1、 6.2.2向量的减法运算导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.知道相反向量的定义2.记住向量减法法则及其几何意义3.能够用向量减法法则及意义求两向量的差【自主学习】知识点1 相反向量(1)我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a.(2)(a)a，a(a)(a)a0.(3)零向量的相反向量仍是零向量，即00.知识点2 向量的减法及其几何意义1.向量减法的定义求两个向量差的运算叫做向量的减法我们定义，aba(b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量2向量减法的几何意义(1)三角形法则如图，已知a、b，在平面内任取一点O，作a，b，则
2、ab，即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义(2)平行四边形法则如图，设向量b，a，则b，由向量减法的定义，知a(b)ab.又ba，所以ab.如图，理解向量加、减法的平行四边形法则：在ABCD中，a，b，则ab，ab.【合作探究】探究一 向量减法的几何意义【例1-1】在ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则等于()ABCD答案：D解析由题意可知【例1-2】如图，已知向量a，b，c，求作abc解析如图，以A为起点分别作向量和，使a，B连接CB，得向量，再以点C为起点作向量，使c连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量abc归纳总结：1.作两向量
3、的差的步骤 2求两个向量的减法的注意点(1)可以转化为向量的加法来进行，如ab，可以先作b，然后用加法a(b)即可(2)向量减法的三角形法则对共线向量也适用【练习1】如图，设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若a，b，c，则abc.解析：由于，而ab，c，所以abc.探究二 向量的加减法运算【例2】化简得( )ABCD0答案：D解析(1)解法一：()()0解法二：()()0归纳总结：(1)首尾相接且为和；(2)起点相同且为差.,做题时要注意观察是否有这两种形式.同时要注意逆向应用，统一向量起点方法的应用.【练习2】化简：(1)()()； (2).分析解答本题可先去括号，再利用相反向量
4、及加法交换律、结合律化简解(1)解法一：原式()().解法二：原式()()0.(2)解法一：原式.解法二：原式().探究三 向量加减运算几何意义的应用【例3-1】已知非零向量a，b满足|a|1，|b|1，且|ab|4，则|ab|的值为 答案：4解析如图，令a，b，则|ab|以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则|ab|.由于(1)2(1)242.故|2|2|2，所以OAB是AOB为90的直角三角形，从而OAOB，所以平行四边形OACB是矩形根据矩形的对角线相等有|4，即|ab|4【例3-2】如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且a, b，c，试用向量a，b，c表示
5、向量，解析因为四边形ACDE是平行四边形，所以c，ba，故bac归纳总结：【练习3-1】已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量，满足，则四边形ABCD的形状为_ _答案：平行四边形解析(1)，|，且DACB，四边形ABCD是平行四边形【练习3-2】如图所示，解答下列各题：用a、d、e表示；用b、c表示；用a、b、e表示；用c、d表示解析deaadebcabe()cd课后作业A组 基础题一、选择题1在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是()A0BC D0答案C因为四边形ABCD是平行四边形，所以，0，0，故只有C错误2在ABC中，a，b，则等于()AabBa(b)CabDba答案B如图
6、，ab，ab.3已知非零向量a与b同向，则ab()A必定与a同向B必定与b同向C必定与a是平行向量D与b不可能是平行向量答案Cab必定与a是平行向量4.化简AB+BD-CD=()A.ACB.0C.BCD.DA解析AB+BD-CD=AD-CD=AD+DC=AC.故选A.答案A5.若O,A,B是平面上不共线的任意三点,则以下各式中成立的是()A.AB=OA+OBB.AB=OB-OAC.AB=-OB+OAD.AB=-OB-OA解析由平面向量的线性运算可知,AB=OB-OA.故选B.答案B6.(多选)化简以下各式,结果为0的有()A.AB+BC+CAB.AB-AC+BD-CDC.OA-OD+ADD.N
7、Q+QP+MN-MP解析AB+BC+CA=AC+CA=0;AB-AC+BD-CD=CB+BD-CD=CD-CD=0;OA-OD+AD=DA+AD=DA-DA=0;NQ+QP+MN-MP=NP+PN=NP-NP=0.故选ABCD.答案ABCD7(多选)下列各式中能化简为的是()A()B()C()()D答案ABC选项A中，()；选项B中，()0；选项C中，()()()；选项D中，2.8(多选)若a，b为非零向量，则下列命题正确的是()A若|a|b|ab|，则a与b方向相同B若|a|b|ab|，则a与b方向相反C若|a|b|ab|，则|a|b|D若|a|b|ab|，则a与b方向相同答案ABD当a，b
8、方向相同时，有|a|b|ab|，|a|b|ab|；当a，b方向相反时，有|a|b|ab|，|a|b|ab|，故A，B，D均正确二、填空题9如图，在ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则_.答案0因为D是边BC的中点，所以0.10如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，a，b，c，则_.(用a，b，c表示)答案abc由题意，在平行四边形ABCD中，因为a，b，所以ab，所以ab，所以abc.11已知向量|a|2，|b|4，且a，b不是方向相反的向量，则|ab|的取值范围是_答案2,6)根据题意得|a|b|ab|a|b|，即2|ab|6.三、解答题12如图，O为ABC内一点，a，b
9、，c.求作：答案(1)bca；(2)abc.解(1)以，为邻边作OBDC，连接OD，AD，则bc，所以bca，如图所示(2)由abca(bc)，如图，作OBEC，连接OE，则bc，连接AE，则a(bc)abc.13已知OAB中，a，b，满足|a|b|ab|2，求|ab|与OAB的面积答案 解由已知得|，以，为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，且ab，ab，由于|a|b|ab|，则OAOBBA，OAB为正三角形，|ab|22，SOAB2.B组 能力提升一、选择题1设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|216，|，则|()A8B4C2D1答案C根据|可知，ABC是以A为直角的直角三角
10、形，|216，|4，又M是BC的中点，|42.2.已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且四边形ABCD为平行四边形,则()A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0解析易知OB-OA=AB,OC-OD=DC,而在平行四边形ABCD中,AB=DC,所以OB-OA=OC-OD,即b-a=c-d,也即a-b+c-d=0.故选B.答案B3(多选)对于菱形ABCD，下列各式正确的是()A B|C| D|答案BCD菱形ABCD中，如图，|，B正确又|2|，|2|2|，C正确；又|，|，D正确；A肯定不正确，故选BCD4.(多选)下列说法中正确的是(
11、)A.若AB=DC,则A,B,C,D四点构成一个平行四边形B.若ab,bc,则acC.互为相反向量的两个向量模相等D.OC-OA+CD=AD答案CD解析当A,B,C,D四点共线时,不成立,故A错误;零向量与任何向量共线,当b=0时,ab,bc,则ac不成立,故B错误;互为相反向量的模相等,方向相反,故C正确;OC-OA+CD=AC+CD=AD,故D正确;故选CD.5.(多选)已知a,b为非零向量,则下列命题中是真命题的是()A.若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同B.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b方向相反C.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b有相等的模D.若|a|-|b|
12、=|a-b|,则a与b方向相同答案ABD解析如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当a,b不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,有|a|-|b|ab|a|+|b|.当a,b同向时有|a+b|=|a|+|b|,|a|-|b|=|a-b|.当a,b反向时有|a+b|=|a|-|b|,|a|+|b|=|a-b|,故选ABD.二、填空题6已知|a，|b(ab)，|的取值范围是5,15，则a_，b_.答案105因为ab|ab，所以解得7在ABC中，|1，则|_.答案如图，延长CB到点D，使CBBD，连接AD在ABD中，ABBD1，ABD120，.易求得AD，即|.所以|.8.
13、如图所示,在梯形ABCD中,ADBC,AC与BD交于O点,则BA-BC-OA+OD+DA=.解析BA-BC-OA+OD+DA=(BA-BC)+(OD-OA)+DA=CA+AD+DA=CA.答案CA9.若a0,b0,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b所在直线的夹角是.答案30解析：设OA=a,OB=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,如图所示,则a+b=OC,a-b=BA,因为|a|=|b|=|a-b|,所以|OA|=|OB|=|BA|,所以OAB是等边三角形,所以BOA=60,在菱形OACB中,对角线OC平分BOA,所以a与a+b所在直线的夹角为30.10.已知非零向量a,b满
14、足|a|=7+1,|b|=7-1,且|a-b|=4,则|a+b|=.答案4解析如图所示,设OA=a,OB=b,则|BA|=|a-b|,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则|OC|=|a+b|,由于(7+1)2+(7-1)2=42,故|OA|2+|OB|2=|BA|2,所以OAB是直角三角形,AOB=90,从而OAOB,所以平行四边形OACB是矩形,根据矩形的对角线相等得|OC|=|BA|=4,即|a+b|=4.三、解答题11.已知ABC是等腰直角三角形，ACB90，M是斜边AB的中点，a，b.求证：(1)|ab|a|；(2)|a(ab)|b|.证明因为ABC是等腰直角三角形，ACB90，所以CACB又M是斜边AB的中点，所以CMAMBM.(1)因为，又|，所以|ab|a|.(2)因为M是斜边AB的中点，所以，所以a(ab)()，因为|，所以|a(ab)|b|.
