1、二项式二项式 定理（一）定理（一）教学过程 考试内容：二项式定理和二项展开式的性质。考试要求：掌握二项式定理，并能用它们计算和论证一些简单问题。考试大纲高考信息1.题型归纳：选择题、填空题较多，解答题在2001年出一道。2.考点归纳：（1）求某项系数。（2）二项展开式系数的性质。高考例题：DC的系数为（）。的展开式中，全国）在（：（例5103x)x1)(x1951 A.-297 B.-252 C.297 D.207）。的展开式中常数项为（全国文）在（：（例83)x12x922 A.-28 B.-7 C.7 D.28教学过程 返 回组合数 是从n个不同的元素中取出m（m=n）个元素的所有组合的个
2、数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数。)!mn(!m!nPPCmmmnmnmnC复习回顾组合数概念及其公式是什么？引入课题引入课题提问：今天星期3，再过22001天是星期几？求（1.002）6的近似值(精确到0.001）等等问题，都需要用二项式定理来解决，接下来我们共同研究二项式定理。1.在在n=1,2,3,4时，研究时，研究(a+b)n的展开式的展开式.(a+b)1=,(a+b)2=,(a+b)3=,(a+b)4=.a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3小练注意：展开式中的项数、次数(a、b各自次数）每一项的系数规律分析归纳，引出定理分析归纳，引出定理a4+4a3b
3、+6a2b2+4ab3+b4 2.列出上述各展开式的系数：列出上述各展开式的系数：1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 分析归纳，引出定理分析归纳，引出定理小结 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1杨辉三角爱国教育3.这些系数中每一个可看作由它肩上的两个数这些系数中每一个可看作由它肩上的两个数 字字 得到得到.你能写出第五行的数字吗？你能写出第五行的数字吗？(a+b)5=.4.计算：计算：=，=，=，=，=.用这些组合数表用这些组合数表 示示(a+b)4的展开式是：的展开式是：(a+b)4=.04
4、C14C24C34C44C44443342224314404bCabCbaCbaCaC 相加相加a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b514641分析归纳，引出定理分析归纳，引出定理用组合的知识求展开式各项系数用组合的知识求展开式各项系数因为（因为（a+ba+b）4 4=)ba)(ba)(ba)(ba(在4个括号中，都不取b，系数为04C恰有1个括号中取b，系数为 ；14C恰有2个括号中取b，系数为 ；24C恰有3个括号中取b，系数为 ；34C4个括号中都取b，系数为 ；44C总结规律对于（a+b）n=个n)ba()ba)(ba(的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中，恰
5、有r个括号中取b(其余括号中取a)的组合数 .那么，我们能不能写出(a+b)n的展开式？rnC引出定理，总结特征引出定理，总结特征nnnrrnrn1n1nn0nbCbaCbaCaC (a+b)n=（N n）,这个公式表示的定理叫做二项式定这个公式表示的定理叫做二项式定 理，公式右边的多项式叫做理，公式右边的多项式叫做(a+b)n的的 ，其中其中 （r=0,1,2,n）叫做）叫做 ，叫做二项展开式的通项，叫做二项展开式的通项，通项是指展开式的第通项是指展开式的第 项，项，展开式共有展开式共有 个项个项.rnC展开式展开式二项式系数二项式系数rrnrnbaC r+1n+1返回小结nnnrrnrn1
6、n1nn0nnbCbaCbaCaC)ba(剖剖 析析1.系数规律：系数规律：nn2n1n0nCCCC、2.指数规律：指数规律：（1）各项的次数均为）各项的次数均为n；（2）二项和的第一项）二项和的第一项a的次数由的次数由n降到降到0，第二项第二项b的次数由的次数由0升到升到n.3.项数规律：项数规律：两项和的两项和的n次幂的展开式共有次幂的展开式共有n+1个项个项.定理特征定理特征特值思想、不可忽视特值思想、不可忽视二项式定理对任意的数二项式定理对任意的数a a、b b都成都成立，当然对特殊的立，当然对特殊的a a、b b也成立！也成立！;xC)1(xC)1(xCC)x1(;CCCC)11(;
7、xCxCxCC)x1(nnnnrrnr1n0nnnnrn1n0nnnnnrrn1n0nn 例例习习题题1.用二项式定理展开下列各式：用二项式定理展开下列各式：64)x1x2()2()x11()1(nnnrrnrn1n1nn0nnbCbaCbaCaC)ba(定理定理思考思考（1）如何求展开式中的第三项？）如何求展开式中的第三项？（2）如何求展开式中第三项的系数？）如何求展开式中第三项的系数？（3）二项式系数就是项的系数吗？）二项式系数就是项的系数吗？方法方法（1）用定理展开，再找指定项）用定理展开，再找指定项.（2）用通项公式）用通项公式.注意：当注意：当n不是很大时，用杨辉三角，否则不是很大时
8、，用杨辉三角，否则 用通项公式。用通项公式。讲练结合、训练能力讲练结合、训练能力.x1x4x6x41)x1()x1(4)x1(6)x1(41)x11(4324324解：.x1x12x60160 x240 x192x643223讲练结合、训练能力讲练结合、训练能力例2.求9)x1x(的展开式中x3的系数。解：展开式的通项是r29r9rrr9r9xC)1()x1(xC分析：法1：转化为通项公式来求；法2：利用组合数知识来求；讲练结合、训练能力讲练结合、训练能力由题意得9-2r=3,即r=3.84C1x3933）的系数是（C3669)x1(x=.x84xC)1(33393例例题题nnnrrnrn1n
9、1nn0nnbCbaCbaCaC)ba(定理定理3.求近似值（精确到求近似值（精确到0.001）（1）(1.002)6；（；（2）(0.997)3；（3）今天星期今天星期3，再过，再过22001天是星期几？天是星期几？分析：（分析：（1）(1.002)6=（1+0.002)6 （2）(0.997)3=(1-0.003)3 （3）22001=（7+1）667类似这样的近似计算转化为二项式定理类似这样的近似计算转化为二项式定理求展开式，按精确度展开到一定项求展开式，按精确度展开到一定项.小小 结结定理定理应用应用求展开式求展开式近似计算近似计算定理归纳定理归纳定理特征定理特征小小 结结1.三种思想
10、分析、归纳、猜想、证明特值化思想化归与转化思想求展开式。求某一项的系数或某一项（有理 项、常数项等）。求近似值。求余数或证明整除性问题。2.四种题型教学过程小结与归纳布置作业，预习下节布置作业，预习下节1.练习题：课本第250页，1-5，答案写在书上即可;2.书面作业：课本第253页，第2、3、4、5。3思考题：仔细观察、研究杨辉三角，你能够总结归纳出多少个有关二项式系数的性质？教学过程19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。21、理想是反映美的心灵的眼睛。22、人生最高之理想，在求达于真理。便有了文明。24、生当做人杰，死亦为鬼雄。25、有理想的、充满社会
11、利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。27、生活中没有理想的人，是可怜的。28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。荀况33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。34、为了将来的美好而牺牲了
12、的人都是尊石质的雕像。35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。37、理想的书籍是智慧的钥匙。人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。鲁迅2人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。席慕蓉3做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。萧楚女4所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。鲁迅5人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。巴金6我们是国家的主人，应该处处为国
13、家着想。雷锋7我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。周恩来8春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。吴玉章9学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。毛泽东10错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。毛泽东38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。9君子欲讷于言而敏于行。君子欲讷于言而敏于行。论语译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。10二人同心，其利断金
14、；同心之言，其臭如兰。二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。周易译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。11君子藏器于身，待时而动。君子藏器于身，待时而动。周易译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。12满招损，谦受益。满招损，谦受益。尚书译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。13人不知而不愠，不亦君子乎？人不知而不愠，不亦君子乎？论语译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不
15、也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人14言必信言必信，行必果。，行必果。论语译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。15毋意，毋必，毋固，毋我。毋意，毋必，毋固，毋我。论语译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。16三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。论语译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。17君
16、子求诸己，小人求诸人。君子求诸己，小人求诸人。论语译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧1天行健，君子以自强不息。天行健，君子以自强不息。周易译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。2勿以恶小而为之，勿以善小而不为。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。三国志刘备语译：对任何一件事，不要因为它是
17、很小的、不显眼的坏事就去做；相反，对于一些微小的。却有益于别人的好事，不要因为它意义不大就不去做它。3见善如不及，见不善如探汤。见善如不及，见不善如探汤。论语译：见到好的人，生怕来不及向他学习，见到好的事，生怕迟了就做不了。看到了恶人、坏事，就像是接触到热得发烫的水一样，要立刻离开，避得远远的。4躬自厚而薄责于人，则远怨矣。躬自厚而薄责于人，则远怨矣。论语译：干活抢重的，有过失主动承担主要责任是“躬自厚”，对别人多谅解多宽容，是“薄责于人”，这样的话，就不会互相怨恨。5君子成人之美，不成人之恶。小人反是。君子成人之美，不成人之恶。小人反是。论语译：君子总是从善良的或有利于他人的愿望出发，全心全
18、意促使别人实现良好的意愿和正当的要求，不会用冷酷的眼光看世界。或是唯恐天下不乱，不会在别人有失败、错误或痛苦时推波助澜。小人却相反，总是“成人之恶，不成人之美”。6见贤思齐焉，见不贤而内自省也。见贤思齐焉，见不贤而内自省也。论语译：见到有人在某一方面有超过自己的长处和优点，就虚心请教，认真学习，想办法赶上他，和他达到同一水平；见有人存在某种缺点或不足，就要冷静反省，看自己是不是也有他那样的缺点或不足。7己所不欲，勿施于人。己所不欲，勿施于人。论语译：自己不想要的（痛苦、灾难、祸事），就不要把它强加到别人身上去。8当仁，不让于师。当仁，不让于师。论语译：遇到应该做的好事，不能犹豫不决，即使老师在
19、一旁，也应该抢着去做。后发展为成语“当仁不让”。18君子坦荡荡，小人长戚戚。君子坦荡荡，小人长戚戚。论语译：君子心胸开朗，思想上坦率洁净，外貌动作也显得十分舒畅安定。小人心里欲念太多，心理负担很重，就常忧虑、担心，外貌、动作也显得忐忑不安，常是坐不定，1.书到用时方恨少，事非经过不知难。陈廷焯译：知识总是在运用时才让人感到太不够了，许多事情如果不亲身经历过就不知道它有多难。72、笨鸟先飞早入林，笨人勤学早成材。省世格言译：飞得慢的鸟儿提早起飞就会比别的鸟儿早飞入树林，不够聪明的人只要勤奋努力，就可以比别人早成材。73.书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。增广贤文译：勤奋是登上知识高峰的一条捷径，不
20、怕吃苦才能在知识的海洋里自由遨游。74.学如逆水行舟，不进则退。增广贤文译：学习要不断进取，不断努力，就像逆水行驶的小船，不努力向前，就只能向后退。75.吾生也有涯，而知也无涯。庄子译：我的生命是有限的，而人类的知识是无限的。76.天下兴亡，匹夫有责。明顾炎武译：国家的兴旺、衰败，每一个人都负有很大的责任。77.生于忧患，死于安乐。孟子译：逆境能使人的意志得到磨炼，使人更坚强。相反，时常满足于享受，会使人不求上进而逐渐落后。78.位卑未敢忘忧国。陆游病起书怀译：虽然自己地位低微，但是从没忘掉忧国忧民的责任。79.人生自古谁无死，留取丹心照汉青。宋文天祥过零丁洋译：自古以来，谁都难免会死的，那就
21、把一片爱国的赤胆忠心留在史册上吧！80.先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。宋范仲淹岳阳楼记译：为国家分忧时，比别人先，比别人急；享受幸福，快乐时，却让别人先，自己居后。知缘斋主人81.小来思报国，不是爱封侯。小来思报国，不是爱封侯。唐岑参关人赴安西译：从小就想着报效祖国，而不是想着要封侯当官。）82.有益国家之事虽死弗避。有益国家之事虽死弗避。明吕坤呻吟语卷上译：对国家有利的事情要勇敢地去做，就算有死亡的危险也不躲避译：风声、雨声、琅琅读书声，都进入我们的耳朵，所以，作为一个读书人，家事、国事，天下的事情，各种事情都应该关心，不能只是死读书。87.生当作人杰，死亦为鬼雄。生当作人杰，死亦为鬼雄。
22、宋李清照夏日绝句译：活着的时候要做英雄，死后也要当英雄。88.利于国者爱之，害于国者恶之。利于国者爱之，害于国者恶之。晏子春秋译：对于国家有利的事就要热心地去做，对国家有害的事就要憎恶它，远离它。89.读书本意在元元。读书本意在元元。宋陆游译：读书的目的应该是掌握了知识后为社会和大众服务，而不是为了自己的升官发财。90.时穷节乃现，一一垂丹青。时穷节乃现，一一垂丹青。宋文天祥译：历史上许多忠臣义士，在国家有难时，他们的节操就显现出来，一个个名垂史册。91.哀哀父母，生我劬劳。哀哀父母，生我劬劳。诗经译：想起父母，做子女的是多么为他们感到心痛啊！他们生我育我，花费了多少辛勤的劳动啊！92.报国之
23、心，死而后已。报国之心，死而后已。宋苏轼译：报效祖国的志向到死都不会变。93.忧国忘家，捐躯济难，忠臣之志也。忧国忘家，捐躯济难，忠臣之志也。三国曹植求自诚表译：忧虑国家大事忘记小家庭，为拯救国家危难而捐躯献身，这都是忠臣的志向。94.大丈夫处世，当扫除天下，安事一室乎？大丈夫处世，当扫除天下，安事一室乎？汉陈蕃语译：有志气的人活在世上，应当敢于跟各种不利于国家的行为作斗争，哪能只满足于处理好自己小家的小事呢？95.君子之交淡如水，小人之交甘若醴。君子之交淡如水，小人之交甘若醴。庄子译：君子之间的交往，像水一样的平淡、纯净，这样的友谊才会持久；往小人之间的交像甜酒一样的又浓又稠，但不会长久。9
24、6.老吾老，以及人之老；幼吾幼，以及人之幼。老吾老，以及人之老；幼吾幼，以及人之幼。孟子译：尊敬、爱戴别人的长辈，要像尊敬、爱戴自己长辈一样；爱护别人的儿女，也97.见侮而不斗，辱也。见侮而不斗，辱也。公孙龙子译：当正义遭到侮辱、欺凌却不挺身而出，是一种耻辱的表现。98.天下皆知取之为取，而莫知与之为取。天下皆知取之为取，而莫知与之为取。后汉书译：人们都认为只有获取别人的东西才是收获，却不知道给予别人也是一种收获。99.人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛。人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛。汉司马迁史记译：人终究免不了一死，但死的价值不同，为了人民正义的事业而死就比泰山还重，而那些自私自利，损人利已的人之死就比鸿毛还轻。知缘斋主人100.羊有跪乳之恩，鸦有反哺之义。羊有跪乳之恩，鸦有反哺之义。增广贤文译：羊羔有跪下接受母乳的感恩举动，小乌鸦有衔食喂母鸦的情义，做子女的更要懂得孝顺父母83.一寸山河一寸金。一寸山河一寸金。金左企弓语译：祖国的每一寸山河比一寸黄金还要宝贵，是绝不能让给外人的。
