1、5.3.1函数的单调性(1) 导学案 1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养。2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养。重点： 理解函数的单调性与导数的正负之间的关系难点： 运用导数判断函数的单调性函数f (x)的单调性与导函数f (x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数yf (x)：f (x)的正负f (x)的单调性f (x)0单调递_f (x)0单调递_增 ；减 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f (x)在区间(a，b)上都有f (x)0，则函数f (x)在这个区间上单调递减 (
2、)(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭” ()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大()(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f (x)0，不影响函数在此区间的单调性()一、 新知探究在必修第一册中，我们通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等的性质。在本章前两节中我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题。问题1: 判断函数单调性的方法有哪些?1.定义法：2.图像法：3.性质法:增
3、+增增，减+减减， 增减，复合函数单调性同增异减4.导数法问题2:图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间变化的函数 h(t)=-4.9t2+4.8t+11 图像. 图(2)是跳水运动员的速度v随时间t的变化的函数v(t)= h(t)=-9.8t+4.8的图象，a=2449,b是函数h(t)的零点。 运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？观察图像可以发现（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是单调递增，相应地，相应的v(t)=h(t)0（2）从最高点到入水，运动员的
4、重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)是单调递减，相应地，v(t)=h(t)0,函数的图像是“上升”的， h(t)函数在(0,a)上单调递增；当t(a,b) 时，ht0,函数的图像是“下降”的， h(t)函数在(a,b)上单调递减。这种情况是否具有一般性呢？问题4:观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导数的正负的关系。从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系；导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0)处的切线的斜率二、典例解析例1. 利用导数判断下列函数的单调性:（1）fx=x3+3x; （2） fx=sinx-x,x0,;(3
5、)fx=x-1x用解不等式法求单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f(x)；(3)解不等式f(x)0(或f(x)0)，并写出解集；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.跟踪训练1（1）函数f (x)2xsin x在(，)上是()A增函数B减函数C先增后减 D不确定（2）求f (x)3x22ln x函数的单调区间：例2. 已知导函数 fx 的下列信息，试画出函数 f(x) 的图象的大致形状.当1 x 0;当 x 4 , 或 x 1时, fx0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增；在某个区间（a，b）内，如果f(x)0(或f(x)0所以fx=x3+3
6、x，函数在R上单调递增，如图（1）所示 典(2) 因为fx=sinx-x,x(0,), 所以fx=cosx-10所以，函数fx=1-1x在 -,0和(0,+),上单调递增，如图（3）所示 跟踪训练1Af (x)2xsin x，f (x)2cos x0在(，)上恒成立，f (x)在(，)上是增函数（2）解(1)f (x)3x22ln x的定义域为(0，)，f (x)6x，由x0，f (x)0，解得x.由x0，f (x)0，解得0x.函数f (x)3x22ln x的单调递增区间为，单调递减区间为.例2. 解: 当1 x 0 可知f(x) 在此区间内单调递增;当 x 4 , 或 x 1时, fx0;
7、 可知f(x) 在此区间内单调递减;当 x = 4 , 或 x = 1时, fx=0.综上, 函数f(x) 图象的大致形状如右图所示.跟踪训练2（1）D当x0时，f (x)0，当x0时，f (x)0，所以函数f (x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，对照图象，应选D.（2）(1，2)和(4，)由yf (x)的图象及导数的符号与函数单调性的关系可得yf (x)的大致图象如图所示所以函数f (x)的单调递增区间是(1，2)和(4，)达标检测1Cf (x)在(，1)，(4，)上是减函数，在(1，4)上为增函数，当x1或x4时，f (x)0；当1x4时，f (x)0.故选C.2.B2.法一
8、：由函数yf (x)的导函数yf (x)的图象自左到右先增后减，可知函数yf (x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小法二：由于f (x)0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f (x)单调递增，即图象从左至右上升四个图象都满足由于当x0时，f (x)0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当x0时，f (x)0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象呈现下凸状，可以判断B正确故选B.3Df (x)ex(x3)ex(x2)ex，由f (x)0得(x2)ex0，x2.f (x)的单调递增区间为(2，)4 (0，)f (x)exx，f (x)ex1.由f (x)0得，ex10，即x0.f (x)的单调递增区间为(0，)
