1、 7.1.2复数的几何意义导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.【自主学习】知识点1复平面的概念和复数的几何意义1.复平面的概念根据复数相等的定义，任何一个复数zabi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi可用点Z(a，b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面
2、叫做 ，x轴叫做 ，y轴叫做 .显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的几何意义按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数zabi复平面内的点 ，这是复数的一种几何意义.3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z表示复数zabi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，
3、点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数zabi平面向量，这是复数的另一种几何意义.知识点2复数的模1.如图所示，向量的模r叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|.如果b0，那么zabi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知：|z|abi|r(r0，rR).2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则(1)|z1z2|z1|z2|，(|z2|0)(复数的乘、除法将在下节学习到).(2)|z|z1|n(nN*).(3)|z1z2|z1|z2|，等号成立的条件是
4、：当|z1z2|z1|z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线；当|z1|z2|z1z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线.(4)|z1|z2|z1z2|z1|z2|，等号成立的条件是：当|z1z2|z1|z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线；当|z1|z2|z1z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线. 【合作探究】探究一 复数与复平面内的点【例1】在复平面内，若复数z(m22m8)(m23m10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线yx上，分别求实数m的取值范围.归纳总结：【练习1】实数m取什么值时，复数z(m25m6)(m22m1
5、5)i.(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线xy40上.探究二 复数的模的几何意义【例2】设zC，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.(1)|z|2；(2)1|z|2.归纳总结：【练习2】若复数z满足|zi|(i为虚数单位)，则z在复平面所对应的图形的面积为 .探究三 复数的模及其应用【例3】已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围.归纳总结：【练习3】已知复数|z|1，求复数34iz的模的最大值及最小值.课后作业A组 基础题一、选择题1.设x34i，则复数zx|x|(1i)在复平面上的对应点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
6、2.当m1时，复数z(3m2)(m1)i在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量对应的复数为()A.2i B.2iC.12i D.12i4.已知复数z满足|z|22|z|30，则复数z对应点的轨迹是()A.1个圆 B.线段C.2个点 D.2个圆5.在复平面内，复数zi2i2对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6.在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.48i B.82iC.24i
7、 D.4i7.已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8.（多选题）下列命题中，正确的是（ ）A. 复数的模总是非负数B. 复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C. 如果复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D. 相等的向量对应着相等的复数二、填空题9.在复平面内表示复数z(m3)2i的点在直线yx上，则实数m的值为 .10.复数z1a2i，z22i，如果|z1|z2|，那么实数a的取值范围是 .11.若复数z5cos 4i(i为虚数单位，0)在复平面上的对应点在直线yx1
8、上，则sin .12.已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是 .13.复数zlog3ilog3 对应的点位于复平面内的第 象限.三、解答题14.已知z12(1i)，且|z|1，求|zz1|的最大值.15.设复数zlg(m22m14)(m2m6)i，求当实数m为何值时：(1)z为实数；(2)z对应的点位于复平面的第二象限.16.已知复数z在复平面内对应的点位于第四象限，且满足，其实部、虚部均为整数，记i为虚数单位.（）求复数z；（）当为纯虚数时，若，求实数m和n的值.B组 能力提升一、选择题1.已知复数z满足，则的最小值为（ ）A. 2B. 1C. D. 2.已知复数z满足
9、：，则的最大值为（ ）A. 2B. C. D. 33.已知复数，满足，则点的轨迹是（ ）A. 线段B. 圆C. 双曲线D. 椭圆4.若，则复数(cos sin )(sin cos )i在复平面内所对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5.设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z(cos Btan A)tan Bi对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空题6.设zlog2(m23m3)ilog2(m3)(mR)，若z对应的点在直线x2y10上，则m的值是 .7.若复数z满足（i为虚数单位），则 的最小值是_.8.已知复数，且，则的最大值为_三、解答题10.已知z134i，|z|1，求|zz1|的最大值和最小值.11.设全集UC，Az|z|1|1|z|，zC，Bz|z|1，zC，若zA(UB)，求复数z在复平面内对应的点的轨迹.
