1、 8.1基本立体图形第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体导学案编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【学习目标】1.记住圆柱、圆锥、圆台、球的定义及它们的结构特征2.能用圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征解答一些相关问题3.了解组合体的概念【自主学习】知识点1圆柱1以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱2旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线3棱柱和圆柱统称为柱体知识点2圆锥1以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边
2、旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥2棱锥与圆锥统称为锥体知识点3圆台1用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台2棱台与圆台统称为台体知识点4球半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径知识点5 简单组合体的结构特征1定义：由简单几何体组合而成的几何体称为简单组合体2简单组合体构成的两种基本形式简单组合体【合作探究】探究一 旋转体的结构特征【例1】下列命题正确的是_以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆
3、锥；圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥；球面上四个不同的点一定不在同一平面内；球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；球面上任意三点可能在一条直线上；用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面【答案】分析准确理解旋转体的定义，在此基础上掌握各旋转体的性质，才能更好地把握它们的结构特征，以作出准确的判断解析以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥，故错误；圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的线段，且这条线段与轴平行，故错误；它们的底面为圆面，
4、故错误；正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四点，则这四点就在球面上，故错误；根据球的半径定义可知正确；球面上任意三点一定不共线，故错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故正确归纳总结：简单旋转体判断问题的解题策略,(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.,(2)解题时要注意两个明确：,明确由哪个平面图形旋转而成；,明确旋转轴是哪条直线【练习1】下列命题：任意平面截圆柱，截面都是圆面；圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线，其中正确的是()AB CD【答案】D解析：过圆
5、柱两母线的截面为矩形，有时斜的截面为椭圆，故错误；圆台的母线不是上底面和下底面上任意两点的连线，错误；由圆锥母线的定义知正确，故选D.探究二 圆柱、圆锥、圆台的计算问题【例2】已知一个圆台的母线长为12 cm，两底面的面积分别为4 cm2和25 cm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长分析在解答有关台体的问题时，一般要把台体还原成锥体，这就是常应用的“还台为锥”的思想，不仅在作图时应用，而且在计算时也常应用此思想寻求元素间的关系，以便解决问题解(1)设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD(如图所示)由题意可得上底的一半O1A2 cm，下底的一半OB5 cm，腰长AB12 cm，所以
6、圆台的高AM3(cm)(2)如图，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，则由SAO1SBO，得，解得l20.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.归纳总结：旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解.这是解答圆台问题常用的方法【练习2】如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台OO的母线长解：设圆台的母线长为l cm，由截得圆台上、下底面面积之比为116，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r
7、、4r.过轴SO作截面，如图所示则SOASOA，SA3 cm.，.解得l9.即圆台的母线长为9 cm.探究三 球的截面问题【例3】已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12和16，求这两个截面间的距离分析画出球的截面图，球心与截面圆心连线垂直于截面所在的平面，构造直角三角形解决对于球的两个平行截面要注意讨论它们在球心同侧还是异侧，否则容易漏解解设球的大圆为圆O，C，D两点为两截面圆的圆心，AB为经过C，O，D三点的直径且两截面圆的半径分别是6和8.当两截面在球心同侧时，如图(1)，此时CDOCOD862.当两截面在球心两侧时，如图(2)，此时CDOCOD8614.故两截面间的距离为2或1
8、4.归纳总结：利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键【练习3】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的直径为2.解析：设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则r2，r1，设球的半径为R，则R，故球的直径为2.探究四 简单组合体的结构特征【例4】(1)如图所示的物体为燕尾槽工件，请说明该物体是由哪些几何体构成的(2)指出图中三个几何体的主要结构特征分析由多面体和旋转体的结构特征进行判断解(1)题图中的几何体可以看作是一个长方体割去一个四棱柱所得的几何体，也可以看成是一个长方体与两个四棱柱组合而成的几何体(如图所示)(2)(A)中的几何体由一个三棱柱挖去一个
9、圆柱后剩余部分组合而成，其中圆柱内切于三棱柱(B)中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱后剩余部分组合而成，其中四棱柱内接于圆锥(C)中的几何体由一个球挖去一个三棱锥后剩余部分组合而成其中三棱锥内接于球归纳总结：会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力【练习4】如图，绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单几何体组成的？解：如图所示，由一个圆锥O4O5，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O1O2组成的探究五 与球有关的“切”与“接”问题【例5】已知正方体的棱长为a，分别求出它的内切球及与
10、各棱都相切的球的半径分析解决此题的关键是找准轴截面，建立半径与棱长的关系解(1)正方体的内切球与各面的切点为正方体各面的中心，故作出经过正方体相对两面的中心且与棱平行的截面，则球的一个大圆是其正方形截面的内切圆，如图(1)所示，设球的半径为R1，易得R1.(2)与正方体的各棱均相切的球与正方体相连接的点是正方体各棱的中点，故应作出经过正方体一组平行棱中点的截面，则球的轴截面是其正方形截面的外接圆，如图(2)所示，设球的半径为R2，易求得球的半径R2a.归纳总结：组合体问题应分清各部分之间是如何组合起来的，以便转化为平面图形进行计算正方体的内切球直径等于正方体的棱长；外接球直径等于其体对角线的长
11、；球与正方体各棱都相切，则球的直径等于正方体面对角线的长【练习5】正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图形是()【答案】C解析：正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心，所以过一条侧棱和高的截面必过该棱所对面的高线，故C正确课后作业A组 基础题一、选择题1下列几何体中是旋转体的是 ()圆柱；六棱锥；正方体；球体；四面体A和B和C和D和【答案】D根据旋转体的概念可知，和是旋转体2图中的图形折叠后的图形分别是()A圆锥、棱柱B圆锥、棱锥C球、棱锥D圆锥、圆柱【答案】B根据图的底面为圆，侧面为扇形，得图折叠后的图形是圆锥；根据图的底面为三角形，侧面均为三角形，得图折
12、叠后的图形是棱锥3圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是()A等边三角形B等腰直角三角形C顶角为30等腰三角形D其他等腰三角形【答案】A设圆锥底面圆的半径为r，依题意可知2r，则r，故轴截面是边长为的等边三角形4如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()A一个棱柱中挖去一个棱柱B一个棱柱中挖去一个圆柱C一个圆柱中挖去一个棱锥D一个棱台中挖去一个圆柱【答案】B一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B5用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为()A32B CD【答案】B若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积
13、为；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为.二、填空题6如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是_【答案】圆柱一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱7下列命题中错误的是_过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；圆台所有平行于底面的截面都是圆面；圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形【答案】因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两条母线的夹角为90时，圆锥的轴截面面积最大8一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为_ cm2.【答案】9设截面圆半径为r cm，则
14、r24252，所以r3.所以截面圆面积为9 cm2.三、解答题9如图所示，梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征解如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体10一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4 cm2和25 cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)由已知可得上底面半径O1A2(cm)，下底面半径OB5(cm)，又因为腰长为12 cm，所以高AM3(cm)(2)如图所示，延长BA，OO1，CD
15、交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由SAO1SBO可得，解得l20 (cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.B组 能力提升一、选择题1.在正方体ABCDABCD中，P为棱AA上一动点，Q为底面ABCD上一动点，M是PQ的中点，若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是()A棱柱B棱台C棱锥D球的一部分【答案】A由题意知，当P在A处，Q在AB上运动时，M的轨迹为过AA的中点，在平面AABB内平行于AB的线段(靠近AA)，当P在A处，Q在AD上运动时，M的轨迹为过AA的中点，在平面AADD内平行于AD的线段(靠近AA), 当Q在B处，P在AA上运动时，M
16、的轨迹为过AB的中点，在平面AABB内平行于AA的线段(靠近AB), 当Q在D处，P在AA上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面AADD内平行于AA的线段(靠近AB), 当P在A处，Q在BC上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面ABCD内平行于AD的线段(靠近AB), 当P在A处，Q在CD上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面ABCD内平行于AB的线段(靠近AD), 同理得到：P在A处，Q在BC上运动；P在A处，Q在CD上运动；Q在C处，P在AA上运动；P，Q都在AB，AD，AA上运动的轨迹进一步分析其他情形即可得到M的轨迹为棱柱体故选A2. (多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几
17、种说法，其中说法正确的是()A由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C由一个长方体挖去一个四棱台所构成的D由一个长方体与两个四棱台组合而成的【答案】AB如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成故选项AB正确二、填空题3如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r1，母线长l4，M为母线SA上的一个点，且SMx，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A则绳子的最短长度的平方f(x)_.【答案】x216(0x4)将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA的长度L就是圆O的周长，所以L2r2，所以ASM.由题
18、意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM(0x4)所以f(x)AM2x216(0x4)三、解答题4球的两个平行截面的面积分别是5，8，两截面间的距离为1，求球的半径解设两个平行截面圆的半径分别为r1，r2，球半径为R.由r5，得r1.由r8，得r22. (1)如图，当两个截面位于球心O的同侧时，有1，即1，解得R3.(2)当两个截面位于球心O的异侧时，有1.此方程无解由(1)(2)知球的半径为3.5圆台上底面面积为，下底面面积为16，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为21，求这个截面的面积解圆台的轴截面如图，O1，O2，O3分别为上底面、下底面、截面圆心过点D作DFAB于点F，交GH于点E.由题意知DO11，AO24，AF3.DE2EF，DF3EF，GE2.O3的半径为3.这个截面面积为9.
