1、14.Legendre 函数的性质函数的性质2010.6.3一一.Legendre方程的引出方程的引出球形域上三维静电场问题中球形域上三维静电场问题中,外电势满足外电势满足 Laplace 例：例：方程。方程。分析：分析：即即求其分离变量解求其分离变量解。求解时常将其写成球坐标形式：求解时常将其写成球坐标形式：,0),(2 ru.0sin1)(sinsin1)(12222222 ururrurrr设解为设解为,)()()(rRu 得得代入上方程并乘以代入上方程并乘以)(2 Rr.0ddsin1)dd(sinddsin1)dd(dd12222 rRrrR后两项与后两项与 r 无关无关,于是有于是
2、有(1).)dd(dd12 rRrrR(2).ddsin1)dd(sinddsin1222 为方便为方便,常把常把 写成写成 l(l+1).于是于是(1)化为欧拉方程：化为欧拉方程：其通解为其通解为.)1(llrBrAR上式可化为上式可化为(3).,2 ,1 ,0(,dd1222 mm ,0)1(dd2dd222 RllrRrrRr(3)并自然周期条件可得并自然周期条件可得.cos sin mDmC (2)式乘以式乘以 2sin得得 .0dd1sin)1()dd(sinddsin222 ll(4).sin)1()dd(sinddsin22mll 方程方程(4)整理为整理为(5).0sin)1(
3、ddcotdd2222 mll称之为称之为 Legendre 方程。方程。其中其中.11 x(6),01)1(dd2dd)1(22222 PxmllxPxxPx该方程该方程 添加自然边界条件添加自然边界条件令令并将并将,cos x )(改写为改写为,)(xp则则(5)变为变为此方程称为关联此方程称为关联 Legendre 方程。方程。若定解问题与若定解问题与 无关无关,则则 亦然亦然,m 0。此时此时(6)成为成为(7),0)1(2 )1(2 PllxPPx|)1(|P构成本征值问题构成本征值问题,为为和和 ),2 ,1 ,0(,nnl ,)!2()!(!2!)(2 )1()(02 Mkknn
4、knxknknkknxP).,2 ,1 ,0(12 ,2)1(2 ,2 aanna nnM其本征值和本征函数其本征值和本征函数这样在轴对称假设下得到问题的级数解这样在轴对称假设下得到问题的级数解 )(cos)(),(0)1(nnnnnnPrBrAru 进一步的求解须知进一步的求解须知 Legendre 多项式的性质。多项式的性质。后面的讨论中，我们只考虑轴对称问题。后面的讨论中，我们只考虑轴对称问题。二二.Legendre多项式多项式的性质的性质1.Legendre多项式多项式的为微分表示的为微分表示(7).0)1(2 )1(2 PnnxPPx首先证明首先证明nnnxxxf1)(dd)(2 满
5、足满足 Legendre 方程方程令令,1)(2nxy 则则,1)(212 nxnxy因此因此nxnxyx1)(2)1(22 nxy2 上式两端同求上式两端同求 n+1 阶导数阶导数,得得 22)1(2)1()1()()1()2(2nnnynnxynyx )()1(2)1(2nnnynnnxy 即即 0,)1(2)1()()1()2(2 nnnynnxyyx因此因此0.)1(2 )1(2 fnnxffx.0)1(2 )1(2 PnnxPPx即即nnnxxxf1)(dd)(2 满足满足 Legendre 方程方程因此因此nnnnnxxnxfnxP1)(dd!21)(!21)(2 也是解。也是解。
6、由二项式定理可证明这里的由二项式定理可证明这里的)(xP就是就是n 阶阶Legendre多项式多项式.)(xPn2.Legendre多项式多项式的为积分表示的为积分表示据复变函数中高阶导数公式据复变函数中高阶导数公式,)(d )(2!)(1)(Lnnxzzzfinxf 可得可得nnnnnxxnxP)1(dd!21)(2 ,)(d 1)(22112 Lnnnxzzzi L 是围绕是围绕 z x 的任一正向闭曲线。的任一正向闭曲线。特别地特别地,取半径为取半径为 12x 的圆周为的圆周为L,则则.)(,12 iexxz.d1 d ,122 iiexizexxz 由此得由此得 )1(2)1(22)1
7、(2d 1 21)(ninninexexiixP.)1 1()1 1(22niniexxexx 其中其中化简得化简得 d)cos 1(21)(2nnxxxP此式称为此式称为Legendre 多项式的多项式的 Laplace 积分。积分。0 2d)cos 1(1nxx令令 cos x得得 0 d)cos sin(cos1)(nnixP由积分表达式可得由积分表达式可得,1)1(nP .)1()1(nnP 3.Legendre多项式多项式的母函数的母函数若一个函数按某一自变量作幂级数展开时若一个函数按某一自变量作幂级数展开时,其系数是其系数是例如若例如若,)(),(0nnntxPtxf Legend
8、re 多项式多项式,则称该函数为则称该函数为Legendre 多项式的多项式的母函数。母函数。就称就称 f(x,t)为为Legendre 多项式的母函数。多项式的母函数。考虑复变函数考虑复变函数.)21(),(212 txttxw当当 1|t时，时，将其展开为将其展开为,)(),(0 nnntxCtxw则有则有 ,d )21(21)(1212 LnntttxtixC L 是区域是区域|t|1 内任一正向闭曲线。内任一正向闭曲线。作变换作变换uttxt 1)21(212 LnntttxtixC d )21(21)(1212 L1 是是 L 在上述变换下的象在上述变换下的象,是含点是含点u x 的
9、闭曲线。的闭曲线。1 d)(2 1)(2112Lnnnuxuui 则则.1)(22 uxut).(xPn 根据高阶导数公式根据高阶导数公式)(!2)(d )(0)(10zfnizzzzfnLn xunnnnnuunxC 1)(dd!21)(2得得因此因此,)(),(0 nnntxPtxw母函数。母函数。即即 w(x,t)为为Legendre 多项式的多项式的Legendre 多项式满足如下递推公式：多项式满足如下递推公式：4.Legendre多项式多项式的递推公式的递推公式1.0;)()()12()()1(11 xnPxPxnxPnnnn2.0;)()()(1 xPxPxxPnnnn3.0)(
10、)()(11 xPxxPxnPnnn4.)(1)(2)()(11xPnxPxPnnn 由由212)21(),(txttxw 0)(nnntxP两边对两边对 t 求偏求偏导数得导数得 11232)()21()(nnntxnPtxttx.)()1()21()()(0120 nnnnnntxPntxttxPtx首先证明首先证明 1.0;)()()12()()1(11 xnPxPxnxPnnnn两边同乘两边同乘)21(2txt 得得 01)()1(nnntxPn比较比较nt的系数得的系数得).()1()(2)()1()()(111xPnxnxPxPnxPxxPnnnnn 整理即得整理即得 1.下面证明
11、下面证明 2.0;)()()(1 xPxPxxPnnnn由由212)21(),(txttxw 0)(nnntxP分别对分别对 x,t 求求偏导数得偏导数得 0232)()21(nnntxPtxtt 11232)()21()(nnntxnPtxttx于是于是.)()()(10 nnnnnntxnPtxPtx因为因为,0)(0 xP故故 0110)()()()(nnnnnnnnntxPtxPxtxPtx.)()()(1111 nnnnnnnnntxnPtxPtxPx即即 2 成立。成立。下面证明下面证明 3.0)()()(11 xPxxPxnPnnn对对 1 式式求导得求导得0)()()12()(
12、)1(11 xnPxPxnxPnnnn0)()()12()()12()()1(11 xnPxxPnxPnxPnnnnn对对 2 式式乘以乘以 n 得得 0)()()(1 xPxPxxPnnnn 0)()()(12 xnPxPxnxPnnnn两式相减得两式相减得 0,)()1()()1()()1(21 xxPnxPnxPnnnn即即 0,)()()()1(1 xxPxPxPnnnn此即此即 3。由由 2,3 可得可得 4。一一.Legendre多项式的正交归一性多项式的正交归一性Legendre 多项式在多项式在 1 ,1 上满足正交归一关系：上满足正交归一关系：.),1(22 ,0 d )()
13、(1 1 knnknxxPxPknLegendre 方程为方程为.0)1(2 )1(2 yllxyyx写成写成 Sturm-Liouviller 方程形式为方程形式为,0 dd)1(dd2 yxyxx 附加条件附加条件)1(y后构成本征值问题后构成本征值问题,其特征值其特征值和对应的特征函数分别为和对应的特征函数分别为),2 ,1 ,0()1(nnn 和和).(xPn因此自然有因此自然有).(,0d )()(1 1 knxxPxPkn 母函数关系式母函数关系式 0212)()21(nnntxPtxt两边平方得两边平方得2012)()21(nnntxPtxt两边积分得两边积分得 00111112
14、 d )()(d)21(nmnmmntxxPxPxtxt利用正交性得利用正交性得 021121 12 d )(|)21ln(21nnntxxPtxtt.d )(11ln210 2112 nnntxxPtt即即.1 2211ln210 2 nntntt而而.122d )(112 nxxPn因此因此称之为称之为Legendre 多项式的多项式的模方模方,记作记作,2nN即即.122 2 nNn 00)()(nmnmmntxPxP定理定理.设设 f(x)是是1,1 1,1 上的分段光滑的实值函数上的分段光滑的实值函数,且且 ,)(0 nnnxPC二二.按按 Legendre多项式作广义傅里叶展开多项
15、式作广义傅里叶展开xxfd )(112 积分积分具有有限值，具有有限值，那么那么 f(x)可按可按 Legendre多项式展开为无穷级数多项式展开为无穷级数其中其中 112d )()(1xxPxfNCnnn.d )()(21211 xxPxfnn对对(1,1)(1,1)内任一内任一 x,此级数收敛于此级数收敛于 f(x)在在 x 处左右处左右极限的平均值。极限的平均值。即连续点处级数收敛于即连续点处级数收敛于 f(x)本身。本身。在在例例 1.(1,1)(1,1)内将内将3)(xxf 按按)(xPn展开为展开为F-L 级数。级数。解：解：,)(03 nnnxPCx设设因因)(xPn是是 n 次
16、多项式，次多项式，所以所以).3(,0 nCn)()()()(332211003xPCxPCxPCxPCx 即即235)(33xxxP 又又,2)(3513xPx 因此因此.)(52)(53313xPxPx 计算计算例例 2.d )(11xxPn 解：解：因因,1)(0 xP故故.d )()(d )(11011xxPxPxxPnn 由正交性知由正交性知.)0(,0 d )(11 nxxPn而而.2 d )(110 xxP 1111 1d)()(d)(xxPxPxxxPnn计算计算例例 3.d )(11xxxPn 解：解：211,Nn 其中其中 1 ,1 1 ,0,1nnn ,11221,n 计
17、算计算例例 4.d )(10 xxPn 解：解：当当 0 n时时,.1d )(10 xxPn.0 当当n为非零偶数时为非零偶数时,xxPxxPnnd )(2d )(11 10 当当n为奇数时为奇数时,利用公式利用公式)(1)(2)()(11xPnxPxPnnn 得得xxPxPnxxPnnnd )()(121d )(110 110 )0()1()0()1(1211111 nnnnPPPPn.)0()0(12111 nnPPn由由22!)!2()!2(1)()0(kkPkk 可得结果。可得结果。半径为半径为a 的球面上，电势分布为的球面上，电势分布为 f (),(),求球内求球内例例 5.电势分布。电势分布。解：解：;)20 ,0 ,(,0),(2 arru边界条件与边界条件与无关，无关，球内电势分布满足球内电势分布满足 .|),(|0 rarufu 由上节讨论知问题的级数解为由上节讨论知问题的级数解为 )(cos)(),(0)1(nnnnnnPrBrAru 由由|0 ru知知.0 nB再由再由)(|fuar 知知 ,)(cos)(0 nnnnPaAf 于是于是 .d sin)(cos)(2120 nnnPfanA代入即得解。代入即得解。
