1、江苏省苏锡常镇四市2022届高三下学期3月教学情况调研（一）数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1设全集，集合，则集合（）ABCD2在的二项展开式中，第二项的系数为（）A4B C6D 3i是虚数单位，设复数满足，则的共轭复数（）A-1-iB-1+iC1-iD1+i4如果在一次实验中，测得的五组数值如下表所示，012341015203035经计算知，对的线性回归方程是，预测当时，（）附：在线性回归方程中，其中，为样本平均值.A47.5B48C49D49.55平面内三个单位向量，满足，则（）A，方向相同B，方向相同C，方向相同D，两两互不共线6若双曲线：的右焦点与抛物线：的焦点重合，
2、则实数（）ABC3D-37有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是（）A“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件B“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件C“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率D“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率8正四面体的棱长为，是棱的中点，以为球心的球面与平面的交线和相切，则球的体积是（）ABCD二、多选题9记为等差数列的前项和，则（）ABC，成等差数列D，成等差数列10某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼.学生的体能检测结果
3、服从正态分布，其中检测结果在以上为体能达标，以上为体能优秀，则（）附：随机变量服从正态分布，则，.A该校学生的体能检测结果的期望为B该校学生的体能检测结果的标准差为C该校学生的体能达标率超过D该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等11下列函数中，最大值是1的函数有（）ABCD12已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则满足条件的实数的可能值有（）A-1B0CD1三、填空题13已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，该圆柱和圆锥的表面积分别为，则_.14已知圆：，点A是x轴上的一个动点，直线AP，AQ分别与圆相切于P，Q两点，则圆心C到直线PQ的距离的取值范围是_.15已知
4、函数在一个周期内的图象如图所示，其中点P，Q分别是图象的最高点和最低点，点M是图象与x轴的交点，且.若，则_.四、双空题16已知是定义在上的奇函数，且.若当时，则在区间上的值域为_，在区间内的所有零点之和为_五、解答题17在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，_，求的面积.18某大学数学建模社团在大一新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选拔.为此，社团依次进行笔试、机试、面试三个项目的选拔，每个项目设置“优”、“良”、“中”三个成绩等第；当参选同学在某个项目中获得“优”或“良”时，该同学通过此项目的选拔，并参加下一个项
5、目的选拔，否则该同学不通过此项目的选拔，且不能参加后续项目的选拔.通过了全部三个项目选拔的同学进入到数学建模社团.现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每个项目中获得“优”、“良”、“中”的概率分别为，且该同学在每个项目中能获得何种成绩等第相互独立.(1)求甲同学能进入到数学建模社团的概率；(2)设甲同学在本次数学建模社团选拔中恰好通过个项目，求的概率分布及数学期望.19已知数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，求证：.20如图，在直三棱柱中，是以为斜边的等腰直角三角形，点，分别为棱，上的点，且.(1)若，求证：平面；(2)若二面角的大小为，求实数的值.21已知椭圆
6、：的离心率为，且椭圆的右焦点到右准线的距离为.点是第一象限内的定点，点M，N是椭圆上两个不同的动点（均异于点A），且直线AM，AN的倾斜角互补.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线的斜率，求点的坐标.22已知实数，函数，是自然对数的底数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)求证：存在极值点，并求的最小值.参考答案：1C【解析】【分析】解不等式化简集合A，B，再利用补集、交集的定义计算作答.【详解】解不等式得：，则，解不等式得：，则，所以.故选：C2B【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式直接计算即可【详解】的二项展开式的第二项为，所以第二项的系数为，故选：B3D【解析】【分析】先计算出，再求
7、出，即可求出共轭复数.【详解】由得，故.故选：D.4B【解析】【分析】分别求出，利用过点，代入点即可求得，最终代入，即可得到结果.【详解】由题，由线性回归方程过点得，解得，故，所以当时，故选：B5A【解析】【分析】根据，得，两边利用单位向量的平方等于1，即可求出，解得，方向相同.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以所以，所以，方向相同，故选：A.6D【解析】【分析】根据双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合知焦点在轴上，对双曲线表达式进行变形，求出，再令即可求解.【详解】双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，所以双曲线方程化为：，再转化为：，所以， ，所以，所以，所以平方得故选：D.7C【解
8、析】【分析】根据互斥事件的概念可判断AB；分别计算对应的概率可判断CD.【详解】当取出的两球为一红一蓝时，可得“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”均发生，即A错误；当取出的两球为一红一蓝时，可得“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”均发生，即B错误；记“至少取到1个红球”为事件A，“至少取到1个蓝球”为事件B，“至多取到1个红球”为事件C，“至多取到1个蓝球”为事件D，故，显然，即C正确，D错误；故选：C.8D【解析】【分析】设点在平面内的射影为点，则为的中心，取的中点，连接，则，取线段的中点，连接，分析可知以为球心的球面与平面的交线和相切的切点为，求出，即为球的半径，再利用球体的体
9、积公式可求得结果.【详解】设点在平面内的射影为点，则为的中心，取的中点，连接，则，取线段的中点，连接，因为、分别为、的中点，则且，因为平面，则平面，因为平面，则，正的外接圆半径为，所以，易知球被平面所截的截面圆圆心为点，且，故，因为为等边三角形，为的中点，则，因为以为球心的球面与平面的交线和相切，则切点为点，则球的半径为，因此，球的体积是.故选：D.9BCD【解析】【分析】利用等差数列求和公式分别判断.【详解】由已知得，A选项，所以，A选项错误；B选项，B选项正确；C选项，则，C选项正确；D选项，则，D选项正确；故选：BCD.10AD【解析】【分析】求出、的值，可判断AB选项；利用原则可判断C
10、选项；利用正态密度曲线的对称性可判断D选项.【详解】对于A选项，该校学生的体能检测结果的期望为，A对；对于B选项，该校学生的体能检测结果的标准差为，B错；对于C选项，所以，C错；对于D选项，所以，所以，该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等，D对.故选：AD.11BC【解析】【分析】化简变形各个选项中的函数解析式，再求其最大值即可判断作答.【详解】对于A，当且仅当，即时取“=”，即当时，A不正确；对于B，当且仅当，即时取“=”，即当时，B正确；对于C，当且仅当，即时取“=”，即当时，C正确；对于D，依题意，由，都有意义，且得：，且，且，显然最大值为1，此时，而使函数无意义，即不能取到1
11、，D不正确.故选：BC12AB【解析】【分析】根据给定条件，可得函数无最小值，再分类探讨函数在内最值情况判断作答.【详解】函数定义域为，因，总使得，则有函数在上没有最小值，对求导得：，当时，当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，则当时，取最大值，值域为，在内无最小值，因此，当时，令，当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，显然，即，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，当时，有两个根，不妨令，当或时，当或时，即函数在，上都单调递减，在，都单调递增，函数在与处都取得极小值，不符合题意，当时，当且仅当时取“=”，则当时，当时，即在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，综上得：实数的取值范
12、围是：，所以满足条件的实数的可能值有-1，0.故选：AB【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.13【解析】【分析】根据圆柱与圆锥的表面积公式直接计算.【详解】设圆柱与圆锥的半径均为，母线为，故，所以，故答案为：.14【解析】【分析】由题意可知，通过相似比可得，利用的取值范围可求圆心C到直线PQ的距离的取值范围.【详解】由题意可知，所以，且，所以，因为点A是x轴上的一个动点，所以当时，取最小值4，即，所以，即圆心C到直线PQ的距离的取值范围是，故答案为：.15【解析】【
13、分析】根据，得到，再由，得到，进而得到，然后由求解.【详解】解：因为，所以，即，所以，解得，则，所以，则，所以或，则或，因为，所以，所以，故答案为：16 #2.5【解析】【分析】第一空先求出函数在上的解析式，结合奇函数画出的图像，再由得到，进而得到函数在上的图像，即可求得值域；第二空画出将零点转化为的交点，再画出的图像即可求解.【详解】由当时，可得当时，当时，又是奇函数，可得函数图像关于原点对称.又当时，即，即，即函数右移两个单位，函数值变为原来的2倍，由此可得函数在上的图像如图所示：结合图像可知在区间上的值域为；，即，即的交点，画出的图像，由图像可知4个交点的横坐标依次为，又均是奇函数，故，
14、故.故答案为：；.17.【解析】【分析】选，由已知结合正弦定理角化边，求出，再按A是锐角和钝角分类计算作答.选，由已知结合余弦定理角化边，再求出，按A是锐角和钝角分类计算作答.选，按A是锐角和钝角分类计算作答.【详解】选择条件：依题意，在中，由正弦定理得，由余弦定理得：，若A为锐角，则，则，则，又，解得或，即有的面积为，若A为钝角，则，则，有，又，无解，舍去，综上可得，的面积为选择条件：因为，由余弦定理得：，整理得：，即，而，则，若A为锐角，则，有，由余弦定理得：，则有，又，解得或，即有的面积为，若A为钝角，则，则，舍去，综上可得，的面积为.因为，由余弦定理，若A为锐角，则，则，则，又，解得或
15、，即有的面积为若A为钝角，则，则，有，又，无解，舍去，综上可得，的面积为.18(1)；(2)分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出p值，并求出甲能通过项目选拔的概率，再由乘法公式计算作答.（2）求出的所有可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列，求出期望作答.(1)该同学在每个项目中得优、良、中互为互斥事件，由题意得，解得，则甲在每个项目中通过的概率都为，设事件A为甲能进入到数学建模社团，因甲在每个项目中通过的概率都为，且在每个项目中的成绩均相互独立，则有，所以甲能进入到数学建模社团的概率为.(2)X的可能取值为0，1，2，3，则X的概率分布为：X0123P所以X的数学期望
16、.19(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得，利用累加法即可得出答案；（2）利用放缩可得，再利用裂项相消法即可得出结论.(1)解：因为，所有，当时，相加得，所以，当时，也符合上式，所以数列的通项公式；(2)证明：由（1）得，所以，所以，所以20(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由，得到点D，E分别为的中点，易得四边形为平行四边形，四边形是平行四边形，进而得到，再利用线面平行的判定定理证明；（2）方法一：在平面内，过点C作的垂线，垂足为H，连结，得到为二面角的平面角求解；方法二：以为正交基底建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，再由平面的一个法向量为，根据二面角的
17、大小为，由求解(1)证明：当时，即点D，E分别为的中点，在直三棱柱中，所以四边形为平行四边形，连接，则，所以，所以四边形是平行四边形，所以又因为平面平面，所以平面(2)方法一：如图所示：在平面内，过点C作的垂线，垂足为H，连结，则为二面角的平面角，即，在直角三角形中，所以在直角三角形中，所以，又因为为锐角，所以且，所以点H在线段的延长线上中，所以方法二：平面，又，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则点，所以，所以设平面的一个法向量为，则，即,取，又平面的一个法向量为,因为二面角的大小为，所以即，得，又因为，所以21(1)(2)【解析】【分析】（1）利用离心率以及题目条件即可求解；（2）
18、根据的斜率设MN直线方程，联立直线和椭圆方程，利用直线AM，AN的倾斜角互补得两直线的斜率之和为0，化简得，再根据直线过定点不受m影响，解得，从而求出点的坐标.(1)因为椭圆C的离心率为，且其右焦点F到右准线的距离为，所以，且，解得所以，故椭圆C的标准方程为(2)设直线的方程为，点，直线的方程与椭圆方程联立得 ,则，所以 ,由直线AM，AN的倾斜角互补得：，得所以，整理得，所以 因为点A在第一象限，所 ，故点A的坐标为22(1)单调增区间为，单调减区间为(2)证明见解析，的最小值是e【解析】【分析】（1）求导，根据的正负判定函数的增减即可；（2）根据导数的分母正，需要分子有变号零点，转变为双变量函数的恒成立和有解问题，利用导数再次确定新函数单调性和最值即可求解.(1)（1）当时，则令，得；令，得；所以，函数的单调增区间为，单调减区间为(2)（2）令，因为，所以方程，有两个不相等的实根，又因为，所以，令，列表如下: -0+减极小值增所以存在极值点.所以存在使得成立，所以存在使得，所以存在使得对任意的有解，因此需要讨论等式左边的关于的函数，记，所以，当时，单调递减；当时，单调递增所以当时，的最小值为所以需要，即需要，即需要，即需要因为在上单调递增，且，所以需要，故的最小值是e
