1、4.2.2等差数列的前n项和公式（1） 导学案 1.等差数列掌握等差数列前n项和的性质及应用.2.会求等差数列前n项和的最值.重点：求等差数列前n项和的最值 难点： 等差数列前n项和的性质及应用等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式Snn(a1+an)2Snna1+n(n-1)2 d功能1：已知a1，an和n，求Sn . 功能2：已知Sn，n，a1 和an中任意3个，求第4个. 1思考辨析(1)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列也是等差数列()(2)若a10，dS7S5，有下列四个命题正确的是()A.d0； C.S120，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n
2、的值是_3已知数列an的前n项和公式为Snn230n.(1)求数列 an的通项公式an；(2)求Sn的最小值及对应的n值.等差数列前n项和Sn的最值(1)若a10，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值(2)若a10，d0，d0，则S1是Sn的最小值；若a10，d480，在24小时内能构筑成第二道防线例9.分析：由a10和d 0，可以证明an是递减数列，且存在正整数k，使得当nk时，an0,Sn递减，这样，就把求Sn的最大值转化为求an的所有正数项的和。另一方面，等差数列的前n项和公式可写成Sn=d2n2+a1-d2n，所以当d0时， Sn可以看成二次函数y=d2
3、x2+a1-d2x(xR)，当x= n时函数值。如图，当d 0时， Sn关于n的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点，因此，可以利用二次函数求相应的n, Sn的值。解法1.由d2，得an1an20，得an1an ，所以an是递减数列. 由a110，d2，得an10(n1)(2) 2n12.可知，当n6时，an0；当n6时，an0；当n6时，an0.所以, S1S2S5S6 S7也就是说，当n5或6时，Sn最大.因为S5=52210+(5-1)(-2) =30所以Sn的最大值为30.解法2：因为由a110，d2，因为Sn=d2n2+a1-d2n=-n2+11n=-n-1122+1214所以，当n
4、取与112 最接近的整数，即5或6时，Sn最大，最大值为30. 跟踪训练2. 分析：(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解解(1)法一：(公式法)当n2时，anSnSn1342n， 又当n1时，a1S1323421满足an342n.故an的通项公式为an342n.法二：(结构特征法)由Snn233n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以an是等差数列，由Sn的结构特征知解得a132，d2，所
5、以an342n.(2)法一：(公式法)令an0，得342n0，所以n17，故数列an的前17项大于或等于零又a170，故数列an的前16项或前17项的和最大法二：(函数性质法)由yx233x的对称轴为x.距离最近的整数为16,17.由Snn233n的图象可知：当n17时，an0，当n18时，an0，故数列an的前16项或前17项的和最大(3)由(2)知，当n17时，an0；当n18时，anS7，a7S5，a6a70，a60，d0，B正确S12(a1a12)6(a6a7)0，C不正确Sn中最大项为S6，D不正确故正确的是AB2 【答案】6或7由|a5|a9|且d0得a50，且a5a902a112d0a16d0，即a70，故S6S7且最小3【答案】(1)Snn230n，当n1时，a1S129.当n2时，anSnSn1(n230n)(n1)230(n1)2n31.n1也适合，an2n31，nN*. (2)法一：Snn230n2225当n15时，Sn最小，且最小值为S15225.法二：an2n31，a1a2a1515时，an0.当n15时，Sn最小，且最小值为S15225.
