1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 导数与函数的综合问题 A组 基础题组 1.若 0ln x2-ln x1 B. - x1 D.x2 ln ,且 x0时 , x+ -3a. 3.(2017 课标全国 ,21,12 分 )设函数 f(x)=(1-x2)ex. (1)讨论 f(x)的单调性 ; (2)当 x0 时 , f(x)ax+1, 求 a的取值范围 . B组 提升题组 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1.函数 f(x)= x3+ax2+bx+c(a,b,cR) 的导函数的图象如图所示 . (1)求 a,b的值并写出 f(x)的单调区间 ; (2)函数 y=f(x)有三个零点 ,求 c
2、的取值范围 . 2.(2018 湖南衡阳模拟 )已知函数 f(x)=ln x-ax,aR. (1)求函数 f(x)的单调区间 ; (2)若不等式 f(x)+ax1 ,故选 C. 2. 解析 (1)由 f(x)=ex-3x+3a 知 , f (x)=ex-3. 令 f (x)=0,得 x=ln 3, 于是当 x变化时 , f (x)和 f(x)的变化情况如下表 : x (-,ln 3) ln 3 (ln 3,+) f (x) - 0 + f(x) 单调递 减 极小值 单调递 增 故 f(x)的单调递减区间是 (-,ln 3), 单调递增区间是 (ln 3,+), f(x)在 x=ln 3处取得极
3、小值 ,极小值为 f(ln 3)= -3ln 3+3a=3(1-ln 3+a). (2)证明 :待证不等式等价于 ex- x2+3ax-10, 设 g(x)=ex- x2+3ax-1,x0, 则 g(x)=ex-3x+3a,x0. 由 (1)及 aln =ln 3-1知 ,g(x)的最小值为 g(ln 3)=3(1-ln 3+a)0. g(x) 在 (0,+) 上为增函数 , g(0)=0, 当 x0时 ,g(x)0, 即 ex- x2+3ax-10,即 x+ -3a. 3. 解析 (1)f (x)=(1-2x-x2)ex. =【 ;精品教育资源文库 】 = 令 f (x)=0,得 x=-1-
4、 或 x=-1+ . 当 x( -, -1- )时 , f (x)0; 当 x( -1+ ,+) 时 , f (x)0),因此 h(x)在 0,+) 上单调递减 ,而 h(0)=1, 故 h(x)1, 所以 f(x)=(x+1)h(x)x+1ax+1. 当 00(x0), 所以 g(x)在 0,+) 上单调递增 ,而 g(0)=0,故 exx+1. 当 0(1-x)(1+x)2, (1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2), 取 x0= , 则 x0(0,1),(1 -x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故 f(x0)ax0+1. 当 a0 时 ,取 x0= , 则 x0(0,
5、1), f(x 0)(1-x0)(1+x0)2=1ax 0+1. 综上 ,a 的取值范围是 1,+). B组 提升题组 1. 解析 (1)因为 f(x)= x3+ax2+bx+c, 所以 f (x)=x2+2ax+b. 由题图知 f (x)=0的两个根为 -1,2, 所以 解得 由导函数的图象可知 ,当 -12时 , f (x)0,函数单调递增 , 故函数 f(x)在 (-, -1)和 (2,+) 上单调递增 ,在 (-1,2)上单调递减 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由 (1)得 f(x)= x3- x2-2x+c, 函数 f(x)在 (-, -1),(2,+) 上是增函数 ,
6、在 (-1,2)上是减函数 , 所以函数 f(x)的极大值为 f(-1)= +c, 极小值为 f(2)=c- . 而函数 f(x)恰有三个零点 ,故必有 解得 - 0恒成立 ,则 f(x)只有单调递增区间 (0,+). 当 a0时 ,由 f (x)0,得 0 ,所以 f(x)的单调递增区间是 ,单调递减区间是 . (2)f(x)+a0,则 g(x)= -a,且 g(1)=0, 当 a1 时 ,g(x)0, 得 0 . 所以 g(x)在 上单调递增 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以当 x 时 ,g(x)g(1)=0, 即 00, 则 g(x)在 (1,+) 上单调递增 , 所以当 x(1,+) 时 ,g(x)g(1)=0, 即 a0 时不满足题意 (舍去 ). 综上所述 ,实数 a的取值范围是 1,+).
