1、 8.4.1平面导学案编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【学习目标】1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系2.掌握有关平面的三个公理3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系【自主学习】知识点1 平面(1)平面的概念平面是一个不加定义，只需理解的原始概念立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象(2)平面的画法常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45，且横边长等于邻边长的2倍.一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.(3)平面的表示方法用希腊字母表示，如平面，平面，平
2、面.用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.知识点2 点、直线、平面之间的关系点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l上AlA在l外AlA在内AA在外Al在内ll在外ll，m相交于AlmAl，相交于AlA，相交于ll知识点3 平面的基本性质公理文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl确定直线在平面内的依据判定点在平面内公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的平面使A，
3、B，C确定平面的依据判定点线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P且Pl，且Pl判定两平面相交的依据判定点在直线上【合作探究】探究一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示【例1】如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系解在(1)中，l，aA，aB.在(2)中，l，a，b，alP，blP.归纳总结：(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“”或“”，直线与平面的位置关系只能用“”或“
4、”.【练习1】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC.解(1)点A在平面内，点B不在平面内，如图.(2)直线l在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上，如图.(3)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图.探究二 点线共面【例2】如图，已知：a，b，abA，Pb，PQa，求证：PQ.证明因为PQa，所以PQ与a确定一个平面.所以直线a，点P.因为Pb，b，所以P.又因为a，所以与重合，所以PQ.归纳总结：证明点、线共面的两种方
5、法方法一：先由确定平面的条件确定一个平面，然后再证明其他的点、线在该平面内方法二：先由有关点、线确定一个平面，再由其余元素确定一个平面，然后根据有关定理，证明这两个平面重合【练习2】已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内证明方法一(纳入平面法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可证C.Bl3，Cl3，l3.直线l1，l2，l3在同一平面内方法二(辅助平面法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，l2，l3确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A，
6、B，C既在平面内，又在平面内平面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内探究三 点共线、线共点问题【例3】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点求证：CE、D1F，DA三线交于一点证明如图，连接EF，D1C，A1B.E为AB的中点，F为AA1的中点，EF綊A1B.又A1B綊D1C，EF綊D1C，E，F，D1，C四点共面，D1F与CE相交，设交点为P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点又平面A1D1DA平面ABCDDA，根据公理3，可得PDA，即CE、D1F、DA相交于一点归纳总结：(1)证明三点共线的
7、常用方法：方法一：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点.根据基本事实3知，这些点都在交线上.方法二：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上.(2)证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题.【练习3】已知ABC在平面外，其三边所在的直线满足ABP，BCQ，ACR，如图所示求证：P，Q，R三点共线证明方法一ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上P、Q、R三点共线方法二APARA，直线AP与直线AR确定平面
8、APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.QBC，Q平面APR，又Q，QPR，P、Q、R三点共线课后作业A组 基础题一、选择题1下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是()【答案】D解析画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示2空间中，可以确定一个平面的条件是()A三个点 B四个点C三角形 D四边形【答案】C解析由平面的基本性质及推论得：在A中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A错误；在B中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B错误；在C中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C正
9、确；在D中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D错误故选C.3如果A点在直线a上，而直线a在平面内，点B在内，可以表示为()AAa，a，B BAa，a，BCAa，a，B DAa，a，B【答案】B解析A点在直线a上，而直线a在平面内，点B在内，表示为：Aa，a，B，故选B.4空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中()A必有三点共线 B必有三点不共线C至少有三点共线 D不可能有三点共线【答案】B解析A、B、C、D共面而不共线，这四点可能有三点共线，也可能任意三点不共线，A错误；如果四点中没有三点不共线，则四点共线，矛盾，故B正确；当任意三点不共线时，也满足条件
10、，故C错误，当其中三点共线，第四个点不共线时，也满足条件，故D错误，故选B.5有下列说法：梯形的四个顶点在同一个平面内；三条平行直线必共面；有三个公共点的两个平面必重合其中正确的个数是()A0 B1 C2 D3【答案】B解析因为梯形的上下底互相平行，所以梯形是平面图形，故正确；三条平行直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故错误；若两个平面的三个公共点不共线，则两平面重合，若三个公共点共线，两平面有可能相交，故错误，故选B.6三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为()A1 B2 C3 D无数【答案】C解析在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图所示：PA、PB、PC相交于一点P
11、，则PA、PB、PC不共面，则PA、PB确定一个平面PAB，PB、PC确定一个平面PBC，PA、PC确定一个平面PAC.故选C.7.如图所示，平面l，A、B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A点A B点BC点C但不过点M D点C和点M【答案】D解析AB，MAB，M.又l，Ml，M.根据公理3可知，M在与的交线上同理可知，点C也在与的交线上二、填空题8三条平行直线最多能确定的平面的个数为_【答案】3解析当三条平行直线在一个平面内时，可以确定1个平面；当三条平行直线不在同一平面上时，可以确定3个平面综上最多可确定3个平面9设平面与平面相交于l，直线a，直线
12、b，abM，则M_l.【答案】解析因为abM，a，b，所以M，M.又因为l，所以Ml.10已知A，B，若Al，Bl，那么直线l与平面有_个公共点【答案】1解析若直线l与平面有两个公共点，则l，那么B，这与B矛盾，lA.11已知、为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是_(填序号)Aa，A，Ba，Ba；M，M，N，NMN；A，AA；A、B、M，A、B、M，且A、B、M不共线、重合【答案】解析A，A，A.由公理可知为经过A的一条直线而不是点A.故A的写法错误三、解答题12已知直线bc，且直线a与直线b，c都相交，求证：直线a，b，c共面证明bc，直线b，c可以确定一个平面.设abA，
13、acB，则Aa，Ba，A，B，即a，故直线a，b，c共面13.已知：Al，Bl，Cl，Dl，如图所示求证：直线AD，BD，CD共面证明因为Dl，所以l与D可以确定平面，因为Al，所以A，又D，所以AD.同理，BD，CD，所以AD，BD，CD在同一平面内，即它们共面B组 能力提升一、选择题1空间中有A，B，C，D，E五个点，已知A，B，C，D在同一个平面内，B，C，D，E在同一个平面内，那么这五个点()A共面 B不一定共面C不共面 D以上都不对【答案】B解析当B，C，D三点共线时，B，C，D三点不能确定平面A，B，C，D所在的平面和B，C，D，E所在的平面可能不同，所以A，B，C，D，E五点不一
14、定共面2如图，l，A，C，Cl，直线ADlD，过A、B、C三点确定的平面为，则平面、的交线必过()A点AB点BC点C，但不过点DD点C和点D【答案】DA、B、C确定的平面与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D，且C、D，故C，D在和的交线上3(多选题)如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()AA，M，O三点共线BA，M，O，A1四点共面CA，O，C，M四点共面DB，B1，O，M四点共面【答案】ABC因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知ABC均正确二、填空题4三个互
15、不重合的平面把空间分成n部分，则n所有可能的值为_【答案】4,6,7或8若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其他两个平面相交，则可将空间分成6部分；若三个平面交于一线，则可将空间分成6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分成7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点(如墙角三个墙面的关系)，则可将空间分成8部分故n的所有可能值为4,6,7或8.三、解答题5.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且1，2.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点证明如图，连接EF，GH.因为1，2，
16、所以EFAC，HGAC，且EFGH，所以EH，FG共面，且与FG不平行不妨设EHFGO，因为OEH，EH平面ABD，所以O平面ABD，因为OFG，FG平面BCD，所以O平面BCD.又因为平面ABD平面BCDBD，所以OBD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点O.6.如图，已知在四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且2.求证：直线EG，FH，AC相交于同一点证明E，F分别是AB，AD的中点，EFBD，且EFBD又2，GHBD，且GHBD，EFGH，且EFGH，四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交设两腰EG，FH的延长线相交于一点P，EG平面ABC，FH平面ACD，P平面ABC，P平面ACD又平面ABC平面ACDAC，PAC，故直线EG，FH，AC相交于同一点7.已知ABC在平面外，其三边所在的直线满足ABP，BCQ，ACR，如图所示，求证：P，Q，R三点共线证明法一ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面的交线上P，Q，R三点共线法二APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.QBC，Q平面APR，又Q，QPR，P，Q，R三点共线
