1、6.2.4平面向量的数量积2课时 向量数量积的运算律导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.了解数量积的运算律2.会用向量数量积的公式解决相关问题【自主学习】知识点1 向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量(1)aeea|a|cosa，b；(2)abab0且ab0ab；(3)aa|a|2或|a|；(4)cosa，b；(5)|ab|a|b|.知识点2 向量数量积的运算律(1)abba(交换律)；(2)(a)b(ab)a(b)(结合律)；(3)(ab)cacbc(分配律)【合作探究】探究一 向量的数量积的运算律【例1】已知|a|2，|b|3，a与b
2、的夹角为120，试求：(1)ab；(2)(ab)(ab)；(3)(2ab)(a3b)分析根据数量积、模、夹角的定义以及数量积的运算，逐一进行计算即可解(1)ab|a|b|cos12023()3.(2)(ab)(ab)a2ababb2a2b2|a|2|b|2495.(3)(2ab)(a3b)2a26abab3b22|a|25ab3|b|224533934.归纳总结：求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.【练习1】已知向量a与b的夹角为，且|a|，|b|2，则a(2ab)等于 .
3、答案：2解析：a(2ab)2a2ab422.探究二 向量的模【例2】已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|1，则|a3b|_.答案分析利用模的公式和数量积的运算律进行求解解析因为ab0，|a|1，|b|1，所以|a3b|.归纳总结：(1)要求几个向量线性运算后的模，可先求其平方，利用数量积的计算易解.(2)已知两个向量线性运算后的模求某个向量的模，可把条件平方后化为所求目标的方程求解.【练习2】已知单位向量e1，e2的夹角为，且cos，若向量a3e12e2，则|a| .答案：3解析：因为a2(3e12e2)29232cos49，所以|a|3.探究三 向量的夹角【例3】已知非零向量a，b满足
4、|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为()A.B.C. D.答案C分析利用向量垂直的判定和数量积公式进行求解解析设a，b夹角为，由题意，得a(2ab)2a2ab0，即ab2a2，所以cos，所以.归纳总结：求两向量a，b的夹角，通常借助于公式计算【练习3】设两个向量e1、e2满足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夹角为60，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围答案：(7，)(，)解：由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得cos0，(2te17e2)(e1te2)0，化简得2t215t70，解得7t.当夹角为时，也有(2te17e2)(e1te2
5、)0，但此时夹角不是钝角设2te17e2(e1te2)，0，则.所求实数t的取值范围是(7，)(，)探究四 向量垂直的判定【例4】已知|a|5，|b|4，且a与b的夹角为60，则当k为何值时，向量kab与a2b垂直？答案：k分析利用向量垂直的性质，由(kab)(a2b)0可求出解(kab)(a2b)，(kab)(a2b)0，ka2(2k1)ab2b20，k52(2k1)54cos602420，k，即k为时，向量kab与向量a2b垂直归纳总结：解决向量垂直问题常用向量数量积的性质ab,ab0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.【练习4】P是ABC所在平面上一
6、点，若，则P是ABC的()A外心B内心C重心D垂心答案：D解析：由得()0，即0，PBCA.同理PABC，PCAB，P为ABC的垂心探究五 向量数量积的综合应用【例5】在ABC中，c，a，b，且abbcca，试判断ABC的形状答案：等边三角形分析易知abc0，分别将a、b、c移至等号右边，得到三个等式，分别平方后选取两个等式相减，即可得到a、b、c中两个向量的长度之间的关系解在ABC中，易知0，即abc0，因此acb，abc，从而两式相减可得b22abc22acc2b2，则2b22(abac)2c2，因为abcaac，所以2b22c2，即|b|c|.同理可得|a|b|，故|，即ABC是等边三角
7、形归纳总结：依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向.【练习4】若O是ABC所在平面内一点，且满足|2|，则ABC的形状为()A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形答案：B解析：2，于是|，所以|2|2，即0，从而ABAC，故ABC为直角三角形.课后作业A组 基础题一、选择题1下面给出的关系式中正确的个数是()0a0；abba；a2|a|2；|ab|ab；(ab)2a2b2.A1 B2 C3 D4答案C解析正确，错误，错误
8、，(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos2 a2b2，选C.2设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab等于()A1 B2 C3 D5答案A解析|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，将上面两式左右两边分别相减，得4ab4，ab1.3已知|a|1，|b|，且ab与a垂直，则a与b的夹角是()A60 B30C135 D45答案C解析(ab)aa2ab0，aba21，cosa，b.a，b135.4若|a|1，|b|2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为()A30 B60C120 D150答案C解析设向量a与b的夹角为，ca，ca0.又cab，(ab
9、)a0，即a2ba0|a|2|a|b|cos 0.又|a|1，|b|2，cos .故120.5已知向量a，b的夹角为120，|a|1，|b|5，则|3ab|等于()A7 B6C5 D4答案A解析|3ab| 7.故选A.6在边长为1的等边ABC中，设a，b，c，则abbcca等于()A B0C. D3答案A解析ab|cos 60.同理bc，ca，abbcca.7在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD是()A矩形 B菱形C直角梯形 D等腰梯形答案B解析即一组对边平行且相等，0即对角线互相垂直，四边形ABCD为菱形8设为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|bta|的最小值为1.()A若
10、确定，则|a|唯一确定B若确定，则|b|唯一确定C若|a|确定，则唯一确定D若|b|确定，则唯一确定答案B解析|bta|2b22abtt2a2|a|2t22|a|b|cos t|b|2.因为|bta|min1，所以|b|2(1cos2)1.所以|b|2sin21，所以|b|sin 1，即|b|.即确定，|b|唯一确定二、填空题9已知a，b，c为单位向量，且满足3ab7c0，a与b的夹角为，则实数_.答案8或5解析由3ab7c0，可得7c(3ab)，即49c29a22b26ab，而a，b，c为单位向量，则a2b2c21，则49926cos，即23400，解得8或510已知|a|3，|b|4，求|
11、ab|的取值范围_答案1,7解析方法一|a|b|ab|a|b|，1|ab|7，即|ab|的取值范围是1,7方法二设为两向量a，b的夹角，则0，|ab|2a2b22aba2b22|a|b|cos 2524cos ，|ab|21,49，|ab|1,711在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB的长为_答案解析在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则，又，()()22|2|cos 60|21|21.|0，又|0，|.三、解答题12已知非零向量a，b，满足|a|1，(ab)(ab)，且ab.(1)求向量a，b的夹角；(2)求|ab|.解(1)(ab)(ab)，a2b2，
12、即|a|2|b|2；又|a|1，|b|.ab，|a|b|cos ，cos ，向量a，b的夹角为45.(2)|ab|2(ab)2|a|22|a|b|cos |b|2，|ab|.13设n和m是两个单位向量，其夹角是，求向量a2mn与b2n3m的夹角解|n|m|1且m与n的夹角是，mn|m|n|cos 11.|a|2mn| ，|b|2n3m| ，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.设a与b的夹角为，则cos .又0，故a与b的夹角为.14已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|和|ab|.解(1)(2a3b)(2ab)61，解得ab6
13、.cos ，又0，.(2)|ab|2a22abb213，|ab|.|ab|2a22abb237.|ab|.15已知非零向量a，b，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角解由向量垂直得即化简得cosa，b，a与b的夹角为.B组 能力提升一、选择题1.已知向量，且与的夹角为，则（ ）AB2CD14【答案】A【解析】，又，且与的夹角为，所以.故选：A2.设，若单位向量，满足：且向量与的夹角为，则（ ）ABCD1【答案】A【解析】由题意得，又向量与的夹角为，得，又，则，所以.故选：A.3.在边长为3的菱形中，则=（ ）AB-1CD【答案】C【解析】.故选:C.4已知平面上三点,满
14、足,则( )ABCD【答案】D【解析】,故为直角三角形,且故选:D.5.（多选）下列命题中，结论正确的有（ ）AB若，则C若，则ABCD四点共线；D在四边形中，若，则四边形为菱形.【答案】BD【解析】对于A，故A错误；对于B，若，则，所以，故，即B正确；对于C，则或与共线，故C错误；对于D，在四边形中，若，即，所以四边形是平行四边形，又，所以，所以四边形是菱形，故D正确；故选：BD6（多选）若内接于以为圆心，为半径的圆，且，则下列结论正确的是( )ABCD【答案】BD【解析】由于内接于以为圆心，为半径的圆，且，所以，两边平方并化简得，两边平方并化简得，两边平方并化简得.所以，A选项错误；，B选
15、项正确.，C选项错误.，D选项正确.故选：BD二、填空题7已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若A，且，则实数的值为_答案解析由知0，即()()(1)A22(1)32940，解得.8.已知向量，满足，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为 .【答案】【解析】根据 与垂直得到（ ）=0，所以.9.已知是非零向量,满足,则与的夹角是 .【答案】【解析】两个向量垂直，数量积为零，故，两式相减可得，故有.10.若两个向量的夹角是，是单位向量，则向量与的夹角为 .【答案】【解析】因为两个向量的夹角是，是单位向量，可得，又由，所以，所以，设向量与的夹角为，其中，则，可得,即向量与的夹角为.11.已知
16、向量满足，则向量在向量上的投影为_.【答案】【解析】向量满足，可得，即为，两式相减可得，则向量在向量上的投影为故答案为：C组 挑战压轴题一、填空题1.已知，点在内，且，设，则_【答案】3【解析】因为，所以，从而有因为，所以，化简可得，整理可得因为点在内，所以，所以，则2.如图，O为ABC的外心，BAC为钝角，M是边BC的中点，则等于_.【答案】2【解析】如图，取的中点，可知，因为M是边BC的中点，所以,由数量积的定义可得,因为，所以，同理可得，所以，3.如图，等腰三角形，分别为边，上的动点，且满足，其中，分别是，的中点，则的最小值为_.【答案】【解析】；，代入上式得：；时，取最小值；的最小值为故答案为：4.在面积为1的平行四边形中，则_；点P是直线上的动点，则的最小值为_.【答案】 【解析】平行四边形的面积为1，即，故.，取BC的中点Q，连接PQ，则，此时，故答案为：，.5.设非零向量，满足，则的最小值是_【答案】【解析】设，所以， （令） （仅当时取等号）则的最小值是.故答案为：
