1、2022年北京市高考数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知全集，集合，则A，B，C，D，2若复数满足，则A1B5C7D253若直线是圆的一条对称轴，则ABC1D4已知函数，则对任意实数，有ABCD5已知函数，则A在，上单调递减B在，上单调递增C在上单调递减D在，上单调递增6设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献如图描述
2、了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系，其中表示温度，单位是；表示压强，单位是下列结论中正确的是A当，时，二氧化碳处于液态B当，时，二氧化碳处于气态C当，时，二氧化碳处于超临界状态D当，时，二氧化碳处于超临界状态8若，则A40B41CD9已知正三棱锥的六条棱长均为6，是及其内部的点构成的集合设集合，则表示的区域的面积为ABCD10在中，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是A，B，C，D，二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11（5分）函数的定义域是 12（5分）已知双曲线的渐近线方程为，则13（5分）若函数的一个零点为，则；14（5分）设函数若存在最小值，则的一个取值为 ；的最大值为
3、 15（5分）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，2，给出下列四个结论：的第2项小于3；为等比数列；为递减数列；中存在小于的项其中所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16（13分）在中，（）求；（）若，且的面积为，求的周长17（14分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，分别为，的中点（）求证：平面；（）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分18（13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含的同学将获得优
4、秀奖为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立（）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；（）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19（15分）已知椭圆的一个顶点为，焦距
5、为（）求椭圆的方程；（）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线，分别与轴交于点，当时，求的值20（15分）已知函数（）求曲线在点，处的切线方程；（）设，讨论函数在，上的单调性；（）证明：对任意的，有21（15分）已知，为有穷整数数列给定正整数，若对任意的，2，在中存在，使得，则称为连续可表数列（）判断，1，4是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；（）若，为连续可表数列，求证：的最小值为4；（）若，为连续可表数列，且，求证：2022年北京市高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知全集，集合
6、，则A，B，C，D，【思路分析】由补集的定义直接求解即可【解析】因为全集，集合，所以或，故选：【试题评价】本题主要考查补集的运算，考查运算求解能力，属于基础题2若复数满足，则A1B5C7D25【思路分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解【解析】由，得，故选：【试题评价】本题考查复数模的求法，考查化归与转化思想，是基础题3若直线是圆的一条对称轴，则ABC1D【思路分析】由圆的方程求得圆心坐标，代入直线方程即可求得值【解析】圆的圆心坐标为，直线是圆的一条对称轴，圆心在直线上，可得，即故选：【试题评价】本题考查直线与圆位置关系的应用，明确直线过圆心是关键，是基础题4已知函数，则对任意实数，有
7、ABCD【思路分析】根据题意计算的值即可【解析】因为函数，所以，所以故选：【试题评价】本题考查了指数的运算与应用问题，是基础题5已知函数，则A在，上单调递减B在，上单调递增C在上单调递减D在，上单调递增【思路分析】利用二倍角公式化简得，周期，根据余弦函数的单调性可得的单调递减区间为，单调递增区间为，进而逐个判断各个选项的正误即可【解析】，周期，的单调递减区间为，单调递增区间为，对于，在，上单调递增，故错误，对于，在，上单调递增，在上单调递减，故错误，对于，在上单调递减，故正确，对于，在，上单调递减，在，上单调递增，故错误，故选：【试题评价】本题主要考查了二倍角公式，考查了余弦函数的单调性，属于
8、基础题6设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【思路分析】根据等差数列的定义与性质，结合充分必要条件的定义，判断即可【解析】【解法一】：因为数列是公差不为0的无穷等差数列，当为递增数列时，公差，令，解得，表示取整函数，所以存在正整数，当时，充分性成立；当时，则，必要性成立；是充分必要条件故选：【解法二】：设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由（令或若）可得，取，则当时，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，取且
9、，假设，令可得，且，当时，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.【试题评价】本题考查了等差数列与充分必要条件的应用问题，是基础题7在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系，其中表示温度，单位是；表示压强，单位是下列结论中正确的是A当，时，二氧化碳处于液态B当，时，二氧化碳处于气态C当，时，二氧化碳处于超临界状态D当，时，二氧化碳处于超临界状态【思路分析】计算每个选项
10、的的值，结合与图可判断结论【解析】对于，当，时，由图可知二氧化碳处于固态，故错误；对于：当，时，由图可知二氧化碳处于液态，故错误；对于：当，时，由图可知二氧化碳处于固态，故错误；对于：当，时，由图可知二氧化碳处于超临界状态，故正确；故选：【试题评价】本题考查对数的计算，考查看图的能力，数形结合思想，属基础题8若，则A40B41CD【思路分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出和，以及的值，可得结论【解析】【解法一】，故选：【解法二】：(补解)赋值法：令x=1，原式为：-，令x=-1，-，+得：，故选：【试题评价】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题9已知正三棱
11、锥的六条棱长均为6，是及其内部的点构成的集合设集合，则表示的区域的面积为ABCD【思路分析】设点在面内的投影为点，连接，根据正三角形的性质求得的长，并由勾股定理求得的长，进而知表示的区域是以为圆心，1为半径的圆【解析】设点在面内的投影为点，连接，则，所以，由，知表示的区域是以为圆心，1为半径的圆，所以其面积故选：【试题评价】本题考查棱锥的结构特征，点的轨迹问题，考查空间立体感和运算求解能力，属于基础题10在中，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是A，B，C，D，【思路分析】根据条件，建立平面直角坐标系，设，计算可得，进而可利用参数方程转化为三角函数的最值问题求解【解析】【解法一】：在中，以为
12、坐标原点，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，如图：则，设，因为，所以，又，所以，设，所以，其中，当时，有最小值为，当时，有最大值为6，所以，故选：【解法二】：(补解)在中，所以 （校对） 其中，（校对）所以， 故选：【解法三】：(补解)在中，设M是AB的中点，因为，所以, , , |CM|= （校对） 因为, 所以， 故选：【试题评价】本题考查了平面向量数量积的最值问题，属于中档题二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11（5分）函数的定义域是 ，【思路分析】由分母不为0，被开方数非负列不等式组，即可求解函数的定义域【解析】要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为，故答案为：，【
13、试题评价】本题主要考查函数定义域的求法，考查运算求解能力，属于基础题12（5分）已知双曲线的渐近线方程为，则【思路分析】化双曲线方程为标准方程，从而可得，求出渐近线方程，结合已知即可求解的值【解析】双曲线化为标准方程可得，所以，双曲线的渐近线方程，又双曲线的渐近线方程为，所以，解得故答案为：【试题评价】本题主要考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，属于基础题13（5分）若函数的一个零点为，则1；【思路分析】由题意，利用函数的零点，求得的值，再利用两角差的正弦公式化简，可得的值【解析】函数的一个零点为，函数，故答案为：1；【试题评价】本题主要考查两角差的正弦公式，函数的零点，求三角函数的值，属
14、于中档题14（5分）设函数若存在最小值，则的一个取值为 0；的最大值为 【思路分析】对函数分段函数的分界点进行分类讨论，研究其不同图像时函数取最小值时的范围即可【解析】【解法一】：当时，函数图像如图所示，不满足题意，当时，函数图像如图所示，满足题意；当时，函数图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足，解得：；当时，函数图像如图所示，不满足题意，当时，函数图像如图所示，要使得函数有最小值，需，无解，故不满足题意；综上所述：的取值范围是，故答案为：0，1【解法二】：（补解）因为一次函数， 若时，当时，上单调递增，故没有最小值，不符合题目要求，舍去；若时，当时，上单调递减，所以 ，当时，如果存在最小
15、值，有解得， 若时， ，符合题意。综上可得:.故答案为：0，1【试题评价】本题主要考查利用分段函数图像确定函数最小值是分界点的讨论，属于较难题目15（5分）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，2，给出下列四个结论：的第2项小于3；为等比数列；为递减数列；中存在小于的项其中所有正确结论的序号是 【思路分析】对于，求出即可得出结论；对于，假设为等比数列，推出矛盾即可得出结论；对于，容易推得；对于，假设所有项均大于等于，推出矛盾即可判断【解析】对于时，可得，当时，由，可得，可得，故正确；对于，当时，由得，于是可得，即，若为等比数列，则时，即从第二项起为常数，可检验不成立，故错误；对于，因为，当时，
16、所以，所以，所以为递减数列，故正确；对于，假设所有项均大于等于，取，则，则与已知矛盾，故正确；故答案为：【试题评价】本题考查命题的真假判断，考查数列的递推关系，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于较难题目三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16（13分）在中，（）求；（）若，且的面积为，求的周长【思路分析】（）根据二倍角公式化简可得，进一步计算可得角；（）根据三角形面积求得，再根据余弦定理求得，相加可得三角形的周长【解析】（），又，；（）的面积为，又，又，的周长为【试题评价】本题考查了三角形面积公式和余弦定理的应用，属于中档题17（14分）如图，在三棱柱中，侧
17、面为正方形，平面平面，分别为，的中点（）求证：平面；（）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【思路分析】（1）通过证面面平证线面平行；（2）通过证明，两两垂直，从而建立以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值【解析】证明一：取中点，连接，为的中点，且，四边形是平行四边形，故，平面；平面，平面，是中点，是的点，平面；平面， 平面，又，平面平面，又平面，平面；证明二：（补解）：取的中点为，连接，由三棱柱可得四边形为平行四边形，而，（校对）则，而平面，平面，故平面，而
18、，则，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，（校对）取BC的中点为D，连接B1D , ND,为的中点，且，为的中点,且，,.四边形是平行四边形，故，平面；平面，平面，侧面为正方形，平面平面，平面平面，平面，又，若选：；又，平面，又平面，又，两两垂直，若选：平面，平面，平面，又，又，两两垂直，以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，1，1，2，1，1，设平面的一个法向量为，则，令，则，平面的一个法向量为，又，2，设直线与平面所成角为，直线与平面所成角的正弦值为【试题评价】本题考查线面平行的证明，线面角的求法，属中档题18（13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同
19、学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含的同学将获得优秀奖为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立（）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；（）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不
20、要求证明）【思路分析】（）用频率估计概率，即可求出甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率（）分别求出甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，的所有可能取值为0，1，2，3，结合独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，再利用期望公式即可求出（）根据三位同学以往成绩的平均值可知，甲获得冠军的概率估计值最大【解析】（）甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率（）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3，则，（）甲成绩的平均值为9.479，乙成绩的平均
21、值为9.46，丙成绩的平均值为9.465，故甲获得冠军的概率估计值最大【试题评价】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题19（15分）已知椭圆的一个顶点为，焦距为（）求椭圆的方程；（）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线，分别与轴交于点，当时，求的值【思路分析】（）利用已知和，的关系，可得，进而得到椭圆方程（）联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理求出，再表示出，化简即可【解析】（）由题意得，椭圆的方程为（）【解法一】：设过点的直线为，联立得，即，直线与椭圆相交，由韦达定理得，直线为，令，则，同理，【解法二】：（补解）因为点，在轴上，不妨设点位于点的左边，
22、设则 , 所以设直线： ,由得 ，设,得代入直线： ,得, , ，可得,因为, ，由得 把代入，得，即【试题评价】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查联立法和韦达定理、方程思想和运算能力，是一道综合题20（15分）已知函数（）求曲线在点，处的切线方程；（）设，讨论函数在，上的单调性；（）证明：对任意的，有【思路分析】（）对函数求导，将代入原函数及导函数得到纵坐标和斜率即可；（）对求导，并研究导函数的正负即可（）构造函数，利用单调性判断与大小关系即可【解析】（）对函数求导可得：，将代入原函数可得，将代入导函数可得：，故在处切线斜率为1，故，化简得：；（）【解法一】：由（）有：，令，令，设，恒成立，
23、故在，单调递增，又因为，故在，恒成立，故，故在，单调递增；【解法二】：（补解）由（）有：， = 因为，所以 .（校对）故在，恒成立，故在，单调递增；（）证明一：由（）有在，单调递增，又，故在，恒成立，故在，单调递增，设，由（）有在，单调递增，又因为，所以，故单调递增，又因为，故，即：，又因为函数，故，得证证明二：（补解）由（）有在，单调递增，又因为t0,所以在，即 所以在，单调递增，因为，则，而，故，得证.证明三：（补解）设,其中s0,t0.由（）有在,单调递增，又因为t0,所以在，即 所以在，单调递增，因为，则,而，故，得证.【试题评价】本题主要考查利用导函数研究函数切线，及证明函数不等式，
24、属于较难题目21（15分）已知，为有穷整数数列给定正整数，若对任意的，2，在中存在，使得，则称为连续可表数列（）判断，1，4是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；（）若，为连续可表数列，求证：的最小值为4；（）若，为连续可表数列，且，求证：【思路分析】（）直接根据连续可表数列的定义即可判断；（）采用反证法证明，即假设的值为3，结合是连续可表数列的定义推出矛盾，进而得出证明；（）首先连续可表数列的定义，证明得出，然后验证是否成立，进而得出所证的结论【解析】（）若，则对于任意的，2，3，4，所以是连续可表数列；由于不存在任意连续若干项之和相加为6，所以不是连续可表数列；（）假设的值为3
25、，则， 最多能表示，共6个数字，与是连续可表数列矛盾，故；现构造，2，3，4可以表达出1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，即存在满足题意故的最小值为4（）【解法一】：先证明从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，所以对任意给定的5个整数，最多可以表示个正整数，不能表示20个正整数，即若，最多可以表示个正整数，由于为连续可表数列，且，所以其中必有一项为负数既然5个正整数都不能连续可表的正整数，所以至少要有6个正整数连续可表的正整数，所以
26、至少6个正整数和一个负数才能满足题意，故【解法二】：（补解），若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，若，则至多可表个数，矛盾,从而若,则，至多可表个数，而，所以其中有负的，从而可表120及那个负数（恰 21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ，则所有数之和，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个， （仅一种方式），与2相邻，若不在两端,则形式，若，则（有2种结果相同，方式矛盾）， 同理 ，故在一端，不妨为形式，若,则 （有2种结果相同，矛盾），同理不行，则 （有2种结果相同，矛盾），从而，由于,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能，或，这2种情形，对：，矛盾，对：，也矛盾，综上 【试题评价】本题考查数列的新定义，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题第21页（共21页）
