1、 6.4.3余弦定理、正弦定理（1课时）导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题【自主学习】知识点1 余弦定理及其变形a2b2c22bccos_A， cos A；b2c2a22cacos_B， cos B；c2a2b22abcos_C. cos C.知识点2 余弦定理及其推论的应用一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形余弦定理及其推论可解决两类基本的解三角形的问题：一类是已知两边及夹角解三角形；另
2、一类是已知三边解三角形【合作探究】探究一 已知三角形三边解三角形【例1-1】边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()A90 B120C135 D150答案B解析设中间角为，则为锐角，cos ，60，18060120为所求归纳总结：已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角利用余弦定理的推论求角时，应注意余弦函数在(0，)上是单调的当余弦值为正时，角为锐角；当余弦值为负时，角为钝角【练习1】ABC的三边长分别为AB7，BC5，CA6，则的值为()A19 B14 C18 D19答案D解析设三角形的三边分别为a，b，c，依题意得，a5，b
3、6，c7.|cos(B)accos B.由余弦定理得b2a2c22accos B，accos B(b2a2c2)(625272)19，19.探究二 已知三角形两边及一角解三角形【例2】一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是，则三角形的另一边长为()A52 B2 C16 D4答案B解析设另一边长为x，则x25232253()52，x2.归纳总结：已知三角形的两边及一角解三角形的方法,已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出
4、第三边.【练习2】在ABC中，已知B120，a3，c5，则b等于()A4 B. C7 D5答案C解析b2a2c22accos B3252235cos 12049，b7.探究三 判断三角形的形状【例3】在ABC中，sin Asin Bsin C245，判断三角形的形状解因为abcsin Asin Bsin C245，所以可令a2k，b4k，c5k(k0)c最大，cos C0，b0)，则最大角为_答案120解析易知a，b，设最大角为，则cos ，又(0，180)，120.归纳总结：【练习4】在ABC中，已知CB7，AC8，AB9，则AC边上的中线长为_答案7解析由条件知cos A，设中线长为x，由
5、余弦定理，知x22AB22ABcos A429224949，所以x7.所以AC边上的中线长为7.课后作业A组 基础题一、选择题1.在中，则（ ）A0BCD【答案】B【解析】由余弦定理得：，又，故选：B2.在ABC中，cosC=23，AC4，BC3，则cosB（）A19B13C12D23【答案】A【解析】在ABC中，cosC=23，AC4，BC3，由余弦定理可得AB2AC2+BC22ACBCcosC42+3224323=9；故AB3；cosB=AB2+BC2-AC22ABBC=32+32-42233=19，故选：A3.在ABC中,已知a=2,b=3,cos C=13,则边c长为()A.2B.3C
6、.11D.17解析:因为c2=a2+b2-2abcosC=22+32-22313=9,所以c=3.答案:B4.在ABC中,若C=60,c2=ab,则三角形的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形解析:因为在ABC中,C=60,c2=ab,所以c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=ab,所以a=b,所以a=b=c,所以三角形的形状为等边三角形,故选C.答案:C5.已知ABC的三边满足a2+b2=c2-3ab,则ABC的最大内角为()A.60B.90C.120D.150解析:由已知得,c2=a2+b2+3ab,所以ca,cb,故C为最大内角.由cosC=a
7、2+b2-c22ab=-32,得C=150,故选D.答案:D二、填空题6.中，角所对的边分别为若，则边 。【答案】4【解析】，即，解得或（舍去）7.已知分别为三个内角的对边且，则=_【答案】 （或）【解析】因为，所以，所以2bccosA=,所以,.故答案为.8.在ABC中，BC2，AB4，cos C，则AC的值为( )【答案】3【解析】ABC中，aBC2，cAB4，cos C，c2a2b22abcos C，即164b24b，化简得b2b120，解得b3或b4(不合题意，舍去)，bAC3.9.如图,在,已知点在边上,则的长为 。【答案】【解析】由题意，10.如图，在ABC中，点D在AC上，ABB
8、D，BC3，BD5，sinABC，则CD的长为 。【答案】4【解析】利用余弦定理求解因为sinABCsincosDBC，在DBC中，由余弦定理可得CD2BD2BC22BDBCcosDBC252725316，所以CD4。11.在中，设内角的对边分别为，若，则的形状是 三角形【答案】等腰三角形三、解答题12在ABC中，BCa，ACb，a，b是方程x22x20的两根，2cos(AB)1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长解(1)cos Ccos180(AB)cos(AB).又C(0，180)，C120.(2)a，b是方程x22x20的两根，AB2a2b22abcos 120(ab)2ab10，AB
9、.13在ABC中，已知ab4，ac2b，最大角为120，求三边长解由得abc，A120，a2b2c22bccos 120，即(b4)2b2(b4)22b(b4)，即b210b0，解得b0(舍去)或b10.当b10时，a14，c6.B组 能力提升一、选择题1.在ABC中，cosC=23，AC4，BC3，则tanB（）A5B25C45D85【答案】C【解析】cosC=23，AC4，BC3，tanC=1cos2C-1=52，AB=AC2+BC2-2ACBCcosC=42+32-24323=3，可得AC，B2C，则tanBtan（2C）tan2C=-2tanC1-tan2C=-2521-54=45故选
10、：C2.在ABC中，cosC2=55，BC1，AC5，则AB（）A42B30C29D25【答案】A【解析】在ABC中，cosC2=55，cosC2(55)2-1=-35，BC1，AC5，则AB=BC2+AC2-2BCACcosC=1+25+21535=32=42故选：A3.在ABC中，a2b2c22absin C，则ABC的形状是()A不等腰的直角三角形B等腰直角三角形C钝角三角形D正三角形答案D解析易知a2b2c2a2b2a2b22abcos C2absin C，即a2b22absin，由于a2b22ab，当且仅当ab时取等号，所以2absin2ab，sin1，故只能ab且C，所以ABC为正三角形二、填空题4.在中，角，的对边分别为，若，则_.【答案】【解析】根据余弦定理由可得：化简：，,，此时，故得，即，故答案为：5.若，且，那么是 三角形【答案】等腰直角【解析】由题设可得由题设可得，即该三角形是等边三角形6.已知四点共面，则的最大值为_【答案】10【解析】设 ，由题意可得： ，则： ，ABC构成三角形，则：，解得：，由余弦定理：，当时，取得最大值为10.7.如图，四边形中，则的长为_【答案】【解析】连接AC,设,则，如图：故在中， ，又在中由余弦定理有,解得,即，故答案为.
