公比为 3 的等比数列的等比数列,求数列求数列 bn 的通项公式及其前的通项公式及其前 n 项和项和 Tn.8.已知两个等比数列已知两个等比数列 an,bn,满足满足 a1=a(a0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若若 a1=1,求数列求数列 an 的通项公式的通项公式;(2)若数列若数列 an 唯一唯一,求求 a 的值的值.1.设设 an 是任意等比数列是任意等比数列,它的前它的前 n 项和项和,前前 2n 项和与前项和与前 3n 项和分别
42、为项和分别为 X,Y,Z.则下列等式中恒成则下列等式中恒成立的是立的是()(A)X+Z=2Y (B)Y(Y-X)=Z(Z-X)(C)Y2=XZ (D)Y(Y-X)=X(Z-X)解解:X,Y-X,Z-Y 成等比数列成等比数列,(Y-X)2=X(Z-Y),得得 Y2+X2-2XY=XZ-XY,即即 Y2+X2-XY-XZ=0,展开展开(B)(D)选项得选项得(D)正确正确.D 2.已知已知 an 是首项为是首项为 1 的等比数列的等比数列,Sn是是an的的前前 n 项和项和,且且 9S3=S6,则数列则数列 的前的前 5 项和为项和为()(A)(B)(C)(D)5 815或或5 1631或或163
43、18151na解解:由由 a1=1,9S3=S6 得得 q1,且且,111)1(963qqqq-=-解得解得 q=2.则则.2111-=nna1 na是以首项为是以首项为 1,公比为公比为 的等比数列的等比数列.21则前则前 5 项和项和 T5=2112115-.1631=C 3.等比数列等比数列 an 的前的前 n 项和为项和为 Sn,若若 S3+3S2=0,则公比则公比 q=.解解:由题设得由题设得 q1,01)1(31)1(2131=-+-qqaqqa得得 a1(1-q3)+3a1(1-q2)=0,a10,(1-q3)+3(1-q2)=0,(1-q)(1+q+q2+3+3q)=0,q2+
44、4q+4=0,解得解得 q=-=-2.-2 4.等比数列等比数列 an 的各项均为正数的各项均为正数,且且 a2a4=2,bn=log2an,则数列则数列 bn 的前的前 5 项和项和 S5=.解解:a3 是是 a1 与与 a5 和和 a2 与与 a4 的等比中项的等比中项,a32=a1a5=a2a4=2,则则.23=a222 54321 =aaaaa.24=又又 S5=log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)24log2=252log2=.25=25 5.等比数列等比数列 an 的公比的公比 q0,已知已知 a2=1,an+2+a
45、n+1=6an,则则 an 的前的前 4 项和项和 S4=.解解:由由 an+2+an+1=6an 得得anq2+anq=6an,an0,q2+q=6,解得解得 q=-=-3(舍去舍去),q=2.又又 a1q=a2=1,.21 1=a则则21)21(2144-=S.215=215 6.已知已知 an 是公差不为零的等差数列是公差不为零的等差数列,a1=1,且且 a1,a3,a9 成等比数列成等比数列.(1)求数列求数列 an 的通项公式的通项公式;(2)求数列求数列 的前的前 n 项和项和 Sn.2na解解:(1)由题设得由题设得(a1+2d)2=a1(a1+8d),即即(1+2d)2=1+8
46、d,解得解得 d=1.an=1+n-1=n.即即an的通项公式为的通项公式为 an=n.6.已知已知 an 是公差不为零的等差数列是公差不为零的等差数列,a1=1,且且 a1,a3,a9 成等比数列成等比数列.(1)求数列求数列 an 的通项公式的通项公式;(2)求数列求数列 的前的前 n 项和项和 Sn.2na解解:(2)由由(1)得得.22nan=则则 是以是以 2 为首项为首项,2 为公比的等比数列为公比的等比数列.2na21)21(2-=nnS=2(2n-1).7.已知已知 an 是首项为是首项为 19,公差为公差为-2 的等差数列的等差数列,Sn 为为 an 的前的前 n 项和项和.
47、(1)求通项求通项 an 及及 Sn;(2)设设 bn-an 是首项为是首项为 1,公比为公比为 3 的等比数列的等比数列,求数列求数列 bn 的通项公式及其前的通项公式及其前 n 项和项和 Tn.解解:(1)an 的通项的通项 an=a1+(n-1)d=19+(n-1)(-2)=21-2n.dnnnaSn2)1(1-+=)2(2)1(19-+=nnn=20n-n2.7.已知已知 an 是首项为是首项为 19,公差为公差为-2 的等差数列的等差数列,Sn 为为 an 的前的前 n 项和项和.(1)求通项求通项 an 及及 Sn;(2)设设 bn-an 是首项为是首项为 1,公比为公比为 3 的
48、等比数列的等比数列,求数列求数列 bn 的通项公式及其前的通项公式及其前 n 项和项和 Tn.解解:(2)bn-an=bn-21+2n=3n-1,则则bn的通项公式的通项公式 bn=3n-1-2n+21.得得 Tn=(30-2 1+21)+(3-2 2+21)+(32-2 3+21)+(3n-1-2n+21)=(1+3+32+3n-1)-2(1+2+3+n)+21nnnnn212)1(23131+-=.20)13(212nnn+-=8.已知两个等比数列已知两个等比数列 an,bn,满足满足 a1=a(a0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若若 a1=1,求数列求数列 a
49、n 的通项公式的通项公式;(2)若数列若数列 an 唯一唯一,求求 a 的值的值.解解:(1)若若 a1=1,则则 b1=2,设设 an 的公比为的公比为 q1,bn 的公比为的公比为 q2,则则 2q2-q1=2,2q22-q12=3,解得解得.221=qan 的通项公式为的通项公式为,)22(1-+=nna或或.)22(1-=nna 8.已知两个等比数列已知两个等比数列 an,bn,满足满足 a1=a(a0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若若 a1=1,求数列求数列 an 的通项公式的通项公式;(2)若数列若数列 an 唯一唯一,求求 a 的值的值.解解:(2)若若 a1=a,则则 b1=a+1,设设 an 的公比为的公比为 q1,bn 的公比为的公比为 q2,则则(a+1)q2-aq1=2,(a+1)q22-aq12=3,两式整理得关于两式整理得关于q1的方程为的方程为aq12-4aq1+3a-1=0.=(-4a)2-4a(3a-1)方程方程有两解有两解,则数列则数列 an 不唯一不唯一.=4a2+4a 0,q1 是公比是公比,若有一根为若有一根为 0,则则an就只有一解就只有一解.即即 3a-1=0,得得.31=a
