1、主要教学目标：主要教学目标：了解树和森林的概念和性质；熟练掌握二叉树的结构特性及二叉树的遍历方法；掌握树和二叉树的转换。了解二叉树的线索化，掌握中序线索化二叉树上求前驱和后继的方法。教学方法及教学手段：教学方法及教学手段：理论讲授与上机实践相结合教学重点及难点：教学重点及难点：二叉树的性质，建树、遍历等基本算法 第五章 树 树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构5.1 树的定义定义v定义：树(tree)是n(n0)个结点的有限集T，其中：l有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root)l当n1时，其余结点可分为m(m0)个互不相交的有限集T1,T2,Tm，其中每一个集合本身又
2、是一棵树，称为根的子树(subtree)v特点：l树中至少有一个结点根l树中各子树是互不相交的集合A只有根结点的树ABCDEFGHIJKLM有子树的树根子树基本术语v结点(node)表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支v结点的度(degree)结点拥有的子树数v叶子(leaf)度为0的结点v孩子(child)结点子树的根称为该结点的孩子v双亲(parents)孩子结点的上层结点叫该结点的v兄弟(sibling)同一双亲的孩子v树的度一棵树中最大的结点度数v结点的层次(level)从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层v深度(depth)树中结点的最大层次数v森林(forest)
3、m(m0)棵互不相交的树的集合ABCDEFGHIJKLM结点A的度：3结点B的度：2结点M的度：0叶子：K，L，F，G，M，I，J结点A的孩子：B，C，D结点B的孩子：E，F结点I的双亲：D结点L的双亲：E结点B，C，D为兄弟结点K，L为兄弟树的度：3结点A的层次：1结点M的层次：4树的深度：4结点F，G为堂兄弟结点A是结点F，G的祖先结点A的度：结点C的度：结点K的度：叶子：结点D的孩子：结点E的孩子：结点H的双亲：结点F的双亲：结点 为兄弟树的度：结点A的层次：1结点N的层次：4树的深度：结点为堂兄弟结点是结点F，G的祖先ABCDEFGHIJKLMNO5.2 树的存储结构树的存储结构v树的
4、标准形式存贮结构l实现：定义结构数组存放树的结点，每个结点含两个域：u数据域：存放结点本身信息u指针域：指向本结点的孩子结点data child1,child2,childmabcdefhgiabdcefghiabdcefghiv树的逆形式存贮结构l实现：定义结构数组存放树的结点，每个结点含两个域：u数据域：存放结点本身信息u指针域：指向本结点的双亲结点 data parentabcdefhgi a b c g h i d e fv树的扩充标准形式存贮结构l实现：定义结构数组存放树的结点，每个结点含两个域：u数据域：存放结点本身信息u指针域：指向本结点的双亲结点和孩子结点data child1
5、,child2,childm parentabcdefhgibacghidef5.3 用树表示集合例如 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9分成三个互不相交的集合：S0=0,6,7,8,S1=1,4,9,S2=2,3,5用树表示集合，如图：0678S0149S1235S2两个集合的并集：先用树表示集合，再将一棵树作为另一棵树的子集。UNION（S0，S1）067814914906785.4 树的遍历树的遍历v遍历按一定规律走遍树的各个顶点，且使每一顶点仅被访问一次，即找一个完整而有规律的走法，以得到树中所有结点的一个线性排列v常用方法l先根（序）遍历：先访问树的根结点，然后依次先根遍历根的每
6、棵子树l后根（序）遍历：先依次后根遍历每棵子树，然后访问根结点l按层次遍历：先访问第一层上的结点，然后依次遍历第二层，第n层的结点l叶子结点：从左到右访问叶子ABCDEFGHIJKLMNO先序遍历：后序遍历：层次遍历：ABE F I GCDHJ KL NOME I F G B C J K N O L M H D AAB C DE F GH I J KL MNO叶子遍历：E IGHG C J K N O M5.5 树的线性表示层号表示和括号表示v层号表示：按前序写出树中全部结点，并在结点之前带上结点的层号。l若k是树中的一个结点，有一个lev(k),满足以下两个条件：1、k是k的子结点，则lev
7、(k)lev(k)2、k,k”同是k的子结点，则lev(k)=lev(k”)则称lev(k)是结点k的层号。abcdefhgi(0,a),(1,b),(2,d),(2,e),(3,g),(3,h),(3,i),(1,c),(2,f)(10,a),(20,b),(30,d),(30,e),(40,g),(40,h),(40,i),(15,c),(25,f)5.5 树的线性表示层号表示和括号表示v括号表示 若T由根结点A和子树T0，T1，,Tm-1组成，则树T的括号表示为 A（T0的括号表示,T1的括号表示,Tm-1的括号表示）abcdefhgia(b(d,e(g,h,i),c(f)5.6 二叉树
8、定义v定义：二叉树是n(n0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的二叉树构成v特点l每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点)l二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒v基本形态A只有根结点的二叉树空二叉树AB右子树为空AB左子树为空ABC左、右子树均非空二叉树性质v性质1：)1(21iii个结点层上至多有在二叉树的第v性质2：深度为k的二叉树至多有 个结点(k1)12 kv性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1v满二叉树：12个结点的二叉树称为且有一棵深度为kkv顺序二叉树
9、l定义：深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称为l特点u叶子结点只可能在层次最大的两层上出现u对任一结点，若其右分支下子孙的最大层次为l，则其左分支下子孙的最大层次必为l 或l+1l特点：每一层上的结点数都是最大结点数1231145891213671014151231145891267101234567123456u性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1in)，有：(1)如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i1，则其双亲是i/2 (2)如果2in，则结点i无左孩子；如果2in，则其
10、左孩子是2i (3)如果2i+1n，则结点i无右孩子；如果2i+1n，则其右孩子是2i+11log2nn深度为个结点的完全二叉树的具有u性质4：树与二叉树转换ACBED树ABCDE二叉树 A B C D E A B C D E A B C D E 对应存储存储解释解释v将树转换成二叉树l加线：在兄弟之间加一连线l抹线：对每个结点，除了其左孩子外，去除其与其余孩子之间的关系l旋转：以树的根结点为轴心，将整树顺时针转45ABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHI树转换成的二叉树其右子树一定为空v将二叉树转换成树l加线：若p结点是双亲结点的左孩子，则将
11、p的右孩子，右孩子的右孩子，沿分支找到的所有右孩子，都与p的双亲用线连起来l抹线：抹掉原二叉树中双亲与右孩子之间的连线l调整：将结点按层次排列，形成树结构ABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHIv森林转换成二叉树l将各棵树分别转换成二叉树l将每棵树的根结点用线相连l以第一棵树根结点为二叉树的根，再以根结点为轴心，顺时针旋转，构成二叉树型结构ABCDEFGHIJABCDEFGHIJABCDEFGHIJABCDEFGHIJv二叉树转换成森林l抹线：将二叉树中根结点与其右孩子连线，及沿右分支搜索到的所有右孩子间连线全部抹掉，使之变成孤立的二叉树l还原
12、：将孤立的二叉树还原成树ABCDEFGHIJABCDEFGHIJABCDEFGHIJABCDEFGHIJ小结：本节讲述了四个内容：（1）树转换成二叉树（2）二叉树转换成树（3）树转换成二叉树（4）树转换成二叉树ABCDFHIG先序先序:中序中序:后序后序:ABDEFGHIC5.7 二叉树的遍历v方法l先序遍历：先访问根结点,然后分别先序遍历左子树、右子树l中序遍历：先中序遍历左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树l后序遍历：先后序遍历左、右子树，然后访问根结点DLRLDR、LRD、DLRRDL、RLD、DRLADBCD L RAD L RD L RBDCD L R先序遍历序列：A B D
13、C先序遍历:ADBCL D RBL D RL D RADCL D R中序遍历序列：B D A C中序遍历:ADBC L R DL R DL R DADCL R D后序遍历序列：D B C A后序遍历:B-+/a*b-efcd先序遍历：中序遍历：后序遍历：-+a*b-c d/e f-+a*b-cd/ef-+a*b-c d/e fv算法l递归算法void preorder(JD*bt)if(bt!=NULL)printf(%dt,bt-data);preorder(bt-lchild);preorder(bt-rchild);主程序主程序Pre(T)返回返回pre(T R);返回返回pre(T R
14、);ACBDTBprintf(B);pre(T L);BTAprintf(A);pre(T L);ATDprintf(D);pre(T L);DTCprintf(C);pre(T L);C返回T左是空返回pre(T R);T左是空返回T右是空返回T左是空返回T右是空返回pre(T R);先序序列：A B D Cl非递归算法ABCDEFGpiP-A(1)ABCDEFGpiP-AP-B(2)ABCDEFGpiP-AP-BP-C(3)p=NULLABCDEFGiP-AP-B访问：C(4)pABCDEFGiP-A访问：C B(5)ABCDEFGiP-AP-D访问：C Bp(6)ABCDEFGiP-AP
15、-DP-E访问：C Bp(7)ABCDEFGiP-AP-D访问：C B Ep(8)ABCDEFGiP-AP-DP-G访问：C B EP=NULL(9)ABCDEFGiP-A访问：C B E G Dp(11)ABCDEFGiP-AP-F访问：C B E G Dp(12)ABCDEFGiP-AP-D访问：C B E Gp(10)ABCDEFGiP-A访问：C B E G D Fp=NULL(13)ABCDEFGi访问：C B E G D F Ap(14)ABCDEFGi访问：C B E G D F Ap=NULL(15)v遍历算法应用l按先序遍历序列建立二叉树的二叉链表，已知先序序列为：A B C
16、 D E G F l求二叉树深度算法ABCDEFG A B C D E F G l统计二叉树中叶子结点个数算法中序遍历序列：B C A E D G H F I先序遍历序列：A B C D E F G H I5.8 二叉树的顺序存储v按层次序的存贮方式v按前序的存贮方式l附加左标志位和右指针ltag=0,结点k后面的结点是k的左子结点ltag=1,结点k无左子结点rchild=-1,无右子结点rchild=编号，有右子结点ltag data rchild ABDFCEGH01234567ltagdatarchild0A41B20D-11F-10C-10E-11G71H-1l附加两个标志位ltag
17、 data rtag ltag=0,结点k后面的结点是k的左子结点ltag=1,结点k无左子结点rtag=0,结点k后面的结点是k的右子结点rtag=1,结点k无右子结点ABDFCEGH01234567ltagdatartag0A01B00D11F10C10E11G01H15.9 穿线树和穿线排序v定义：l前驱与后继：在二叉树的先序、中序或后序遍历序列中两个相邻的结点互称为l线索：指向前驱或后继结点的指针称为l穿线树：加上线索的二叉链表表示的二叉树叫l线索化：对二叉树按某种遍历次序使其变为穿线树的过程叫v实现l在有n个结点的二叉链表中必定有n+1个空链域l在线索二叉树的结点中增加两个标志域lt
18、ag :若 ltag=0,lchild 域指向左孩子；若 ltag=1,lchild域指向其前驱rtag:若 rtag=0,rchild域指向右孩子；若 rtag=1,rchild域指向其后继ABCDE A B D C ET先序序列：ABCDE先序线索二叉树00001111 11lchild ltag data rtag rchildABCDE A B D C ET中序序列：BCAED中序线索二叉树0000111111ABCDE A B D C ET后序序列：CBEDA后序线索二叉树0000111111ABCDE 0 A 0 1 B 0 0 D 1 1 C 1 1 E 1 T中序序列：BCAE
19、D带头结点的中序线索二叉树 0 1头结点：lt=0,lc指向根结点rt=1,rc指向遍历序列中最后一个结点遍历序列中第一个结点的lc域和最后一个结点的rc域都指向头结点 A B D C ET中序序列：BCAED中序线索二叉树0000111111二叉排序树v定义：二叉排序树或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉树：l若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值l若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值l它的左、右子树也分别为二叉排序树v二叉排序树的插入l插入原则：若二叉排序树为空，则插入结点应为新的根结点；否则，继续在其左、右子树上查找，直至某个叶子结点的
20、左子树或右子树为空为止，则插入结点应为该叶子结点的左孩子或右孩子l二叉排序树生成：从空树出发，经过一系列的查找、插入操作之后，可生成一棵二叉排序树5.5 二叉树的应用哈夫曼树(Huffman)带权路径长度最短的树v定义l路径：从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点间的l路径长度：路径上的分支数l树的路径长度：从树根到每一个结点的路径长度之和l树的带权路径长度：树中所有带权结点的路径长度之和结点到根的路径长度权值其中：记作：kknkkklwlwwpl1lHuffman树设有n个权值w1,w2,wn，构造一棵有n个叶子结点的二叉树，每个叶子的权值为wi,则wpl最小的二叉树叫例 有4个
21、结点，权值分别为7，5，2，4，构造有4个叶子结点的二叉树abcd7524WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36dcab2475WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46abcd7524WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35nkKKLWWPL1v构造Huffman树的方法Huffman算法l构造Huffman树步骤u根据给定的n个权值w1,w2,wn，构造n棵只有根结点的二叉树，令起权值为wju在森林中选取两棵根结点权值最小的树作左右子树，构造一棵新的二叉树，置新二叉树根结点权值为其左右子树根结点权值之和u在森林中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加入森林中u重复上述两步，直到只
22、含一棵树为止，这棵树即哈夫曼树例a7b5c2d4a7b5c2d46a7b5c2d4611a7b5c2d461118例 w=5,29,7,8,14,23,3,1151429 7823 3111429 7823 1135887151429233581111358191429238715113581929 23148715292914871529113581923421135819234229148715295811358192342291487152958100lHuffman算法实现Ch5_8.cu一棵有n个叶子结点的Huffman树有2n-1个结点u采用顺序存储结构一维结构数组u结点类型定义t
23、ypedef struct int data;int pa,lc,rc;JD;lc data rc pa1 2 3 4 5 6 70 0 0 0 0 0 07 5 2 4 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0(1)lc data rc pa1 2 3 4 5 6 70 0 0 0 3 0 07 5 2 4 6 0 00 0 0 0 4 0 00 0 5 5 0 0 0kx1=3,x2=4m1=2,m2=4(2)lc data rc pa1 2 3 4 5 6 70 0 0 0 3 2 07 5 2 4 6 11 00 0 0 0 4 5 00 6 5 5 6 0 0k
24、x1=2,x2=5m1=5,m2=6(3)lc data rc pa1 2 3 4 5 6 70 0 0 0 3 2 17 5 2 4 6 11 180 0 0 0 4 5 67 6 5 5 6 7 0kx1=1,x2=6m1=7,m2=11(4)Ch5_8.cvHuffman树应用l最佳判定树等级分数段比例ABCDE05960697079 8089 901000.050.150.400.300.10a60a90a80a70EYNDYNCYNBYNA70a80a60CYNBYNDYNEYNA80a9060a70EADECa80a70a60alchild=NULL f-rchild=NULLlp
25、只有左子树或右子树up只有左子树，用p的左孩子代替p (1)(2)up只有右子树，用p的右孩子代替p (3)(4)lp左、右子树均非空u沿p左子树的根C的右子树分支找到S，S的右子树为空，将S的左子树成为S的双亲Q的右子树，用S取代p (5)u若C无右子树，用C取代p (6)SQPLP中序遍历：Q S PL PSQPL中序遍历：Q S PL(2)SPPLQ中序遍历：PL P S QSPLQ中序遍历：PL S Q(1)中序遍历：P PR S QSPRQ中序遍历：PR S Q(3)SPPRQ中序遍历：Q S P PRSQPR中序遍历：Q S PR(4)SQPRPFPCPRCLQQLSSL中序遍历：CL C QL Q SL S P PR FFSCPRCLQQLSL中序遍历：CL C QL Q SL S PR F(5)FPCPRCL中序遍历：CL C P PR FFCPRCL中序遍历：CL C PR F(6)l删除算法例805012060110150557053删除508060120110150557053删除60805512011015053701042581354删除1084255134删除58425413Ch5_10.c
