1、 8.6.2直线与平面垂直的性质导学案编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【学习目标】1.记住直线与平面垂直的性质定理，并能应用定理解决有关问题2.会求直线到平面的距离【自主学习】知识点1 直线与平面垂直的性质定理1文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行简记为：若线面垂直，则线线平行2符号语言：ba.3图形语言：知识点2 直线到平面的距离1直线与平面平行，则直线上任意一点到平面的距离都相等，一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点这个到平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离2如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间
2、的距离【合作探究】探究一 线面垂直性质定理的应用【例1】如图，正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交求证：EFBD1.分析要证明EFBD1，转化为证明EF平面AB1C，BD1平面AB1C.证明如图所示，连接AB1，B1C，BD.因为DD1平面ABCD，AC平面ABCD，所以DD1AC.又ACBD，DD1BDD，所以AC平面BDD1.又BD1平面BDD1，所以ACBD1.同理可证BD1B1C.又ACB1CC，所以BD1平面AB1C.因为EFAC，EFA1D，又A1DB1C，所以EFB1C.又ACB1CC，所以EF平面AB1C.所以EFBD1.归纳总结：若已知一条直
3、线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质【练习1】如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1.证明：A1C平面BB1D1D.证明：因为A1O平面ABCD，所以A1OBD.又底面ABCD是正方形，所以BDAC，因为ACA1OO，所以BD平面A1OC，所以BDA1C，又OA1是AC的中垂线，所以A1AA1C，且AC2，所以AC2AAA1C2，所以AA1C是直角三角形，所以AA1A1C，又BB1AA1，所以A1CBB
4、1，因为BB1BDB，所以A1C平面BB1D1D.探究二 直线到平面的距离【例2】正方体ABCDA1B1C1C1，棱长为a，求：(1)直线A1A到平面B1BCC1的距离；(2)直线A1A到平面D1DBB1的距离解(1)A1A平面B1BCC1，A1B1平面B1BCC1，直线A1A到平面B1BCC1的距离等于线段A1B1的长，A1B1a，直线A1A到平面B1BCC1的距离等于a.(2)连接A1C1，B1D1，BD，A1C1与B1D1交于点O1，如图A1A平面D1DBB1.A1O1平面D1DBB1，直线A1A到平面D1DBB1的距离等于线段A1O归纳总结：求直线到平面的距离，前提是该直线和平面平行，
5、在该直线上合理找点，过该点作出平面的垂线，即将线面距离转化为点面距离【练习2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AD1，A1A1.(1)证明：直线BC1平行于平面D1AC；(2)求直线BC1到平面D1AC的距离解：(1)证明：因为ABCDA1B1C1D1为长方体，故ABC1D1，ABC1D1，故四边形ABC1D1为平行四边形，故BC1AD1，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面D1AC.(2)直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离，设为h，考虑三棱锥D1ABC的体积，以平面ABC为底面，可得V(12)1，而AD1C中，ACD1C，AD1，cos
6、ACD1，sinACD1，故SAD1C.所以，Vh，故h，即直线BC1到平面D1AC的距离为.课后作业A组 基础题一、选择题1下列命题：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直其中正确的个数是()A0B1 C2D3【答案】D解析：均正确2在空间中，下列命题中正确的是()平行于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；平行于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行A BC D【答案】B3已知平面与平面相交，直线m，则()A内必存在直线与m平行，且存在直线
7、与m垂直B内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直D内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直【答案】C解析：因为平面与平面相交，直线m，所以m垂直于两平面的交线，所以内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直4ABC所在的平面为，直线lAB，lAC，直线mBC，mAC，则直线l，m的位置关系是()A相交B异面 C平行D不确定【答案】C解析：因为lAB，lAC且ABACA，所以l平面ABC.同理可证m平面ABC，所以lm，故选C.5.如图，ADEF的边AF平面ABCD，且AF2，CD3，则CE()A2 B3C. D.【答案】D解析：因为
8、四边形ADEF为平行四边形，所以AF綉DE.因为AF平面ABCD，所以DE平面ABCD.所以DEDC.因为AF2，所以DE2.又CD3，所以CE .6(多选)如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点以下各命题中，真命题为()ABCPCBOM平面APCC点B到平面PAC的距离等于线段BC的长D三棱锥MPAC的体积等于三棱锥PABC体积的一半【答案】ABCD解析：因为PA圆O所在的平面，BC圆O所在的平面，所以PABC，而BCAC，PAACA，所以BC平面PAC，而PC平面PAC，所以BCPC，故A正确；因为点M为线段PB的中点，点O为AB的中
9、点，所以OMPA，而OM平面PAC，PA平面PAC，所以OM平面APC，故B正确；因为BC平面PAC，所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，故C正确；三棱锥MPAC和三棱锥PABC均可以平面PAC为底面，此时M到底面的距离是B到底面距离的一半，故三棱锥MPAC的体积等于三棱锥PABC体积的一半，故D正确二、填空题7长方体ABCDA1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，且MNBC于点M，则MN与AA1的位置关系是 【答案】平行解析：如图易知AB平面BCC1B1.又MN平面BCC1B1，ABMN.又MNBC，ABBCB，MN平面ABCD，易知AA1平面ABCD.故AA1MN.8直线a和
10、b在正方体ABCDA1B1C1D1的两个不同平面内，使ab成立的条件是 .(只填序号即可)a和b垂直于正方体的同一个面；a和b在正方体两个相对的面内，且共面；a和b平行于同一条棱；a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直【答案】解析：为直线与平面垂直的性质定理的应用，为面面平行的性质，为基本事实4的应用，故正确9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC，则MN与AD1的位置关系为 ；若AMAB，则 .【答案】 平行 解析：ABCDA1B1C1D1为正方体，CD平面AA1D1D，CDAD1，又四边形AA1D1D为正方形，A1DAD1，
11、AD1平面A1DC，又MN平面A1DC，AD1MN，连接ON，则四边形AMON为平行四边形，AMONAB，故. 三、解答题10如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.(1)证明：B1CAB.(2)若ACAB1，CBB160，BC1，求三棱柱ABCA1B1C1的高解：(1)证明：如图，连接BC1，则O为B1C与BC1的交点因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C，所以B1CAO，故B1C平面ABO.由于AB平面ABO，故B1CAB.(2)方法1：在平面BB1C1C内作ODBC，垂足为D，连接AD.在平面AOD
12、内作OHAD，垂足为H.如图由于BCAO，BCOD，故BC平面AOD，所以OHBC.又OHAD，所以OH平面ABC.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形又BC1，可得OD.由于ACAB1，所以OAB1C.由OHADODOA，且AD，得OH.又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为，故三棱柱ABCA1B1C1的高为.方法2：由于侧面BB1C1C为菱形，CBB160，BC1.故B1C1，BO，又ACAB1，则AO，AC，易得AB1，在ABC中，易得AC边上的高h，由VABB1CVB1ABC，得SBB1CAOSABCh三棱柱，所以h三棱柱，所以h三棱柱.所以三棱柱ABCA1B1C1的
13、高为.11.如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PDDCBC2，AB2DC，ABDC，BCD90.(1)求证：PCBC；(2)求多面体APBC的体积解：(1)证明：PD平面ABCD，BC平面ABCD，PDBC.BCD90，BCCD.PDCDD，BC平面PCD.又PC平面PCD，PCBC.(2)PD平面ABCD，VAPBCVPABCSABCPD.ABDC，BCD90，ABC为直角三角形且ABC为直角PDDCBC2，AB2DC，VAPBCSABCPDABBCPD422.B组 能力提升一、选择题1在正方体ABCDA1B1C1D1中，若直线l(与直线BB1不重合)平面A1C1，则()AB1B
14、l BB1BlCB1B与l异面但不垂直 DB1B与l相交但不垂直【答案】B解析：因为B1B平面A1C1，又因为l平面A1C1，所以lB1B.2已知m，n为异面直线，m平面，n平面，直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l【答案】D解析：若，则由m平面，n平面，可得mn，这与m，n是异面直线矛盾，故与相交设直线a，过空间内一点P，作mm，nn，则m与n相交，m与n确定的平面为.因为lm，ln，所以lm，ln，所以l.因为m平面，n平面，所以m平面，n平面，所以am，an，所以a.又因为l，l，所以l与a不重合所以la，综上知，选D.二、填空
15、题3如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过D作平面ABC的垂线DE，其中DPC，则DE与平面PAC的位置关系是 【答案】平行解析：DE平面ABC，PA平面ABC，DEPA.又DE平面PAC，PA平面PAC，DE平面PAC.三、解答题4如图，在四面体PABC中，PA平面ABC，PAAB1，BC，AC2.(1)证明：BC平面PAB.(2)在线段PC上是否存在点D，使得ACBD，若存在，求PD的值，若不存在，请说明理由解：(1)证明：由题知：AB1，BC，AC2.则AB2BC2AC2，所以ABBC，又因为PA平面ABC，所以PABC，因为PAABA，所以BC平面PAB.(2)在线段PC上存在点D，当PD时，使得ACBD.理由如下：如图，在平面ABC内，过点B作BEAC，垂足为E，在平面PAC内，过点E作DEPA，交PC于点D，连接BD，由PA平面ABC，知DE平面ABC，所以DEAC，所以AC平面DBE，又因为BD平面DBE，所以ACBD，在ABC中，BE，所以AE，CE，所以，所以CD，PD.
