1、 8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系导学案编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【学习目标】1.了解空间中两条直线的位置关系.2.理解异面直线的概念、画法【自主学习】知识点1空间中直线与直线的位置关系1异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线2空间两直线的三种位置关系3为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托(如图(1)(2)所示)知识点2空间中直线与平面的位置关系1位置关系：有且只有三种(1)直线在平面内有无数个公共点；(2)直线与平面相交有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行没有公共点；(4)当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在
2、平面外2符号表示：直线a在平面内，记为a；直线a与平面相交于点A，记作aA；直线a与平面平行，记作a.3图示：直线a在平面内，如下图(1)所示；直线a与平面相交于点A，如下图(2)所示；直线a与平面平行，如下图(3)所示知识点三空间中平面与平面的位置关系1位置关系：有且只有两种(1)两个平面平行没有公共点；(2)两个平面相交有一条公共直线2符号表示：两个平面，平行，记作；两个平面，相交于直线l，记作l.3图示：两个平面，平行，如下图(1)所示；两个平面，相交于直线l，如下图(2)所示【合作探究】探究一 空间中直线与直线的位置关系【例1】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C
3、1D1，CC1的中点，以下四个结论：直线DM与CC1是相交直线；直线AM与NB是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的为_(把你认为正确的结论的序号都填上)【答案】分析利用平行直线、相交直线、异面直线的定义判断解析中直线DM与直线CC1在同一平面内，它们不平行，必相交，故结论正确中的两条直线既不相交也不平行，即均为异面直线，故结论正确中AM与BN是异面直线，故不正确故填.归纳总结：判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线用符号语言可表示
4、为A，B，l，BlAB与l是异面直线(如图)【练习1】在三棱锥SABC中，与SA是异面直线的是()ASB BSCCBC DAB【答案】C解析：由题图知SB、SC、AB、AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线探究二 空间中直线与平面的位置关系 【例2】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中判断下列位置关系：(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1的位置关系是_(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是_分析利用直线和平面的公共点个数进行判定【答案】(1)平行(2)相交解析(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点，所以平行(2)平面A1BC1与平面ABCD
5、有公共点B，故相交归纳总结：判断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据三个基本事实及推论给出严格证明.另外，借助模型(如长方体)举反例也是解决这类问题的有效方法.【练习2】三棱台ABCABC的一条侧棱AA所在直线与平面BCCB之间的关系是()A相交B平行C直线在平面内D平行或直线在平面内【答案】A解析：由棱台的定义知，棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线所确定，故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交探究三 空间中平面与平面的位置关系【例3】(1)若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线()A平行B异面
6、C相交 D平行或异面(2)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是()A平行 B相交C平行或相交 D不存在【答案】(1)D(2)C解析(1)两个平面内的直线必无交点，所以是异面或平行(2)由题目分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相交或平行解答本题可逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)归纳总结：判断空间中两平面之间的位置关系时，可把文字语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系【练习3】(1)两个平面将空间分成几部
7、分？(2)将一个三棱柱的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成几部分？解：(1)两个平面平行时，将空间分成三部分；两个平面相交时，将空间分成四部分(2)如图，将三棱柱的三个侧面延展成平面后，可将空间分成7部分，然后将三棱柱的两底面延展成平面，那么每一个平面将这7部分一分为二，故共分成3721部分课后作业A组 基础题一、选择题1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A异面或平行B异面或相交C异面D相交、平行或异面【答案】D异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a，b异面，直线c的位置可如图所示2已知平面与平面，都相交，则这三个平面可能的交线有()A1条或2条B
8、2条或3条C1条或3条D1条或2条或3条【答案】D当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面和平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线3若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是()A内的所有直线都与直线a异面B内不存在与a平行的直线C内的直线都与a相交D直线a与平面有公共点【答案】D直线a不平行于平面，则a与平面相交或a.4若a，b为异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是()A相交B异面C平行D异面或相交【答案】D由空间直线的位置关系，知c与b可能异面或相交5(多选题)下列结论正确的是()A直线a平面，直线b，则abB若a，b，则a，b无
9、公共点C若a，则a或a与相交D若aA，则a【答案】CD结合直线与平面的位置关系可知，AB错误，CD正确二、填空题6若直线l上有两点到平面的距离相等，则直线l与平面的关系是_【答案】平行或相交当这两点在的同侧时，l与平行；当这两点在的异侧时，l与相交7在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有_对【答案】8以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有428(对)异面直线8如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中判断下列位置关系：(1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是_；(
10、2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是_【答案】(1)平行(2)相交(1)AD1所在的直线与平面BCC1没有公共点，所以平行；(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交三、解答题9如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？解B1D1在平面A1C1内，B1D1与平面BC1，AB1，AD1，CD1都相交，B1D1与平面AC平行10. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由解如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.因为E是AA1的中点，所以EFA
11、1B在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1BC，A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形所以A1BCD1，所以EFCD1.所以E，F，C，D1四点共面因为E平面ABB1A1，E平面D1CE，F平面ABB1A1，F平面D1CE，所以平面ABB1A1平面D1CEEF.所以过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.B组 能力提升一、选择题1不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有()A3个B4个 C6个D7个【答案】D把不共面的四个定点看作四面体的四个顶点，平面可以分为两类：第一类：如图(1)所示，四个定点分布在的一侧1个，另一侧3个，此类中共有4个图(1)图(2)
12、第二类：如图(2)所示，四个定点分布在的两侧各两个，此类中共3个综上，共有437(个)，故选D2(多选题)以下四个命题是真命题的是()A三个平面最多可以把空间分成八部分B若直线a平面，直线b平面，则“a与b相交”与“与相交”等价C若l，直线a平面，直线b平面，且abP，则PlD若n条直线中任意两条共面，则它们共面【答案】AC对于A，正确；对于B，逆推“与相交”推不出“a与b相交”，也可能ab；对于C，正确；对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱并不共面，故D错所以正确的是AC二、填空题3已知，在梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的任意一条直线m的位
13、置关系是_【答案】平行或异面如图，由于ABCD是梯形，ABCD，所以AB与CD无公共点，又CD平面，所以CD与平面无公共点. 当mAB时，则mDC；当m与 AB相交时，则m与DC异面三、解答题4.如图，已知平面l，点A，点B，点C，且Al，Bl，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面的交线与l有什么关系？证明你的结论解平面ABC与的交线与l相交证明如下：因为AB与l不平行，且AB，l，所以AB与l一定相交设ABlP(图略)，则PAB，Pl.又因为AB平面ABC，l，所以P平面ABC，P.所以点P是平面ABC与的一个公共点，而点C也是平面ABC与的一个公共点，且P，C是不同的两点，所以直线PC就是平面ABC与的交线，即平面ABCPC，而PClP，所以平面ABC与平面的交线与l相交
