1、 6.2.4向量的数量积第1课时向量的数量积的概念导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.理解两个向量夹角的定义，两向量垂直的定义；2.知道向量的投影向量；3.记住数量积的几个重要性质【自主学习】知识点1 向量的夹角(1)已知两个非零向量a，b，作a，b，则AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a，b，并规定它的范围是0a，b.www-2-1-cnjy-com在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有a，bb，a (2)当a，b时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作ab.知识点2 向量数量积的定义(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a|b|cos 叫做
2、a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角2-1-c-n-j-y(2)规定：零向量与任一向量的数量积为0.知识点3 投影向量 如图(1)，设a，b是两个非零向量，a，b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量；如图(2)，我们可以在平面内任取一点O，作a，b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量知识点4数量积的几个性质设a、b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则(1)aeea|a|cos.
3、(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|.(4)|ab|a|b|.【合作探究】探究一 向量的夹角问题【例1】在ABC中，AB，BC1，AC2，D是AC的中点求：(1)与的夹角大小；(2)与的夹角大小分析由勾股定理可知题中三角形为直角三角形，然后结合直角三角形相关知识和向量夹角知识解答本题解(1)如图所示，在ABC中，AB，BC1，AC2，AB2BC2()21222AC2，ABC为直角三角形tanA，A30.D为AC的中点，ABDA30，.在ABD中，BDA180AABD1803030120.与的夹角为120.(2)，与
4、的夹角也为120.归纳总结：求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.【练习1】已知|a|b|2，且a与b的夹角为60，设ab与a的夹角为，ab与a的夹角是.求.解：如图，作a，b，且AOB60，以OA、OB为邻边作OACB，则ab，ab，a.因为|a|b|2，所以OAB为正三角形，所以OAB60ABC，即ab与a的夹角60.因为|a|b|，所以平行四边形OACB为菱形，所以OCAB.所以COA906030，即ab与a的夹角30，90.探究二 向量数量积的运算【例2】已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的
5、夹角为30时，分别求a与b的数量积【版权所有：21教育】解(1)ab，若a与b同向，则0，ab|a|b|cos 04520；若a与b反向，则180，ab|a|b|cos 18045(1)20.(2)当ab时，90，ab|a|b|cos 900.(3)当a与b的夹角为30时，ab|a|b|cos 304510.归纳总结：已知|a|，|b|求ab时，需先确定两向量的夹角，再利用数量积的定义求解.本题中注意ab时，要分0和180两种情况讨论.【练习2】已知|a|4，|b|3，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为60时，分别求a与b的数量积解(1)当ab时，若a与b同向，则a与b的夹角0，a
6、b|a|b|cos 43cos 012.若a与b反向，则a与b的夹角为180，ab|a|b|cos 18043(1)12.(2)当ab时，向量a与b的夹角为90，ab|a|b|cos 904300.(3)当a与b的夹角为60时，ab|a|b|cos 60436.探究三 向量的投影【例3】已知ab9，a在b方向上的投影为3，b在a方向上的投影为，求a与b的夹角.解即，cos .0180，120.归纳总结：【练习3】已知|a|1，|b|1，a，b的夹角为120，计算向量2ab在向量ab方向上的投影解(2ab)(ab)2a22ababb22a2abb221211cos 12012.|ab|1.探究四
7、 平面向量数量积的性质【例4】已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|.解ab|a|b|cos 55.|ab| 5.|ab| 5.归纳总结：此类求解向量的模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2|a|2，勿忘记开方【练习4】已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量ae1e2，be22e1的夹角解e1，e2为单位向量且夹角为60，e1e211cos 60.ab(e1e2)(e22e1)2e1e2121，|a| ，|b| ，cos .又0，180，120.a与b的夹角为120.课后作业A组 基础题一、选择题1已知|a|8，|b|4，a，b120，则向量b在a方
8、向上的投影为()A4 B4 C2 D2答案D解析b在a方向上的投影为|b|cosa，b4cos 1202.2已知a、b为单位向量，其夹角为60，则(2ab)b等于()A1 B0 C1 D2答案B解析因为a、b为单位向量，且其夹角为60，所以ab11cos 60，(2ab)b2abb2210.3已知|a|9，|b|6，ab54，则a与b的夹角为()A45 B135 C120 D150答案B解析cos ，0180，135.4|a|2，|b|4，向量a与向量b的夹角为120，则向量a在向量b方向上的投影等于()A3 B2 C2 D1答案D解析a在b方向上的投影是|a|cos 2cos 1201.5已
9、知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则等于()A. B C D1答案A解析(3a2b)(ab)3a2(23)ab2b23a22b212180.6已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|等于()A0 B2 C4 D8答案B解析|2ab|2(2ab)24|a|24ab|b|2414048，|2ab|2.二、填空题7已知|a|2，|b|10，a，b120，则向量b在向量a方向上的投影是_，向量a在向量b方向上的投影是_【来源：】答案51解析b在a方向上的投影为|b|cosa，b10cos 1205，a在b方向上的投影为|a|cosa，b2cos 1201.8若向量a，
10、b满足|a|b|1，a与b的夹角为120，则aaab_.答案解析aaab1211cos 120.9在ABC中，|13，|5，|12，则的值是_答案25解析易知|2|2|2，C90.cos B，cos，cos(180B)cos B.|cos(180B)13525.10已知单位向量e1，e2的夹角为，且cos ，若向量a3e12e2，则|a|_.答案3解析|a|2aa(3e12e2)(3e12e2)9|e|212e1e24|e2|29121149.|a|3.三、解答题11已知ABC中，a，b，当ab满足下列条件时，能确定ABC的形状吗？(1)ab0.解ab|cos A.(1)当ab0时，A为锐角，
11、ABC的形状不确定12已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).解(1)与的夹角为60.|cos 6011.(2)与的夹角为120.|cos 12011.(3)与的夹角为60，|cos 6011.13已知向量a，b满足|a|12，|b|15，|ab|25，求|ab|.解|ab|2a2b22ab1221522ab252，2ab256.|ab|2a2b22ab122152256113.|ab|.14在ABC中，已知|5，|4，|3，求：(1)；(2)在方向上的投影；(3)在方向上的投影解|5，|4，|3.ABC为直角三角形，且C90.cos A，cos B.(1)5416；(2)|
12、cos，；(3)|cos，4.B组 能力提升一、选择题1设非零向量a、b、c满足|a|b|c|，abc，则a，b等于()A150 B120 C60 D30答案B解析abc，|c|2|ab|2a22abb2.又|a|b|c|，2abb2，即2|a|b|cosa，b|b|2.2如图，圆心为C的圆的半径为r，弦AB的长度为2，则 的值为()ArB2r C1D2答案：D如图，作AB的中点H，连接CH，则向量在方向上的投影的数量为AH|cos CAB，所以|cos CAB|2.3(多选题)对于非零向量a，b，c，下列命题正确的是()A若abbc，则abB若ab，则ab(ab)2C若ab，则a在b上的投影
13、的数量为|a|D若1a2b0(1，2R，且120)，则ab答案：BD对于选项A，若abbc，则(ac)b0，故A错误；对于选项B，若ab，所以ab0，则ab(ab)2，故B正确；对于选项C，若ab，则a在b上的投影的数量为|a|，故C错误；对于选项D，若1a2b0(1，2R，且120)，推出ab，由平行向量基本定理可知ab，故D正确故选BD二、填空题4已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b(ab)0，则|b|的取值范围是_答案0,1解析b(ab)ab|b|2|a|b|cos |b|20，|b|a|cos cos (为a与b的夹角)，0，0|b|1.5如图所示，一个大小为5 N，与水平方向夹角
14、37的拉力F作用在小车上，小车沿水平方向向右运动运动过程中，小车受到的阻力大小为3 N，方向水平向左小车向右运动的距离为2 m的过程中，小车受到的各个力都没有发生变化求在此过程中：拉力F对小车做的功(取cos 370.8)为_小车克服阻力做的功为_答案：8 J6 J拉力F对小车做的功WFFScos 520.8 J8 J，小车克服阻力做的功为W克fWf32 J6 J6已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2.若平面向量b满足b(e1e2)0，且be11，则|b|_.答案：因为e1e2|e1|e2|cose1，e2cose1，e2.又0e1，e2180，所以e1，e260.因为b(e1e2)0，所以b与e1，e2的夹角均为30，所以be1|b|e1|cos 301，从而|b|.三、解答题7已知ABC的面积为S满足2S3，且3，与的夹角为.求与夹角的取值范围解因为ABC中，3，与夹角B，所以|cos，3，即|cos 3，得|.又S|sin B|sin() |sin tan ，由2S3得3tan 3，所以tan 1，由于0, ，所以.所以与夹角的取值范围是.
