1、平面向量的应用【第一学时】学习重难点学习目标核心素养向量在平面几何中的应用会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题数学建模、逻辑推理向量在物理中的应用会用向量方法解决物理中的速度、力学问题数学建模、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1利用向量可以解决哪些常见的几何问题？2如何用向量方法解决物理问题？二、合作探究探究点1：向量在几何中的应用角度一：平面几何中的垂直问题如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE证明：法一：设a，b，则|a|b|，ab0，又ab，ba，所以a2abb2|a|2|b|20故，即AFDE法二：如图
2、，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1），（2，1），（1，2）因为（2，1）（1，2）220，所以，即AFDE角度二：平面几何中的平行（或共线）问题如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且求证：点E，O，F在同一直线上证明：设m，n，由，知E，F分别是CD，AB的三等分点，所以m（mn）mn，（mn）mmn所以又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上角度三：平面几何中的长度问题如图，平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，求对角线AC的长解：设a，b，则ab，ab，而|ab|2，所以52
3、ab4，所以ab，又|2|ab|2a22abb2142ab6，所以|，即AC探究点2：向量在物理中的应用（1）在长江南岸某渡口处，江水以125 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？（2）已知两恒力F1（3，4），F2（6，5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0），求F1，F2分别对质点所做的功解：（1）如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度因为，所以四边形ABCD为平行四边形在RtACD中，ACD90，|125|25，所以CAD30，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30（2）设物体在
4、力F作用下的位移为s，则所做的功为WFs因为（7，0）（20，15）（13，15）所以W1F1（3，4）（13，15）3（13）4（15）99（焦），W2F2（6，5）（13，15）6（13）（5）（15）3（焦）三、学习小结1用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”2向量在物理学中的应用（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决（2）物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即WFs|F|s|cos （为F与s的夹角）四、精炼反馈1河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中
5、的速度大小为（）A10 m/sB2 m/sC4 m/sD12 m/s解析：选B由题意知|v水|2 m/s，|v船|10 m/s，作出示意图如图所以小船在静水中的速度大小|v|2（m/s）2已知三个力f1（2，1），f2（3，2），f3（4，3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（1，2）解析：选D由物理知识知f1f2f3f40，故f4（f1f2f3）（1，2）3设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，ABDC，试用向量证明：PQAB证明：设（0且1），因为（）（）（）（）（）（1），所以，又P，Q，A，B四点
6、不共线，所以PQAB【第二学时】学习重难点学习目标核心素养余弦定理了解余弦定理的推导过程逻辑推理余弦定理的推论掌握余弦定理的几种变形公式及应用数学运算三角形的元素及解三角形能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1余弦定理的内容是什么？2余弦定理有哪些推论？二、合作探究探究点1：已知两边及一角解三角形（1）（2018高考全国卷）在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB（）A4BCD2（2）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a，c2，cos A，则b（）ABC2D3解析：（1）因为cos C2cos2 121，所以由余弦
7、定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C25125132，所以AB4，故选A（2）由余弦定理得522b222bcos A，因为cos A，所以3b28b30，所以b3故选D答案：（1）A（2）D互动探究：变条件：将本例（2）中的条件“a，c2，cos A”改为“a2，c2，cos A”，求b为何值？解：由余弦定理得：a2b2c22bccos A，所以22b2（2）22b2，即b26b80，解得b2或b4探究点2：已知三边（三边关系）解三角形（1）在ABC中，已知a3，b5，c，则最大角与最小角的和为（）A90B120C135D150（2）在ABC中，若（ac）（ac）b（bc），则A等于
8、（）A90B60C120D150解析：（1）在ABC中，因为a3，b5，c，所以最大角为B，最小角为A，所以cos C，所以C60，所以AB120，所以ABC中的最大角与最小角的和为120故选B（2）因为（ac）（ac）b（bc），所以b2c2a2bc，所以cos A因为A（0，180），所以A60答案：（1）B（2）B探究点3：判断三角形的形状在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccos Bcos C，试判断ABC的形状解：将已知等式变形为b2（1cos2C）c2（1cos2B）2bccos Bcos C由余弦定理并整理，得b2c2b2c22bc，所以b2c2a2所以A90所以AB
9、C是直角三角形三、学习小结1余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a2b2c22bccos_Ab2a2c22accos_Bc2a2b22abcos_C2余弦定理的推论cos A；cos B；cos C3三角形的元素与解三角形（1）三角形的元素三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素（2）解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形四、精炼反馈1在ABC中，已知a5，b7，c8，则AC（）A90B120C135D150解析：选Bcos B所以B60，所以AC1202在ABC中，已知（abc）（bc
10、a）3bc，则角A等于（）A30B60C120D150解析：选B因为（bc）2a2b2c22bca23bc，所以b2c2a2bc，所以cos A，所以A603若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（ab）2c24，且C60，则ab_解析：因为C60，所以c2a2b22abcos 60，即c2a2b2ab又因为（ab）2c24，所以c2a2b22ab4由知ab2ab4，所以ab答案：4在ABC中，acos Abcos Bccos C，试判断ABC的形状解：由余弦定理知cos A，cos B，cos C，代入已知条件得abc0，通分得a2（b2c2a2）b2（a2c2b2）c2（c2a2b
11、2）0，展开整理得（a2b2）2c4所以a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2根据勾股定理知ABC是直角三角形【第三学时】学习重难点学习目标核心素养正弦定理通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？2正弦定理的内容是什么？二、合作探究探究点1：已知两角及一边解三角形在ABC中，已知c10，A45，C30，解这个三角形解：因为A45，C30，所以B180（AC）105由得a1010因为sin 75sin（3045）sin 30cos 45cos 30sin 45，所
12、以b2055探究点2：已知两边及其中一边的对角解三角形已知ABC中的下列条件，解三角形：（1）a10，b20，A60；（2）a2，c，C解：（1）因为，所以sin B1，所以三角形无解（2）因为，所以sin A因为ca，所以CA所以A所以B，b 1互动探究：变条件：若本例（2）中C改为A，其他条件不变，求C，B，b解：因为，所以sin C所以C或当C时，B，b1当C时，B，b1探究点3：判断三角形的形状已知在ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos Bbcos A，则ABC一定是（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形解析：由正弦定理得：acos Bbcos Asin
13、 Acos Bsin Bcos Asin（AB）0，由于AB，故必有AB0，AB，即ABC为等腰三角形答案：A变条件：若把本例条件变为“bsin Bcsin C”，试判断ABC的形状解：由bsin Bcsin C可得sin2Bsin2C，因为三角形内角和为180，所以sin Bsin C所以BC故ABC为等腰三角形三、学习小结1正弦定理条件在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等2正弦定理的变形若R为ABC外接圆的半径，则（1）a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；（2）sin A，sin B，sin C；（3）s
14、in Asin Bsin Cabc；（4）2R四、精炼反馈1（2019辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在ABC中，AB2，AC3，B60，则cos C（）ABCD解析：选B由正弦定理，得，即，解得sin C因为ABAC，所以CB，所以cos C2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ABC123，则abc（）A123B321C21D12解析：选D在ABC中，因为ABC123，所以B2A，C3A，又ABC180，所以A30，B60，C90，所以abcsin Asin Bsin Csin 30sin 60sin 90123在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cacos B（
15、2ab）cos A，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形解析：选D已知cacos B（2ab）cos A，由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，所以sin（AB）sin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，化简得cos A（sin Bsin A）0，所以cos A0或sin Bsin A0，则A90或AB，故ABC为等腰三角形或直角三角形【第四学时】学习重难点学习目标核心素养测量中的术语理解测量中的基线等有关名词、术语的确切含义直观想象测量距离、高度、角度问题会利用正、余弦定理解
16、决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题数学建模【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1什么是基线？2基线的长度与测量的精确度有什么关系？3利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？二、合作探究探究点1：测量距离问题海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B岛与C岛间的距离是_解析：如图，在ABC中，C180（BA）45，由正弦定理，可得，所以BC105（海里）答案：5海里互动探究：变条件：在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成75的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？解：由已知在ABC
17、中，AB10，AC20，BAC60，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可BC2AB2AC22ABACcos 6010220221020300故BC10即B，C间的距离为10海里探究点2测量高度问题如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m解析：由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m在RtBCD中，CDBCtan 30300100（m）答案：100互动探究：变问法：在
18、本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为，求tan 的值解：如图，过点C，作CEAB，垂足为E，则DEC，由例题可知，CBE75，BC300，所以CEBCsinCBE300sin 75300150150所以tan 探究点3：测量角度问题岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75方向且相距10海里的C处，随即以每小时10海里的速度前往拦截（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？（2）假设海监船在D处恰好追
19、上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间解：（1）根据题意得BAC45，ABC75，BC10，所以ACB180754560，在ABC中，由，得AB5所以海监船接到通知时，在距离岛A 5 海里处（2）设海监船航行时间为t小时，则BD10t，CD10t，又因为BCD180ACB18060120，所以BD2BC2CD22BCCDcos 120，所以300t2100100t221010t，所以2t2t10，解得t1或t（舍去）所以CD10，所以BCCD，所以CBD（180120）30，所以ABD7530105所以海监船沿方位角105航行，航行时间为1个小时（或海监船沿南偏东75方向航行，航行时间为1个
20、小时）三、学习小结1基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线2基线与测量精确度的关系一般来说，基线越长，测量的精确度越高3实际测量中的有关名称、术语名称定义图示仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90）南偏西60（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角四、精炼反馈1若P在Q的北偏东4450方向上，则Q在P的（）A东偏北4510方向上B东偏北4550方向上C南偏
21、西4450方向上D西偏南4550方向上解析：选C如图所示2如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45和30，已知CD200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A100米B50（1）米C100（1）米D200米解析：选C设ABx米，在RtACB中，ACB45，所以BCABx在RtABD中，D30，则BDABx因为BDBCCD，所以xx200，解得x100（1）故选C3已知台风中心位于城市A东偏北（为锐角）度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，25小时后到达距城市A西偏北（为锐角）度的200公里处，若cos cos ，则v（）A60B
22、80C100D125解析：选C画出图象如图所示，由余弦定理得（25v）2200215022200150cos（），由正弦定理得，所以sin sin 又cos cos ，sin2 cos2 1，解得sin ，故cos ，sin ，cos ，故cos（）0，代入解得v1004某巡逻艇在A处发现在北偏东45距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向解：设经过t小时在点C处刚好追上走私船，依题意：AC12t，BC12t，ABC120，在ABC中，由正弦定理得，所以sinBAC，所以BAC30，所以ABBC812t，解得t，航行的方向为北偏东75即巡逻艇最少经过小时可追到走私船，沿北偏东75的方向航行
