1、5.1.25.1.2导数的概念及其几何意义导数的概念及其几何意义 OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y讲课人：邢启强2新知引入新知引入讲课人：邢启强3定义定义:函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xxxfxxfxx ylim )()(lim 0000称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作0000()()()lim.xf xxf xfxx )(0 xf 或或 ,即即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(.1xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(.20一
2、概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同.3学习新知学习新知讲课人：邢启强4由导数的定义可知由导数的定义可知,求函数求函数 y=f(x)在在x=x0处的导数的一般方法处的导数的一般方法:1.求函数的增量求函数的增量2.求平均变化率求平均变化率3.取极限得导数值取极限得导数值);()(00 xfxxfy.lim)(00 xyxfx;)()(00 xxfxxfxy一差、二比、三极限一差、二比、三极限学习新知学习新知讲课人：邢启强50001111(1)limlimlim()11xxxfxfxxx 解：练习：练习：(1)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均变化率，并求出附近的平均变化率，
3、并求出在该点处的导数在该点处的导数(2)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求质点在，求质点在t=3的瞬时速度的瞬时速度.36典型例题典型例题分析：先求f=y=f(1x)-f(1)=6x+(x)2讲课人：邢启强6 022,.,:715(08).26,.xhCf xxxxhh例将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和加热如果在时原油的温度 单位为计算第和第 时原油温度的瞬时变化率并说明它们的意义,根据导数的定义 xfxfxy22 26,2,6,hhff解在第和第时 原油温度的瞬时变化率就是 xxx152721527222 典型例题典型例题,3742 xxxxx,33
4、limlim2,00 xxyfxx所以 .56 f同理可得0026,35.2,3/;6,5/.hhhC hhC h在第与第时 原油温度的瞬时变化率分别为与 它说明在第附近原油温度大约以的速率下降 在附近 原油温度大约以的速率上升00,.fxx一般地反映了原油温度在时刻 附近的变化情况讲课人：邢启强7典型例题典型例题例3一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位:m/s)为y=v(t)=-t2+6t+60,求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率，因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v(2),v(6).在第2s
5、与第6s时，汽车的瞬时加速度分别是2m/s2与-6m/s2.说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s;在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.讲课人：邢启强8平均变化率 表示割线P0P的斜率;)()(00 xxfxxfxy学习新知学习新知讲课人：邢启强9P0Poxyy=f(x)割割线线切线切线T导数的几何意义:在曲线在曲线y=f(x)上任取一点上任取一点P(x,f(x),如果当点如果当点P(x,f(x)沿着曲沿着曲线线y=f(x)无限趋近于点无限趋近于点P0,即即x0时时,割线割线P0P无限趋近于无限趋近于一个确定的位置，这个确定位一个确定的位置，这个确定位置的直线置的直线P0T
6、称为曲线称为曲线y=f(x)在在点点P0处的处的切线切线.(tangent line).学习新知学习新知讲课人：邢启强10即即:00000()()()limlimxxf xxf xykf xxx 切线这个几何意义这个几何意义:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.要注意要注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限如有极限,则在此点有切线则在此点有切线,且切线且切线是
7、唯一的是唯一的;如不存在如不存在,则在此点处无切线则在此点处无切线;3)曲线的切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个可以有多个,甚至可以无穷多个甚至可以无穷多个.P0Poxyy=f(x)割割线线切切线线T这就是导数的几何意义学习新知学习新知讲课人：邢启强11解：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h(t0)=0.这时,在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.(2)当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h(t
8、1)0.这时，在t=t1附近曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递减.(3)当t=t2时，曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率h(t2)0.这时，在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.讲课人：邢启强1280.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60.70.90.01.11.mlmgc/mint 5.,(:/):min.,0.2,0.4,0.6,0.8min,0.1.cf tmg m
9、ltt例 如图 它表示人体血管中药物浓度单位随时间单位变化的函数图象根据图象估计时 血管中药物浓度的瞬时变化率 精确到 :,.,.f tf t解 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率 就是药物浓度在此时刻的导数从图象上看 它表示曲线在此点处的切线的斜率典型例题典型例题讲课人：邢启强13,.如图 画出曲线上某点处的切线 利用网格估计这条切线的斜率可以得到此刻药物浓度瞬时变化率的近似值0.8,1.4,0.81.4.tf 作处的切线 它的斜率约为所以.,这些值是否正确一下验证时变化率的估计值下表给出了药物浓度瞬 417004080604020.tft药物浓度的瞬时变化率讲课人：邢启强1400()()(
10、)limlimxxyf xxf xfxyxx 000()()()()().yf xxfxf xfxx函数在点 处的导数等于函数的导 函 数在点 处的函数值由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当当x=x0时时,f(x0)是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变化时变化时,f(x)便是便是x的一个函数的一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的的导函数导函数(derived function)(简称导数简称导数),y=f(x)的导函数有时也记作的导函数有时也记作y即即:学习新知学习新知讲课人：邢启强15例例6:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在
11、点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.Q QPy=x2+1xy-111OjMyx2000020()()(1)1(1 1):limlim2()lim2.xxxf xxf xxkxxxxx 解因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出求出P点的坐标点的坐标;利用切线斜率的定义求出切线的斜率利用切线斜率的定义求出切线的斜率;利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.典型例题典型例题讲课人：邢启强16练习练习:如图已知曲线如图已知曲线 ,求求:(1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率;(2)点点P处的切
12、线方程处的切线方程.)38,2(313Pxy上上一一点点 yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：.42|22 xy即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4.(2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.巩固练习巩固练习讲课人：邢启强17讲课人：邢启强18例7:在曲线yx2上求分别满足下列条件的切线方程：(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)倾斜角
13、为135.分析:解此类题的步骤为：先设切点坐标(x0，y0)；求导函数f(x)；求切线的斜率f (x0)；由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;由于点(x0，y0)在曲线yf(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标典型例题典型例题讲课人：邢启强19例7:在曲线yx2上求分别满足下列条件的切线方程,(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)倾斜角为135.点评:此类题的易错之处是将切点的横坐标代入导函数来求切点坐标.讲课人：邢启强201求物体运动的瞬时速度：（1）求位移增量s=s(t+t)s(t)(2)求平均速度（3）求极限;svt00()().limlimxxss tts ttt2由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量y=f(x0+t)f(x0)(2)求平均变化率（3）求极限yx00()limxyfxx课堂小结课堂小结
