1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 数系的扩充与复数的引入 考纲传真 (教师用书独具 )1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件 .2.了解复数的代数表示法及其几何意义 .3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义 (对应学生用书第 77 页 ) 基础知识填充 1复数的有关概念 (1)复数的概念：形如 a bi(a， b R)的数叫复数，其中 a， b 分别是它的实部和虚部若 b 0，则 a bi 为实数，若 b0 ，则 a bi 为虚数，若 a 0 且 b0 ，则 a bi 为纯虚数 (2)复数相等： a bi c di?a c， b d(a， b， c，
2、d R) (3)共轭复数： a bi 与 c di 共轭 ?a c， b d(a， b， c， d R) (4)复数的模：向量 OZ 的模 r 叫作复数 z a bi 的模，即 |z| |a bi| a2 b2. 2复数的几何意义 复数 z a bi 一一对应 复平面内的点 Z(a， b) 一一对应 平面向量 OZ (a， b) 3复数 的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， d R)，则 加法： z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d)i； 减法： z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d)
3、i； 乘法： z1 z2 (a bi)( c di) (ac bd) (ad bc)i； 除法： z1z2 a bic di (a bi)(c di)(c di)(c di) ac bdc2 d2 bc adc2 d2 i(c di0) (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1， z2， z3 C，有 z1 z2 z2 z1， (z1 z2) z3 z1 (z2 z3) 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)方程 x2 x 1 0 没有解 ( ) (2)复数 z a bi(a， b R)中，虚部为 bi.(
4、 ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小 ( ) (4)在复平面内， 原点是实轴与虚轴的交点 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2. (教材改编 )如图 441，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是( ) 图 441 A A B B C C D D B 共轭复数对应的点关于实轴对称 3 (2017 全国卷 ) 复平面内表示复数 z i( 2 i)的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四
5、象限 C z i( 2 i) 1 2i， 复数 z 1 2i 所对应的复平面内的点为 Z( 1， 2)，位于第三象限 故选 C 4 (2017 全国卷 ) 3 i1 i ( ) A 1 2i B 1 2i C 2 i D 2 i D 3 i1 i (3 i)(1 i)(1 i)(1 i) 3 3i i 12 2 i. 故选 D 5设 i 是虚数单位，若复数 (2 ai)i 的实部与虚部互为相反数，则实数 a 的值为 _ 2 因为 (2 ai)i a 2i，又其实部与虚部互为相反数，所以 a 2 0，即 a 2. (对应学生用书第 77 页 ) 复数的有关概念 (1)(2018 合肥一检 )设
6、i 为虚数单位，复数 z 1 i3 i的虚部是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 15 B 15 C 1 D 1 (2)(2017 全国卷 ) 设有下面四个命题： p1：若复数 z 满足 1z R，则 z R； p2：若复数 z 满足 z2 R，则 z R； p3：若复数 z1， z2满足 z1z2 R，则 z1 z 2； p4：若复数 z R，则 z R. 其中的真命题为 ( ) A p1， p3 B p1， p4 C p2， p3 D p2， p4 (1)B (2)B (1)复数 z (1 i)(3 i)(3 i)(3 i) 4 2i10 25 15i，则 z 的虚部为 15，
7、故选 B (2)设 z a bi(a， b R)， z1 a1 b1i(a1， b1 R)， z2 a2 b2i(a2， b2 R) 对于 p1，若 1z R，即 1a bi a bia2 b2 R，则 b 0?z a bi a R，所以 p1为真命题 对于 p2，若 z2 R，即 (a bi)2 a2 2abi b2 R，则 ab 0. 当 a 0， b0 时， z a bi bi?R，所以 p2为假命题 对于 p3，若 z1z2 R，即 (a1 b1i)(a2 b2i) (a1a2 b1b2) (a1b2 a2b1)i R，则 a1b2a2b1 0.而 z1 z 2，即 a1 b1i a2
8、 b2i?a1 a2， b1 b2.因为 a1b2 a2b1 0?/a1 a2， b1 b2，所以 p3为假命题 对于 p4，若 z R，即 a bi R，则 b 0? z a bi a R，所以 p4为真命题故选B 规律方法 与复数概念相关问题的求解方法 复数的概念问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程 不等式 组即可 . 解 决复数模的问题可以根据模的性质把积、商的模转化为模的积、商 . 易错警示：解题时一定要先看复数是否为 a b a， b R 的形式，以确定实部和虚部 . 跟踪训练 (1)(2016 全国卷 ) 若 z 1
9、2i，则 4iz z 1 ( ) A 1 B 1 C i D i =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)(2018 长沙模拟 (二 )已知 a 是实数， a i2 i是纯虚数，则 a ( ) A 12 B 12 C 1 D 1 (1)C (2)A (1)因为 z 1 2i，则 z 1 2i，所以 z z (1 2i)(1 2i) 5，则4iz z 1 4i4 i.故选 C (2)复数 a i2 i (a i)(2 i)5 2a 15 a 25 i 是纯虚数，则 2a 15 0 且 a 25 0 ，解得 a 12，故选 A 复数的几 何意义 (1)(2018 石家庄质检 (二 )在复平面中，复
10、数 1(1 i)2 1对应的点在 ( ) 【导学号： 79140161】 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 (2)(2016 全国卷 ) 已知 z (m 3) (m 1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ( 3,1) B ( 1,3) C (1， ) D ( ， 3) (1)D (2)A (1)复数 1(1 i)2 1 11 2i 1 2i(1 2i)(1 2i) 15 25i，其在复平面内对应的点为 ? ?15， 25 ，位于第四象限，故选 D (2)由题意知? m 3 0，m 1 0， 即 3 m 1.故实数 m 的取值范围为 ( 3,1
11、) 规律方法 对复数几何意义的理解及应用 复数 z、复平面上的点 Z 及向量 OZ 相互联系，即 z a b a， b R ?Z a， b ?OZ 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 跟踪训练 (1)若复数 z (a 1) 3i(a R)在复平面内对应的点在直线 y x 2 上，则 a的值等于 ( ) A 1 B 2 C 5 D 6 (2)设复数 z1， z2在复平面内的对应点关于虚轴对称， z1 2 i，则 z1z2 ( ) A 5 B 5 C 4 i D
12、4 i (1)B (2)A (1)复数 z (a 1) 3i 在复平面内对应的点 (a 1,3)在直线 y x 2上， 3 a 1 2， a 2，故选 B (2) z1 2 i 在复平面内的对应点的坐标为 (2,1)，又 z1与 z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 z2的对应点的坐标为 ( 2,1)即 z2 2 i， z1z2 (2 i)( 2 i) i2 4 5. 复数的代数运算 (1)(2018 广州综合测试 (二 )若复数 z 满足 (3 4i z)i 2 i，则 z ( ) A 4 6i B 4 2i C 4 2i D 2 6i (2)(2018 石家庄一模 )若 z 是复数， z
13、 1 2i1 i ，则 z z ( ) A 102 B 52 C 1 D 52 (1)D (2)D (1)由题意得 3 4i z 2 ii i(2 i)i2 1 2i，所以 z 2 6i，故选 D (2)因为 z 1 2i1 i (1 2i)(1 i)(1 i)(1 i) 12 32i，所以 z 12 32i，所以 z z ? 1232i ? 1232i 52，故选 D 规律方 法 复数代数运算问题的求解方法 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式 . 记住以下结论，可提高运算速度 2 2i ； 1 i1 i i；
14、1 i1 i i； b ai a b ； i4n 1； i4n 1 i； i4n 2 1； i4n 3 n N =【 ;精品教育资源文库 】 = 跟踪训练 (1)已知 i 是虚数单位， ? ?1 i1 i8 ? ?21 i2 018 _. 【导学号： 79140162】 (2)已知 a， b R， i 是虚数单位，若 (1 i)(1 bi) a，则 ab的值为 _ (1)1 i (2)2 (1)原式 ? ?1 i1 i8 ? ? ?21 i2 1 009 i8 ? ?2 2i1 009 i8 i1 009 1 i4252 1 1 i. (2)(1 i)(1 bi) 1 b (1 b)i a，又 a， b R， 1 b a 且 1 b 0，得 a 2， b 1， ab 2.
