1、2017中科大纯粹数学前沿课程中科大纯粹数学前沿课程现代微分几何之旅现代微分几何之旅报告人：报告人：张希张希中国科学技术大学数学科学学院中国科学技术大学数学科学学院 报告提纲报告提纲从欧氏几何到非欧几何从欧氏几何到非欧几何古典微分几何与现代微分几何古典微分几何与现代微分几何黎曼几何简介黎曼几何简介几何中的典则度量几何中的典则度量 报告提纲报告提纲从欧氏几何到非欧几何从欧氏几何到非欧几何古典微分几何与现代微分几何古典微分几何与现代微分几何黎曼几何简介黎曼几何简介几何中的典则度量几何中的典则度量EuclidEuclid几何几何 讲到几何不得不讲讲到几何不得不讲Euclid几何，它基于几何，它基于E
2、uclid（公元前三百年）的著作公元前三百年）的著作几何原本几何原本。书中较完。书中较完整地收集了古希腊时期的数学成果，并加以系统整地收集了古希腊时期的数学成果，并加以系统化。这部著作具有无与伦比的历史意义，两千多化。这部著作具有无与伦比的历史意义，两千多年来我们一直在学习！年来我们一直在学习！几何原本几何原本 几何原本几何原本共十三章。共十三章。一到四章讲直线和圆的性质；第五章比例论；第一到四章讲直线和圆的性质；第五章比例论；第六章相似形；第七、八、九章讲数论；第十章是六章相似形；第七、八、九章讲数论；第十章是不可公度量的分类；第十一、十二、十三章讲立不可公度量的分类；第十一、十二、十三章讲
3、立体几何和穷竭法。体几何和穷竭法。穷竭法穷竭法，比如圆可被内接多边形穷竭，这是微积，比如圆可被内接多边形穷竭，这是微积分中分中极限理论极限理论的起源！的起源！EuclidEuclid几何的公设和公理几何的公设和公理 Euclid列出五个公设和五个公理，他采用列出五个公设和五个公理，他采用Aristotle对公设与公理的区别，即公理适用于一切科学对公设与公理的区别，即公理适用于一切科学的真理，而公设只应用于几何。的真理，而公设只应用于几何。公设公设 （公理略）（公理略）从任一点到任一点可作直线；从任一点到任一点可作直线；直线段可不断延长；直线段可不断延长；以任一点为中心和任一距离为半径可作一圆；
4、以任一点为中心和任一距离为半径可作一圆；所有直角彼此相等；所有直角彼此相等；一直线与两直线相交，且同侧所交两内角和小于两直角和，则两直线必相交一直线与两直线相交，且同侧所交两内角和小于两直角和，则两直线必相交于该侧一点于该侧一点。几何原本几何原本的优缺点的优缺点 优点优点组织严密，由简及繁；组织严密，由简及繁；论证严格，被数学家看成典范。论证严格，被数学家看成典范。缺点缺点 采用重合法，默认图形从一处移动到另一处所有性质保持不变，这是没有逻采用重合法，默认图形从一处移动到另一处所有性质保持不变，这是没有逻辑依据的；辑依据的；点、线、面的定义没有明确的数学含义；点、线、面的定义没有明确的数学含义
5、；不自觉作出的假定中，包括直线和圆的连续性的假定。不自觉作出的假定中，包括直线和圆的连续性的假定。解析几何解析几何 在在Euclid完成他的著作完成他的著作几何原本几何原本差不多差不多2000年后，两位欧洲数学家年后，两位欧洲数学家Fermat和和Descartes又一次又一次对几何的发展起了巨大的推进作用。对几何的发展起了巨大的推进作用。FermatFermat和和DescartesDescartes 在在16、17世纪，代数还是一门新兴科学，几何学世纪，代数还是一门新兴科学，几何学的的思维思维还在数学家的头脑中占有统治地位，几何还在数学家的头脑中占有统治地位，几何与代数是数学中两个不同的研
6、究领域。与代数是数学中两个不同的研究领域。Fermat代数学上做了很多贡献并将其用于曲线的代数学上做了很多贡献并将其用于曲线的研究，如利用二次方程研究圆锥曲线。当然研究，如利用二次方程研究圆锥曲线。当然Fermat在求最大最小值方面也有很多贡献（微积分在求最大最小值方面也有很多贡献（微积分中，你们肯定会学到中，你们肯定会学到Fermat的定理）。的定理）。FermatFermat和和DescartesDescartes Descartes站在方法论的站在方法论的自然哲学自然哲学的高度，认为希的高度，认为希腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象力。对
7、于当时流行的代数学，他觉得它完全从属力。对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必须把因此他提出必须把几何与代数几何与代数的优点结合起来，的优点结合起来，建立一种建立一种“真正的数学真正的数学”。代数与几何的结合代数与几何的结合 Fermat和和Descartes通过建立通过建立坐标系坐标系使几何对象和使几何对象和代数对象建立联系，如：点可看成数对，线和面代数对象建立联系，如：点可看成数对，线和面则可看做满足一次方程（组）的数对的全体。这则可看做满足一次方程（组）的数对的全体。这样他们可用代数方法研究几
8、何问题，他们所创立样他们可用代数方法研究几何问题，他们所创立的科目叫做的科目叫做坐标几何坐标几何或或解析几何解析几何。解析几何的基本思想解析几何的基本思想 解析几何的解析几何的中心思想中心思想是将代数方程与曲线和曲面是将代数方程与曲线和曲面等联系起来。通过建立坐标系（直角）讲几何对等联系起来。通过建立坐标系（直角）讲几何对象代数化（解析过程），再通过代数运算来得到象代数化（解析过程），再通过代数运算来得到几何结论。几何结论。我们在学习中会接触直角坐标系，内积，外积等我们在学习中会接触直角坐标系，内积，外积等概念，并对二次曲线和曲面进行分类，并了解那概念，并对二次曲线和曲面进行分类，并了解那些在
9、空间等距变换中不变的量（即几何量）。对些在空间等距变换中不变的量（即几何量）。对高次曲面和曲线的研究则发展为代数几何学。高次曲面和曲线的研究则发展为代数几何学。非欧几何非欧几何 在在19世纪前，人们普遍认为世纪前，人们普遍认为Euclid几何是物理空几何是物理空间和此空间中图形性质的正确理想化。间和此空间中图形性质的正确理想化。Newton的的物理学理论也是建立在物理学理论也是建立在Euclid几何这一数学基础几何这一数学基础之上的。几乎所有科学家都信奉之上的。几乎所有科学家都信奉Euclid几何为绝几何为绝对真理，认为物质世界是对真理，认为物质世界是Euclid式的。式的。只有只有David
10、 Hume在在人性论人性论中指出科学是纯中指出科学是纯经验性的，经验性的，Euclid几何的定律未必是物理的真理几何的定律未必是物理的真理。平行公理的研究平行公理的研究 平行公理（即前面公设五）缺乏像其它公理那种平行公理（即前面公设五）缺乏像其它公理那种说服力，人们一直努力用更为自明的命题来代替说服力，人们一直努力用更为自明的命题来代替平行公理，或试图用平行公理，或试图用Euclid的其它公理来推导平的其它公理来推导平行公理。行公理。非欧几何的历史就开始于数学家努力消除对非欧几何的历史就开始于数学家努力消除对Euclid平行公理的怀疑。平行公理的怀疑。非欧几何非欧几何 非欧几何学中两个重要人物
11、是非欧几何学中两个重要人物是Gauss和和Lobatchevsky（19世纪）。世纪）。Gauss很早就意识到要证明很早就意识到要证明Euclid平行公理的努平行公理的努力是白费的，他已经掌握能够存在一种逻辑几何力是白费的，他已经掌握能够存在一种逻辑几何的思想，在其中的思想，在其中Euclid几何平行公理不成立。几何平行公理不成立。Gauss在曲面的微分几何研究中，提出将曲面本身在曲面的微分几何研究中，提出将曲面本身看做一个空间，把测地线当做曲面上的看做一个空间，把测地线当做曲面上的“直线直线”，则几何是非，则几何是非Euclid的。的。球面几何和双曲几何球面几何和双曲几何 把球面本身看做一个
12、空间，把球面本身看做一个空间，“直线直线”或是测地线或是测地线是其上的大圆弧，很容易证明其上三角形内角和是其上的大圆弧，很容易证明其上三角形内角和大于两个直角和。大于两个直角和。单叶双曲面（花瓶的瓶颈部分）上，测地线三角单叶双曲面（花瓶的瓶颈部分）上，测地线三角形的内角和小于两个直角和。微分几何观点就是形的内角和小于两个直角和。微分几何观点就是Gauss曲率为负的曲面。曲率为负的曲面。LobatchevskyLobatchevsky几何几何 Lobatchevsky把把Euclid的平行公设改为：的平行公设改为：过直线外一点至少可引两条直线与其平行过直线外一点至少可引两条直线与其平行。Loba
13、tchevsky 导出三角形内角和小于两直角和，导出三角形内角和小于两直角和，并且是变化的。并且是变化的。PoincarePoincare几何模型几何模型 将单位圆盘看做一个空间（非欧平面），边界上将单位圆盘看做一个空间（非欧平面），边界上的点看做无穷远点，圆盘内的点则作为非欧平面的点看做无穷远点，圆盘内的点则作为非欧平面点，点，“直线直线”则是与单位圆盘边界正交的圆弧。则是与单位圆盘边界正交的圆弧。微分几何的观点微分几何的观点则是圆盘上则是圆盘上 附上第一基本形式（度量）附上第一基本形式（度量）222211dvduvuI非欧几何的意义非欧几何的意义 非欧几何是非欧几何是19世纪最具有启发性的
14、数学发现，虽世纪最具有启发性的数学发现，虽然当时受到了大部分数学家的忽视和嘲弄。然当时受到了大部分数学家的忽视和嘲弄。欧氏平行公理是独立的命题，可采用与之矛盾的欧氏平行公理是独立的命题，可采用与之矛盾的公理并发展全新的几何。公理并发展全新的几何。使人们意识到使人们意识到Euclid几何并非是物质空间的必然几何并非是物质空间的必然，Einstein相对论支撑了这一观点，现代物理学相对论支撑了这一观点，现代物理学发展使人们认识到非欧几何的重要性。发展使人们认识到非欧几何的重要性。报告提纲报告提纲从欧氏几何到非欧几何从欧氏几何到非欧几何古典微分几何与现代微分几何古典微分几何与现代微分几何黎曼几何简介
15、黎曼几何简介几何中的典则度量几何中的典则度量古典微分几何古典微分几何 古典微分几何研究三维欧氏空间中的古典微分几何研究三维欧氏空间中的曲线曲线和和曲面曲面 现代微分几何则研究更一般的空间现代微分几何则研究更一般的空间-流形流形 微分几何与微分几何与拓扑学拓扑学、分析学分析学、偏微分方程偏微分方程等其它等其它数学分支有着紧密联系。同时对数学分支有着紧密联系。同时对物理学物理学的发展也的发展也有着重要影响，例如：爱因斯坦的有着重要影响，例如：爱因斯坦的广义相对论广义相对论就就是以微分几何中的是以微分几何中的黎曼几何黎曼几何为其重要数学基础，为其重要数学基础，Yang-Mills 理论对应于向量丛的
16、联络理论。理论对应于向量丛的联络理论。曲面理论曲面理论 曲面（片）曲面（片）可看作到三维欧氏空间可看作到三维欧氏空间的双参数、光滑、正则的映射。（的双参数、光滑、正则的映射。（参数参数选取可不选取可不同）同）曲面上的任何一点，曲面上的任何一点，构成三维欧氏构成三维欧氏空间的标架。（切平面、法线与参数选取无关）空间的标架。（切平面、法线与参数选取无关）3:,RDvuvuvu,第一基本形式第一基本形式 由欧氏内积，我们可得下面二次微分形式由欧氏内积，我们可得下面二次微分形式 （曲面（曲面的第一基本形式）：的第一基本形式）：dvdudvdudsIvvuvvuuu,2第二基本形式第二基本形式 记单位法
17、向量为记单位法向量为 则则 曲面的第二基本形式：曲面的第二基本形式：其反映了曲面的形状！其反映了曲面的形状！dvdunnnndvdudndIIvvvuuvuu,vuvun法曲率，法曲率，Gauss Gauss 曲率曲率 曲面沿非零切向量曲面沿非零切向量 的的法曲率法曲率定义为：定义为：其上其上 W 为切空间上的为切空间上的 Weingarten 变换变换，它是一，它是一个自共轭变换，因而有两个实特征值个自共轭变换，因而有两个实特征值 称为曲称为曲面在该点的面在该点的主曲率主曲率。两主曲率的平均值称为。两主曲率的平均值称为平均平均曲率曲率，两主曲率之积称为曲面的，两主曲率之积称为曲面的 Gaus
18、s 曲率曲率。,WIIIkn21,kkGauss Gauss 美妙定理美妙定理 曲面的曲面的 Gauss 曲率仅与第一基本形式有关。曲率仅与第一基本形式有关。上面是由德国数学家上面是由德国数学家高斯高斯证明的，也即证明的，也即 Gauss 曲曲率是个内蕴量。高斯抓住了微分几何中最重要的率是个内蕴量。高斯抓住了微分几何中最重要的概念和根本性的内容，建立了曲面的概念和根本性的内容，建立了曲面的内蕴几何内蕴几何学学，随后德国数学家，随后德国数学家 黎曼黎曼（Riemann）将高斯的理）将高斯的理论推广到高维空间，这就是论推广到高维空间，这就是黎曼几何黎曼几何学的诞生。学的诞生。Gauss Gauss
19、 工作的意义工作的意义 Gauss的工作告诉人们可以忘掉曲面位于三位欧氏的工作告诉人们可以忘掉曲面位于三位欧氏空间的事实，只要给定第一基本形式（度量）曲空间的事实，只要给定第一基本形式（度量）曲面的所有几何性质都能从它导出。面的所有几何性质都能从它导出。给定度量后，我们可以计算曲面上曲线的长度，给定度量后，我们可以计算曲面上曲线的长度，测地线则是连接两点的最短曲线，它相当于欧氏测地线则是连接两点的最短曲线，它相当于欧氏空间中的直线（段），通常曲面的几何就是非欧空间中的直线（段），通常曲面的几何就是非欧的。的。Gauss Gauss 工作的意义工作的意义 Gauss证明了一条关于曲率的著名定理：
20、对于由测证明了一条关于曲率的著名定理：对于由测地线构成的三角形，成立地线构成的三角形，成立 321dAKAGauss-Bonnet Gauss-Bonnet 公式公式 对于三维欧氏空间中的闭曲面，成立对于三维欧氏空间中的闭曲面，成立 2dAK 报告提纲报告提纲从欧氏几何到非欧几何从欧氏几何到非欧几何古典微分几何与现代微分几何古典微分几何与现代微分几何黎曼几何简介黎曼几何简介几何中的典则度量几何中的典则度量黎曼几何黎曼几何 黎曼几何研究具有黎曼度量的微分流形，是现代黎曼几何研究具有黎曼度量的微分流形，是现代微分几何研究的微分几何研究的核心核心。我们讲在此节中简略回顾黎曼几何中的基本概念我们讲在此
21、节中简略回顾黎曼几何中的基本概念和经典理论。和经典理论。拓扑流形与坐标图拓扑流形与坐标图定义定义1.1.设是一个设是一个Hausdorff拓扑空间拓扑空间,若对每一点若对每一点 都有都有 的的一个领域一个领域 与与 的一个开集同胚的一个开集同胚,则称则称 为为 维拓扑流形维拓扑流形.设设MMppUnRMnnUUUR)(:)(,),(qxqxqn1是上述定义中的一个同胚映射是上述定义中的一个同胚映射,其中其中 为为 上的实值函数上的实值函数,称为第称为第 个坐标个坐标函数，函数，称为称为 的的坐标图坐标图,也称坐标卡或坐标领域也称坐标卡或坐标领域.ixUi),(UUM微分结构微分结构定义定义1.
22、2.设设 是一个是一个 维的拓扑流形。维的拓扑流形。Mn(1)的一个坐标图开覆盖的一个坐标图开覆盖M|),(MUU为指标集,为指标集,称为一个坐标图册。称为一个坐标图册。(2)若若 中，对任何中，对任何 当当 时时,UU)()(:UUUU1nnxxxx,11为为 映射映射.即即,为为 的的,则称则称 为为 坐标图册坐标图册.kC),(nixxx1kCkC(3)若若 为最大的为最大的 坐标图册，即对于坐标图册，即对于 的任意坐标图的任意坐标图 当当 它与它与 的的坐标图相容时坐标图相容时,它也一定属于它也一定属于 那么那么,称为称为 上的一个上的一个 的微分结构的微分结构.中中的坐标图称为的坐标
23、图称为 的容许坐标图的容许坐标图.kCM),(VVMkCM微分流形微分流形定义定义1.3.设设 是一个是一个 维的拓扑流形维的拓扑流形,为为 上的一个上的一个 微分结构，则称微分结构，则称 为为 维维 流形流形.一个一个 可微流形称为光滑流形可微流形称为光滑流形.可微流形称为称为解析流形可微流形称为称为解析流形.MnMkC),(MnkCCC例例1.是一个是一个 维解析流形维解析流形.nRn例例2.中的单位球面中的单位球面1nR)(|),(1112111niinnnxRxxS为为 维维(实实)解析流形。解析流形。n例例3.若若 分别为分别为 维维 微分流形，则微分流形，则 为为 维维 微分流形微
24、分流形,称为称为 和和 的积流形的积流形.NM,nm,kCNM nm kCMN例例4.若若 为为 维维 微分流形微分流形,为为 的开子集的开子集,则则 为为 维微分流形维微分流形,称为称为 的开子的开子流形流形.MnkCUMUnM向量丛向量丛定义定义2.1.设设 是两个光滑流形是两个光滑流形.是光滑的满射是光滑的满射,是是 维向量空间维向量空间.如如果存在果存在 的开覆盖的开覆盖 及一组映射及一组映射 使得下列条件成立：使得下列条件成立：ME,ME:nVRnMU(1)对任意的对任意的 以及一同胚映射以及一同胚映射使得使得 其中其中MUp,)(:1nUUR,P.:UUPnR(2)对任意的对任意的
25、 有有 其中转其中转移函数移函数 满足：满足：,UU),(,(),(vfxvx12)(:nnGLUUfRR(a)id;ff.fff则称则称 为一光滑向量丛为一光滑向量丛.),(ME定义定义2.2.设设 为一光滑向量丛为一光滑向量丛,它的一个截面即为一个映射它的一个截面即为一个映射 使使得得),(ME,:EM.idM(b)纤维丛理论纤维丛理论 纤维丛纤维丛的理论，是的理论，是1946年由美国的斯丁路特、美年由美国的斯丁路特、美籍华人籍华人陈省身陈省身、法国的艾勒斯曼共同提出的。数、法国的艾勒斯曼共同提出的。数学上，特别是在学上，特别是在拓扑学拓扑学中，一个纤维丛中，一个纤维丛(fibre bun
26、dle)是一个局部看来像两个空间的直积（特指笛是一个局部看来像两个空间的直积（特指笛卡尔积）的空间，但是整体可以有与直积空间不卡尔积）的空间，但是整体可以有与直积空间不同的拓扑结构。同的拓扑结构。最简单的非平凡例子：莫比乌斯带，克莱因瓶。最简单的非平凡例子：莫比乌斯带，克莱因瓶。Yang-MillsYang-Mills理论理论 Yang-Mills理论是由理论是由杨振宁杨振宁与与Mills上世纪五十年上世纪五十年代引入代引入,它是非阿贝尔变换群下的规范场论它是非阿贝尔变换群下的规范场论,是是Maxwell电磁理论的推广。电磁理论的推广。Yang-MillsYang-Mills理论与纤维丛理论理
27、论与纤维丛理论 上世纪七十年代，数学中上世纪七十年代，数学中纤维丛理论纤维丛理论和和规范场论规范场论的关系的关系已被沟通，明确了规范场就是联络，场强就是曲率，已被沟通，明确了规范场就是联络，场强就是曲率，Yang-Mills方程方程则是则是Yang-Mills泛函的泛函的Euler-Lagrange方程方程。作为作为Yang-Mills理论的数学基础，至今理论的数学基础，至今Yang-Mills方程解方程解的存在性还没有彻底弄清除，以及的存在性还没有彻底弄清除，以及Yang-Mills理论中的理论中的“质量间隙质量间隙”（mass gap）也没有很好的数学解释。这也）也没有很好的数学解释。这也
28、被被Clay数学研究所列为七大世界数学难题之一数学研究所列为七大世界数学难题之一。例例1.1.设设 为为 维光滑流形，维光滑流形，为为 在在 点的点的切空间切空间，记，记在在 上引入拓扑和上引入拓扑和 微分结构，可使其成为微分结构，可使其成为 维维 流形，定义流形，定义 ,即即 则则 为一向量丛，称为为一向量丛，称为 的的切丛切丛。切丛和余切丛切丛和余切丛MnM)(MTpp|)()()(MpMTXMTMTppMpp)(MTCn2CMMT)(:pXp)(),),(MMTM例例2.2.的对偶空间称为的对偶空间称为 在在 点的点的余切空间余切空间,用用 表示表示,的的元素称为余切向量元素称为余切向量
29、.对对|)()()(*MpMTMTMTppMpp)(MTpMp)(*MTp)(*MTp引进拓扑和光滑微分结构引进拓扑和光滑微分结构,可使其成为可使其成为 维的光滑流形维的光滑流形,定义映射定义映射 即即 ,则则 为一向量丛为一向量丛,称为流形称为流形 的的余切丛余切丛.n2,)(:*MMTpp)(),),(*MMTM外微分形式外微分形式 设设 是是 上的上的 阶阶反称反称共变张量空间共变张量空间,令令则它有一个自然的微分结构则它有一个自然的微分结构,使之成为使之成为 维光滑流形维光滑流形.称称为为 上的上的 次次外微分形式丛外微分形式丛.定义定义2.3.2.3.次外微分形式丛次外微分形式丛 的
30、截面称为的截面称为 上的上的 次次外微分外微分形式形式.用用 表示表示 上所有的上所有的 次外微分形式所组成的空间次外微分形式所组成的空间,特别特别地地,它的元素称为外微分形式它的元素称为外微分形式.称为外微分形式空间称为外微分形式空间.设设 利用局部坐标可以表示成利用局部坐标可以表示成)(*MTpr)(*MTpMpprrMTMT)()(*rmCm)(*MTrM)(*MTrMM),()(MCMA0nrrMAMA0)()()(MA),(MAr.,)(!njjdxdxxarrjjjjrr11111rrrrr)(MAr外微分算子外微分算子定义定义3.1.3.1.设映射设映射 满足下述条件：满足下述条
31、件：1.1.是是 线性的线性的.2.2.若若 ,则则 为为 的普通微分的普通微分,且且 3.3.若若 则则再把再把 线性扩张到整个线性扩张到整个 上上,则称映射则称映射 为外微分算子为外微分算子.注记注记3.1.3.1.外微分算子是存在且唯一的外微分算子是存在且唯一的.注记注记3.23.2.(Poincar引理引理)即即 ,对任意对任意 .注记注记3.3.3.3.设设 为为 维光滑流形维光滑流形,对于对于 ,若若 ,则称则称 是闭是闭的的.若存在一个若存在一个 ,使得使得 ,则称则称 是恰当的是恰当的.)()(:1MAMAdrrd)(0MAf dff.0)(dfd),(),(0MAMAr.)1
32、()(dddr)(MA)()(:MAMAd02d0)(ddd)(MAMr)(MAr0d)(1MArdDe-Rham De-Rham 上同调群上同调群将将 看做加群看做加群,定义了一个同态定义了一个同态.记记 的核的核 的像的像 和和 分别为分别为 次闭微分形式和次闭微分形式和 次恰当微分形式所构成的群次恰当微分形式所构成的群.因为因为 ,故故 商群商群称为流形称为流形 上的第上的第 个个De-Rham上同调群上同调群.定理定理3.1.3.1.(De-Rham定理定理)设设 是紧致定向的光滑流形是紧致定向的光滑流形,则则 的第的第 个个De-Rham上同调群与上同调群与 的第的第 个个拓扑上同调
33、群拓扑上同调群 是同构的是同构的.)(MAr)()(:MAMAdrrr1rrrddMAM0|)(),(RZ Z11)(,|)(),(rrrrdMAdMAMRB B),(RMrZ Z),(RMrB Brr02d).,(),(RRMMrrZ ZB B),(),(RRM,RMMrrrB BZ ZH HMrMrMMr)(MHr向量丛上的联络向量丛上的联络,共变导数共变导数A connection（联络）on a vector bundle over is a mapWritten as ,that satisfies the following properties:1.is linear in :2
34、.is linear in :and satisfies the product rule:We say is the covariant derivative of in the direction .EM),()()(:EEMXXX),()(MCR21221121XXXfXfff22112211)(XXXXXXfXff)()(XXLet be a connection on the bundle If is a smooth curve,then a smooth section along is a section of .Associate to this is the pullbac
35、k connection A section along a curve is parallel along if .In a local frame over a neighbourhood of :Where and is the Christoffel symbol of in this frame.平行移动平行移动.:ME MI:E*.VkijkijkettVttV)V(tt)()()()(00000jjetVtV)()(kij0Vt)(je)(0t定义定义5.1 光滑流形光滑流形 上任意一个对称上任意一个对称,正定的光滑正定的光滑 型共变张量场称为型共变张量场称为 上上的一个黎曼度量
36、的一个黎曼度量.若在若在 上指定一个黎曼度量上指定一个黎曼度量 ,则称则称 为一个黎曼流形为一个黎曼流形.黎曼度量黎曼度量粗略地说粗略地说,黎曼流形就是以光滑的方式在每一点的切空间上指定了欧氏内积微黎曼流形就是以光滑的方式在每一点的切空间上指定了欧氏内积微分流形分流形,因此黎曼流形在每一点的切空间是一个欧氏向量空间因此黎曼流形在每一点的切空间是一个欧氏向量空间.注记注记5.1.5.1.设设 是满足第二可数公理的光滑流形是满足第二可数公理的光滑流形,则在则在 上必存在黎曼度量上必存在黎曼度量.In local coordinates MMg),(gMM)20(,.),(jiijidxdxggxM
37、MA connection on a vector bundle is said to be compatible with a meric on if for any and ,A connection on is symmetric if its torsion vanishes.That is,if or equivalently 度量相容及无挠度量相容及无挠EgE)(E,)(MXX.,),(XXgggXTM,YXXYYX.kjikij定义定义5.2 设 是黎曼流形 上的一个联络,如果 ,则称联络 和黎曼度量 是相容的.定理定理5.1.(黎曼几何基本定理)在黎曼流形 上存在唯一的一个与度
38、量 相容的无挠联络 ,通常称该联络为 上的黎曼联络,或 Levi-Civita 联络.In local coordinate ,the Christoffel symbols of the Levi-Civita connection are given by黎曼联络（黎曼联络（Levi-CivitaLevi-Civita）)(M,g0gg)(M,gg)(M,g)(ixijljliiljklkijgggg21Smooth curve satisfying测地线测地线 黎曼流形中光滑曲线如果其切向量场沿自身是平行的，则称为一条测地线。或等价地0(t)(t)(t)(t)kjijki M 1,0:L
39、et be a vector bundle over .If is a connection on ,then the curvature of the connection on the bundle is the section defined by曲率张量曲率张量EMEEEEMTMTR.),(,YXYXXYYXRIf is a Riemannian manifold,the curvature of theLevi-Civita connection on is a tensor field that,in local coordinate ,takes the form where .
40、Accompanying this is the Riemann curvature tensor,also denoted by .It is a covariant tensor field defined byfor all .In local coordinates it can be expressed as where 黎曼曲率张量黎曼曲率张量),(gMTMMTR3TM)1,3()(ix,lkjilijkdxdxdxRRllijkkjiRR,R)0,4(WZYXRgWZYXR,),(,)(,MXZYXW)(ix,lkjiijkldxdxdxdxRR.pijklpijklRgR截面曲
41、率截面曲率If is a two-dimensional subspace of ,we define the sectional curature of to bewhere is an orthonormal basis for .By a rotation or reflection in the plane,one can show is independent of the choice of basis.We refer to the oriented plane generated from and by the notation (c.f.Section C.3).Furthe
42、rmore if is any basis for the 2-plane ,one hasMTpK2121,)(eeeeRK21,eeKiejejiee,vu222),(,)(vugvuvuvuRvuKRicci Ricci 曲率曲率In component form,From the symmetry properties of it is clear that is symmetric.),(),(YXRtrYXRicgipjqpqkikjijjiRgRRRic),(RRic纯量曲率纯量曲率A further trace of the Ricci tensor gives a scala
43、r quantity called the scaler curvature,denoted by Scal:ijijiigRgRicRictrScalEinstein Einstein 流形流形 黎曼流形黎曼流形 ，满足：满足：则称则称 其为其为 Einstein 流形流形。虽然，虽然，Einstein 考虑广义相对论是洛仑兹空间上，考虑广义相对论是洛仑兹空间上，但上述方程与但上述方程与 Einstein 方程方程运算完全一致。运算完全一致。gM,gRicgHoge-Hoge-星算子星算子 黎曼流形黎曼流形 ，定义：定义：如下：如下：gM,MMini:gdV,余微分算子余微分算子 黎曼流形黎
44、曼流形 ，定义：定义：如下：如下：gM,MMdii1:ddin111Laplace-Laplace-算子算子 黎曼流形黎曼流形 ，定义：定义：如下：如下：gM,MMii:dddd整体内积整体内积 紧致无边黎曼流形紧致无边黎曼流形 ，整体内积定义：整体内积定义：Laplace算子是椭圆自共轭算子，我们有：算子是椭圆自共轭算子，我们有：gM,ggMdv,dd,调和形式（调和形式（harmonic formharmonic form）黎曼流形黎曼流形 ，满足：满足：则称则称 其为其为 调和形式调和形式。令：。令：gM,00|MMHrrHodge-Hodge-理论（分解定理）理论（分解定理）紧致无边黎
45、曼流形紧致无边黎曼流形 ，对于任意对于任意 是有限维的。并且有下列分解：是有限维的。并且有下列分解：gM,nr 1rH MHMdMdMHMMrrrrrr11Hodge-Hodge-理论理论 每每de Rham 上同调类上同调类 有唯一一个调和代表元。有唯一一个调和代表元。第第r个个Betti数：数：Euler示性数示性数 MHMrrdimMHRMHrr,nrrrMM11曲率与拓扑（曲率与拓扑（BochnerBochner技巧）技巧）紧致无边黎曼流形紧致无边黎曼流形 ，满足：满足：则有：则有：Hodge-理论理论将将微分几何微分几何、代数拓扑代数拓扑、分析学分析学紧密紧密地联系起来。地联系起来。
46、gM,0 gRicg.011MMnChern-Chern-类类 示性类理论示性类理论则是纤维丛研究中的重点，这方面则是纤维丛研究中的重点，这方面Hopf、Stiefel、Whitney、Pontrjagin、陈省身陈省身和和吴吴文俊文俊等做出了开拓性的工作。上世纪四十年代陈等做出了开拓性的工作。上世纪四十年代陈省身在复向量丛上引入省身在复向量丛上引入“陈省身示性类陈省身示性类”，简称，简称为为“陈类陈类”（Chern-class）。）。Chern-WeilChern-Weil理论理论 并且并且陈省身陈省身还利用丛上联络的曲率形式来代表陈还利用丛上联络的曲率形式来代表陈类，这对几何学与理论物理都
47、有着重要意义（类，这对几何学与理论物理都有着重要意义（Chern-Weil理论理论）。）。通过对陈类作相应的积分可得到相关的不变量统通过对陈类作相应的积分可得到相关的不变量统称为称为陈数陈数（Chern-number），它们代表了丛的），它们代表了丛的最本质和重要的信息。最本质和重要的信息。2016年诺贝尔物理学奖得年诺贝尔物理学奖得主主 Thouless和和 Kosterlitz首次把首次把陈类陈类和和整数量子整数量子霍尔效应霍尔效应直接联系起来，这也说明陈类在物理学直接联系起来，这也说明陈类在物理学研究中有着重要应用。陈类和陈数在数学许多领研究中有着重要应用。陈类和陈数在数学许多领域都有着
48、重要应用。域都有着重要应用。报告提纲报告提纲从欧氏几何到非欧几何从欧氏几何到非欧几何古典微分几何与现代微分几何古典微分几何与现代微分几何黎曼几何简介黎曼几何简介几何中的典则度量几何中的典则度量研究背景研究背景 研究流形的研究流形的几何形状及结构几何形状及结构是数学研究的基本任是数学研究的基本任务之一务之一.人们最容易了解到的物体形状或结构是人们最容易了解到的物体形状或结构是对称均对称均匀分布匀分布的的,称为具称为具典则典则（canonical）度量度量结构的结构的流形如流形如:球面，环面，常曲率空间，对称空间等球面，环面，常曲率空间，对称空间等.研究背景研究背景 对于一般物体形状，人们寄期望予
49、通过适当的对于一般物体形状，人们寄期望予通过适当的形变形变和和剖剖分分等手段把它分解成若干具有典则结构的流形的组合等手段把它分解成若干具有典则结构的流形的组合.例如早在例如早在19世纪，通过世纪，通过 Mobius 和和 Poincare 等人的努力等人的努力，已知任何二维闭曲面都，已知任何二维闭曲面都存在存在典则度典则度量量结构结构（单值化定单值化定理理），并且任何二维可定向闭曲面都可分解成球面和若），并且任何二维可定向闭曲面都可分解成球面和若干个环面的连接和（干个环面的连接和（二维闭曲面分类定理二维闭曲面分类定理）.现代现代几何学几何学的许多努力在于如何把这两个二维结果推广的许多努力在于如
50、何把这两个二维结果推广到到高维高维.研究背景研究背景 研究研究几何中典则度量结构的几何中典则度量结构的存在、唯一性问题存在、唯一性问题是是基础数学研究的重点和热点基础数学研究的重点和热点.通常这些问题可归通常这些问题可归结为求解结为求解非线性非线性偏微分方程偏微分方程.例如例如:Yamabe问题问题.丘成桐求解复丘成桐求解复 Monge-Ampere 方程证明方程证明 Calabi 猜想猜想.Donaldson、Uhlenbeck、丘成桐通过、丘成桐通过 Hermitian-Einstein 方程寻求方程寻求 Hermitian-Einstein 度量的存在性度量的存在性.Perelman 利
