1、6.3.1 二项式定理 1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明；2.会应用二项式定理求解二项展开式；3.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力；4.感受二项式定理体现出的数学的内在和谐、对称美，了解相关数学史内容.重点： 应用二项式定理求解二项展开式难点：利用计数原理分析二项式的展开式1二项式定理(ab)n_ (nN*)(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理(2)展开式：等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，展开式中一共
2、有_项(3)二项式系数：各项的系数_ (k0,1,2，n)叫做二项式系数CanCan1bCan2b2CankbkCbnn1 ；C2二项展开式的通项公式(ab)n展开式的第_项叫做二项展开式的通项，记作Tk1_.k1 ；Cankbk二项式定理形式上的特点(1)二项展开式有n+1项,而不是n项.(2)二项式系数都是Cnk(k=0,1,2,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n.(4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到
3、n次.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)(ab)n展开式中共有n项 ()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响 ()(3)Cankbk是(ab)n展开式中的第k项 ()(4)(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同 ()一、 问题探究上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的a+bn展开式的问题。问题1：我们知道 a+b2=a2+2ab+b2,a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3（1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？（2）根据你发现的规律，你能写出a+b4的展开式吗？（3）进一步地，你能写出a+bn的展开式
4、吗？我们先来分析的展开过程，根据多项式乘法法则，a+b2=a+ba+b=aa+b+ba+b=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2问题2：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出a+b3，a+b4的展开式吗？二、典例解析例1.求x+1x6的展开式.1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.跟踪训练1 (1)求3x+1x4的展开
5、式;(2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).例2.（1）求1+2x7的展开式的第4项的系数；（2）求2x-1x6的展开式中x2的系数.二项式系数与项的系数的求解策略 (1)二项式系数都是组合数Cnk(k0,1,2,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为Cnk.例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=C7317-3(2x)3,其二项式系数是C73=35,而第4项的系数是C7323=280.跟踪训练2.
6、 (1)求二项式2x-1x6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;(2)求x-1x9的展开式中x3的系数.1.(a+b)2n的展开式的项数是()A.2nB.2n+1 C.2n-1D.2(n+1)2.(2a+b)5的展开式的第3项是()A.23C52B.23C52a3b2C.23C53D.23C53a2b33.二项式(x+1x)6的展开式中有理项共有项.4.如果(3x2+1x)n的展开式中,含x2的项为第三项,则自然数n=.5.已知m,nN*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.6.已知在3x-123xn的展开式中,第
7、6项为常数项.(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项. 参考答案：知识梳理1解析(1)因为(ab)n展开式中共有n1项(2)因为二项式的第k1项Cankbk和(ba)n的展开式的第k1项Cbnkak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的(3)因为Cankbk是(ab)n展开式中的第k1项(4)因为(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数都是C.答案(1)(2)(3)(4)学习过程一、 问题探究上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的a+bn展开式的问题。问题1：可以看到，a+b2是2个a+b相乘，只要从一个a+b中选一
8、项（选a或b），再从另一个a+b中选一项（选a或b），就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，a+b2的展开式共有C21C21=22项，而且每一项都是a2-kbk（ k=0,1,2）的形式.我们来分析一下形如a2-kbk的同类项的个数.当k=0时，a2-kbk=a2，这是由2个a+b中都不选b得到的，因此，a2出现的次数相当于从2个a+b中取0个b（即都取a）的组合数C20，即a2只有1个；当k=1时，a2-kbk= ab，这是由1个a+b中选a，另一个a+b中选b得到的，由于b选定后，a的选法也随之确定，因此， ab出现的次数相当于从2个a+b中取1个b的组合数C21
9、，即ab只有2个；当k=2时，a2-kbk= b2，这是由2个a+b中选b得到的，因此，b2出现的次数相当于从2个a+b中取2个b的组合数C22，即b2只有1个；由上述分析可以得到a+b2=C20a2+C21ab+C22b2问题2： 类似地，用同样的方法可知a+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3a+b4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4二、典例解析例1.解：根据二项式定理x+1x6=x+x-16=C60x6+C61x5x-1+C62x4x-2+C63x3x-3+C64x2x-4+C65x1x-5+C66x-6=x6+6x4+15x2+20
10、+15x-2+6x-4+x-6跟踪训练1 解:(1)方法一3x+1x4=C40(3x)4+C41(3x)31x+C42(3x)21x2+C433x1x3+C441x4=81x2+108x+54+12x+1x2.方法二3x+1x4=(3x+1)4x2=1x2(81x4+108x3+54x2+12x+1)=81x2+108x+54+12x+1x2.(2)原式=C50(x-1)5+C51(x-1)4+C52(x-1)3+C53(x-1)2+C54(x-1)+C55(x-1)0-1=(x-1)+15-1=x5-1.例2.（1）求1+2x7的展开式的第4项的系数；（2）求2x-1x6的展开式中x2的系数
11、.解：1+2x7的展开式的第4项是T3+1=C7317-3 (2x)3 =C7323 x3=358 x3=280 x3因此,展开式第4项的系数是280.（2）2x-1x6 的展开式的通项是C6k(2x12)6-k(x-12)k=C6k26-kx6-k2-k2=C6k26-kx3-k根据题意，得3-k=2，k=1，因此，x2的系数是（-1）25C61=-192.二项式系数与项的系数的求解策略 (1)二项式系数都是组合数Cnk(k0,1,2,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而
12、此项的二项式系数为Cnk.例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=C7317-3(2x)3,其二项式系数是C73=35,而第4项的系数是C7323=280.跟踪训练2. (1)求二项式2x-1x6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;(2)求x-1x9的展开式中x3的系数.解:(1)由已知得二项展开式的通项为Tk+1=C6k(2x)6-k-1xk=26-kC6k(-1)kx3-3k2,T6=-12x-92.第6项的二项式系数为C65=6,第6项的系数为C65(-1)52=-12.(2)设展开式中的第k+1项为含x3的项,则Tk+1=C9kx9-k-1xk=(-1)kC9kx9-2
13、k,令9-2k=3,得k=3,即展开式中第4项含x3,其系数为(-1)3C93=-84.达标检测1.解析:易知二项式(a+b)2n的展开式中有2n+1项,故展开式的项数为2n+1.答案:B2.解析:T2+1=C52(2a)3b2=23C52a3b2.答案:B 3.解析:根据二项式定理的通项Tk+1=C6k(x)6-k1xk=C6kx6-3k2.当取有理项时,6-3k2为整数,此时k=0,2,4,6.故共有4项.答案:4 4.解析:Tk+1=Cnk(3x2)n-k(1x)k=Cnkx2n-5k3,由题意知当k=2时,2n-5k3=2,解得n=8.答案:8 5.解:由题设知m+n=19,又m,nN
14、*,1m18. x2的系数为Cm2+Cn2=12(m2-m)+12(n2-n)=m2-19m+171.当m=9或10时,x2的系数的最小值为81,此时x7的系数为C97+C107=156.6.分析:先利用二项展开式的通项,求出当x的次数为0时n的值,再求解第(2)问、第(3)问.解:(1)由通项知,展开式中第k+1项为Tk+1=Cnk(3x)n-k-123xk=Cnk(x13)n-k-12x-13k=-12kCnkxn-2k3.第6项为常数项,k=5,且n-52=0,n=10.(2)由(1)知Tk+1=-12kC10kx10-2k3.令10-2k3=2,则k=2.x2的系数为-122C102=1445=454.(3)当Tk+1项为有理项时,10-2k3为整数,0k10,且kN.令10-2k3=z,则k=5-32z,z为偶数,从而求得当z=2,0,-2时,相应地k=2,5,8符合条件.有理项为T3=C102-122x2=454x2,T6=C105-125=-638,T9=C108-128x-2=45256x-2.
