1、 10.2事件的相互独立性导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.理解相互独立事件的定义及意义2.理解概率的乘法公式【自主学习】知识点1 事件的相互独立性1定义对于任意两个事件A与B，如果P(AB)P(A)P(B)成立，则事件A与事件B相互独立，简称为独立2性质当事件A，B相互独立时，A与，与B，与也相互独立3n个事件相互独立对于n个事件A1，A2，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，An相互独立4n个相互独立事件的概率公式如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(
2、A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)，并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立【合作探究】探究一 相互独立事件的判断【例1】判断下列各对事件是否是相互独立事件(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”分析(1)利用独立性概念的直观解释进行判断(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发
3、生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断(3)利用事件的独立性定义式判断解(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件(3)记A“出现偶数点”，B“出现3点或6点”，则A2,4,6，B3,6，AB6，P(A)，P(B)，P(AB).
4、P(AB)P(A)P(B)，事件A与B相互独立归纳总结：判断事件是否相互独立的方法1.定义法：事件A，B相互独立P(AB)P(A)P(B).2.由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.【练习1】(1)一袋中装有100只球，其中有20只白球，在有放回地摸球中，记A1“第一次摸得白球”，A2“第二次摸得白球”，则事件A1与是()A相互独立事件 B对立事件C互斥事件 D无法判断(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A“甲击中目标”，事件B“乙击中目标”，则事件A与事件B()A相互独立但不互斥 B互斥但不相互独立C相互独立且互斥 D既不相互独立也不互斥【答案】（1）A （2）A解析：(
5、1)由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球，对下次摸球结果没有影响，故事件A1，是相互独立事件(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件故选A.探究二 相互独立事件发生的概率【例2】在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立的(1)求乙答对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概
6、率分析(1)设乙答对这道题的概率为x，由对立事件概率关系和相互独立事件概率乘法公式，求出乙答对这道题的概率；(2)设丙答对这道题的概率y，由相互独立事件概率乘法公式，求出丙答对这道题的概率和甲、乙、丙三人都回答错误的概率，再由对立事件的概率公式，求得答案解(1)记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A，B，C，设乙答对这道题的概率P(B)x，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立事件由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，得P()P()P()(1x)，解得x，所以，乙对这道题的概率为P(B).(2)设“甲、乙、丙、三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，丙答对这
7、道题的概率P(C)y.由(1)，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，得P(BC)P(B)P(C)y，解得y.甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P()P()P()P().因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，所以，所求事件概率为P(M)1.归纳总结：1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积.2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生.【练习2】(1)一个电路如图所示，A，B
8、，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.B.C. D.(2)明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 .【答案】（1）B （2）0.98解析：(1)设T“A与B中至少有一个不闭合”，R“E与F至少有一个不闭合”，则P(T)P(R)1，所以灯亮的概率为P1P(T)P(R)P()P()1，故选B.(2)设A“两个闹钟至少有一个准时响”，则P(A)1(10.80)(10.90)10.200.100.98.课后作业A组 基础
9、题一、选择题1甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为( )A0.42 B0.12 C0.18 D0.28【答案】B解析：所求概率为(10.6)(10.7)0.12，故选B.2某同学从家到学校要经过两个十字路口设各路口信号灯工作相互独立，且在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口都遇到红灯的概率为，则他在第二个路口遇到红灯的概率为( )A. B. C. D.【答案】C解析：记事件A为“在第一个路口遇到红灯”，事件B为“在第二个路口遇到红灯”，由于两个事件相互独立，所以P(A)P(B)P(AB)，所以P(B).3下
10、列事件中，A，B是相互独立事件的是()A一枚硬币掷两次，A“第一次为正面”，B“第二次为反面”B袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A“第一次摸到白球”，B“第二次摸到白球”C掷一枚骰子，A“出现点数为奇数”，B“出现点数为偶数”DA“人能活到20岁”，B“人能活到50岁”【答案】A把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响故选A4甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的今从甲、乙两盒
11、中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为()ABCD【答案】C设“从甲盒中取一螺杆为A型螺杆”为事件A，“从乙盒中取一螺母为A型螺母”为事件B，则A与B相互独立，P(A)，P(B)，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为PP(A)P(B).5两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是()A0.56B0.92 C0.94D0.96【答案】C两人都没有击中的概率为0.20.30.06，目标被击中的概率为10.060.94.6在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在这段道路
12、上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为()A B C D【答案】C由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为.7如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为()A0.504B0.994 C0.496D0.064【答案】B由题意知，所求概率为1(10.9)(10.8)(10.7)10.0060.994.8甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4个人相互比赛的胜率如下表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选
13、手的概率.甲乙丙丁甲0.30.30.8乙0.70.60.4丙0.70.40.5丁0.20.60.5那么甲得冠军且丙得亚军的概率是( )A0.15 B0.105 C0.045 D0.21【答案】C解析：甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5，甲、丙决赛甲获胜的概率是0.3，根据独立事件的概率等于概率之积，所以，甲得冠军且丙得亚军的概率：0.30.50.30.045.故选C.二、填空题9某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为_【答案】设此队员每次罚球的命中率为p，则1p2，所以p.10已知A，B是相互独立事件，
14、且P(A)，P(B)，则P(A )_；P( )_.【答案】P(A)，P(B)，P()，P().P(A )P(A)P()，P( )P()P().11甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是_，三人中至少有一人达标的概率是_【答案】0.240.96由题意可知三人都达标的概率为P0.80.60.50.24；三人中至少有一人达标的概率为P1(10.8)(10.6)(10.5)0.96.三、解答题12设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的
15、求：(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率【答案】记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)0.5；记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)0.6；记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”；记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”(1)易知CAB，则P(C)P(AB)P(A)P(B)0.50.60.3.(2)易知D(A )(B)，则P(D)P(A )P(B)P(A)P()P()P(B)0.50.40.50.60.5.13甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高
16、中成功的概率分别为0.7,0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率【答案】记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi(i1,2,3)，依题意得P(Ai)0.7，P(Bi)0.6，且Ai，Bi相互独立(1)“甲试跳三次，第三次才成功”为事件12A3，且这三次试跳相互独立P(12A3)P(1)P(2)P(A3)0.30.30.70.063.(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件CP(C)1P(1)P(1)10.30.40.88.B组 能力提升一、选择题1甲、乙两人
17、参加知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为()A B C D【答案】D根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是.2设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于()A B C D【答案】D由题意，P()P()，P()P(B)P(A)P()设P(A)x，P(B)y，则即x22x1，x1，或x1(舍去)，x.3设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次记事件A“第一个四面体向下的一面出现
18、偶数”；事件B“第二个四面体向下的一面出现奇数”；C“两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数”给出下列说法：P(A)P(B)P(C)；P(AB)P(AC)P(BC)；P(ABC)；P(A)P(B)P(C).其中正确的有( )A0个 B1个 C2个 D3个【答案】D解析：P(A)，P(B)，P(C)，故对P(AB)，P(AC)，P(BC)，故对事件A，B，C不可能同时发生，P(ABC)0，故错故选D.4设M，N为两个随机事件，给出以下命题：(1)若M，N为互斥事件，且P(M)，P(N)，则P(MN)；(2)若P(M)，P(N)，P(MN)，则M，N为相互独立事件；(3)若P()，P
19、(N)，P(MN)，则M，N为相互独立事件；(4)若P(M)，P()，P(MN)，则M，N为相互独立事件；(5)若P(M)，P(N)，P()，则M，N为相互独立事件其中正确命题的个数为( )A1 B2 C3 D4【答案】C解析：若M，N为互斥事件，且P(M)，P(N)，则P(MN)，故(1)正确；若P(M)，P(N)，P(MN).则由相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故(2)正确；若P()，P(N)，P(MN)，则P(M)1P()，P(MN)P(M)P(N)由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故(3)正确；若P(M)，P()，P(MN)，当M，N为相互
20、独立事件时，P(N)1P()，P(MN)，故(4)错误；若P(M)，P(N)，P( )，则P()，P()，P( )P()P()由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故(5)错误故选C.二、填空题5一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，则他第k次恰好打开房门的概率等于_【答案】由 “第k次恰好打开，前k1次没有打开”，第k次恰好打开房门的概率为.三、解答题6某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮
21、”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格小明同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响，求小明同学一次测试合格的概率【答案】设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai，第i次“三步上篮”命中为事件Bi(i1,2)，依题意有P(Ai)，P(Bi)(i1,2)，“小明同学一次测试合格”为事件CP()P(12)P(1A212)P(A112)P(1)P(2)P(1)P(A2)P(1)P(2)P(A1)P(1)P(2).P(C)1.7甲、乙二人进行一次围棋比赛，一共赛5局，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束假设在一局中
22、，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立已知前2局中，甲、乙各胜1局(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率【答案】记Ai表示事件“第i局甲获胜”，i3,4,5，Bj表示事件“第j局乙获胜”，j3,4,5.(1)记A表示事件“再赛2局结束比赛”A(A3A4)(B3B4)由于各局比赛结果相互独立，故P(A)P(A3A4)(B3B4)P(A3A4)P(B3B4)P(A3)P(A4)P(B3)P(B4)0.60.60.40.40.52.(2)记事件B表示“甲获得这次比赛的胜利”因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B(A3A4)(B3A4A5)(A3B4A5)，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)P(A3A4)P(B3A4A5)P(A3B4A5)P(A3)P(A4)P(B3)P(A4)P(A5)P(A3)P(B4)P(A5)0.60.60.40.60.60.60.40.60.648.
