1、本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享简单几何体的表面积与体积【第一学时】【学习目标】1了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台的体积2能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系【学习重难点】1柱、锥、台的表面积2锥体、台体的表面积的求法【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？3圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？4柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？5圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？二、合作探究柱、锥
2、、台的表面积例1：（1）若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的（ ）A 倍B3 倍C2 倍D5 倍（2）已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为（ ）A1B1C2D3（3）已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则该圆台较小底面的半径为（ ）A7B6C5D3柱、锥、台的体积例2：如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥（1）求剩余部分的体积；（2）求三棱锥AA1BD的体积及高组合体的表面积和体积例3：如图在底面半径为 2，母线长为4的圆锥中内接
3、一个高为的圆柱，求圆柱的表面积1变问法本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为r1，高 h，所以圆柱的体积 V1r2h12.圆锥的体积V2222.所以圆柱与圆锥的体积比为38.2变问法本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积解：由例题解析可知：圆台的上底面半径r1，下底面半径R2，高h，母线l2，所以圆台的表面积S（r2R2rlRl）（12221222）11.圆台的体积V（r2rRR2）h（12222）.3变条件、变问法本例中的“高为”改为“高为h”，试求圆柱侧面积的最大值解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则ROC2，AC4，AO2.如图
4、所示易知AEBAOC，所以，即，所以h2r，S圆柱侧2rh2r（2r）2r24r，所以当r1，h时，圆柱的侧面积最大，其最大值为2.【学习小结】1棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和2棱柱、棱锥、棱台的体积（1）V棱柱Sh；（2）V棱锥Sh；V棱台h（SS），其中S，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高3圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积名称图形公式圆柱底面积：S底r2侧面积：S侧2rl表面积：S2rl2r2体积：Vr2l圆锥底面积：S底r2侧面积：S侧rl表面积：Srlr2体积：Vr2h圆台上底面面积：S
5、上底r2下底面面积：S下底r2侧面积：S侧l（rr）表面积：S（r2r2rlrl）体积：Vh（r2rrr2）【精炼反馈】1已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（ ）A22B20C10D112正三棱锥的高为3，侧棱长为2，则这个正三棱锥的体积为（ ）A. B.C. D.3已知圆台的上、下底面的面积之比为925，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是_4如图，三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B112，求三棱锥A1ABC，三棱锥BA1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积之比【第二学时】【学习目标】1记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积2能解决与
6、球有关的组合体的计算问题【学习重难点】1球的表面积与体积2与球有关的组合体【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1球的表面积公式是什么？2球的体积公式什么？二、合作探究球的表面积与体积例1：（1）已知球的体积是，则此球的表面积是（ ）A12B16C.D.（2）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）A17 B18C20 D28球的截面问题例2：如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为（
7、）A. cm3B. cm3C. cm3 D. cm3与球有关的切、接问题角度一 球的外切正方体问题例3： 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）A.B.C.D.角度二 球的内接长方体问题例4：一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为_角度三 球的内接正四面体问题例5：若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积角度四 球的内接圆锥问题例6：球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_角度五 球的内接直棱柱问题例7：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所
8、有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）Aa2B.a2C.a2D5a2【学习小结】1球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S4R22球的体积设球的半径为R，则球的体积VR3【精炼反馈】1直径为 6 的球的表面积和体积分别是（ ）A36，144B36，36C144，36D144，1442一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是（ ）A.B.C.D.3若两球的体积之和是 12，经过两球球心的截面圆周长之和为 6，则两球的半径之差为（ ）A1 B2C3 D44已知棱长为 2 的正方体的体积与球 O 的体积相等，则球 O 的半径为_5已知过球面上 A，B，C 三点的
9、截面和球心的距离为球半径的一半，且 ABBCCA2，求球的表面积【参考答案】二、合作探究例1：【答案】（1）C（2）B（3）A【解析】（1）设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则由题意可知，l2r，S侧r2r2r2，S底r2，可知选 C.（2）棱锥 BACD为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为 1，则 BC，SBAC.三棱锥的表面积 S锥42，又正方体的表面积 S正6.因此 S锥S正261.（3）设圆台较小底面的半径为 r，则另一底面的半径为 3r.由 S侧3（r3r）84，解得 r7.例2：【答案】 （1）V三棱锥A1ABDSABDA1AABADA1Aa3.故剩余部
10、分的体积VV正方体V三棱锥A1ABDa3a3a3.（2）V三棱锥AA1BDV三棱锥A1ABDa3.设三棱锥AA1BD的高为h，则V三棱锥AA1BDSA1BDh（a）2ha2h，故a2ha3，解得ha.例3：【答案】设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S.则 ROC2，AC4，AO2.如图所示，易知AEBAOC，所以，即，所以 r1，S底2r22，S侧2rh2.所以 SS底S侧22（22）.【精炼反馈】1【答案】A【解析】选A.所求长方体的表面积S2（12）2（13）2（23）22.2【答案】D【解析】选D.由题意可得底面正三角形的边长为3，所以V323.故选D.3【答案】7
11、9【解析】圆台的上、下底面半径之比为35，设上、下底面半径为3x，5x，则中截面半径为4x，设上台体的母线长为l，则下台体的母线长也为l，上台体侧面积S1（3x4x）l7xl，下台体侧面积S2（4x5x）l9xl，所以S1S279.4【答案】解：设棱台的高为h，SABCS，则SA1B1C14S.所以VA1ABCSABChSh，VCA1B1C1SA1B1C1hSh.又V台h（S4S2S）Sh，所以VBA1B1CV台VA1ABCVCA1B1C1ShSh，所以体积比为124.【第二课时】例1：【答案】 （1）B （2）A【解析】 （1）设球的半径为R，则由已知得VR3，解得R2.所以球的表面积S4R
12、216.（2）由三视图可得此几何体为一个球切割掉后剩下的几何体，设球的半径为r，故r3，所以r2，表面积S4r2r217，选A.例2：【答案】 A【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC862（cm），BMAB84（cm）设球的半径为R cm，则R2OM2MB2（R2）242，所以R5，所以V球53 （cm3）例3：【答案】 A【解析】 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是13.例4：【答案】 14【解析】 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R，所以球的表面积 S4R214.例5：【答案】
13、把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x，则 ax，由题意 2Rxa，所以 S球4R2a2.例6：【答案】 或【解析】 当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为 r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为 ，高为.该圆锥的体积为 r3，球体积为r3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为.同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为.例7：【答案】 B【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 APaa，OPa，所以球的半径 R OA 满足R2a2，故 S球4R2a2.【精炼反馈】1【答案】B【解析】选B球的半径为 3，表面积 S43236，体积 V3336.2【答案】A【解析】选 A设正方体棱长为 a，球半径为 R，由 6a24R2 得，所以.3【答案】A【解析】选 A设两球的半径分别为 R，r（Rr），则由题意得解得故 Rr1.4【答案】【解析】设球 O 的半径为 r，则r323，解得 r.5【答案】解：设截面圆心为O，球心为 O，连接 OA，OA，OO，设球的半径为 R.因为OA2.在 RtOOA 中，OA2OA2OO2，所以 R2R2，所以 R，所以 S球4R2. 19 / 19
