1、5.3.2函数的极值函数的极值(2)讲课人：邢启强2复习：函数的极值复习：函数的极值:一般地一般地,设函数设函数y=f(x)在在x0及其附近有定义及其附近有定义,如果如果f(x0)的值比的值比x0附近所有各附近所有各点点的函数值的函数值都大都大,我们说我们说f(x0)是函数是函数y=f(x)的一个的一个极大极大值值;并把并把x0称为函数称为函数f(x)的一个极大值点的一个极大值点;如果如果f(x0)的值比的值比x0附近所有各点附近所有各点的函数值的函数值都小都小,我们说我们说f(x0)是函数是函数y=f(x)的一个的一个极小极小值，并把值，并把x0称为函数称为函数f(x)的一个极小值点的一个极
2、小值点.在定义中在定义中,取得极值的点称为极值点取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值极值点是自变量的值,极值指的极值指的是对应的函数值是对应的函数值.当函数当函数f(x)在在x0处连续可导时处连续可导时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的方法是值的方法是:如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0右侧右侧f(x)0那么那么,f(x0)是极是极大大值值;如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0那么那么,f(x0)是极是极小小值值.讲课人：邢启强3求可导函数求可导函数f(x)的极值的步骤如下的极值的步骤如下:(2).求导数求导数f(x)(3).求方程求方程f(x)=0的根的
3、根.(4).列表检查列表检查f(x)在方程根左右的值的符号在方程根左右的值的符号,如果如果左负右正左负右正,那么那么f(x)在这个根处取得在这个根处取得极小值极小值;如果如果左正右负左正右负,那那 么么f(x)在这个根处取得在这个根处取得极大值极大值.(1).求函数定义域求函数定义域(5).写结论写结论讲课人：邢启强4例例1:已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+b.(1)若函数若函数f(x)在在x=0,x=4处取得极值处取得极值,且极小值为且极小值为1,求求a、b的值的值.(2)若若x0,1,函数函数f(x)图象上的任意一点的切线斜率为图象上的任意一点的切线斜率为k,试讨论试讨论k1成立的
4、充要条件成立的充要条件.由于当由于当x0时时,f(x)0时时,f(x)0.故当故当x=0时时,f(x)达到极小值达到极小值f(0)=b,所以所以b=-1.(2)等价于当等价于当x0,1,时时,-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即g(x)=3x2-2ax-10对一切对一切x0,1恒成立恒成立.由于由于g(0)=-10,故只需故只需g(1)=2-2a0,即即a1.反之反之,当当a1时时,g(x)0对一切对一切x0,1,恒成立恒成立.所以所以,a1是是k-1成立的充要条件成立的充要条件.讲课人：邢启强5练练1:已知已知f(x)=ax5-bx3+c在在x=1处有极值处有极值,且极大值为且极大值为4,
5、极小值为极小值为0.试确试确定定a,b,c的值的值.解解:).35(35)(2224baxxbxaxxf 由题意由题意,由f(x)=0解得根根x=1,故故5a=3b,于是于是:).1(5)(22 xaxxf(1)设设a0,列表如下列表如下:x -1(-1,1)1f(x)0 0 0 f(x)极大值极大值 极小值极小值 )1,(),1(由表可得由表可得 ,即即 .04)1(0)1(4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=3,b=5,c=2.讲课人：邢启强6(2)设设a0,故故f(x)=0有不相等的两实根有不相等的两实根、,设设.又设g(x)=-ax2-2bx+a,由于-a0,g(x)的图象开
6、口向下,g(x)的值在的右正左负,在的左正右负.注意到f(x)与g(x)的符号相同,可知为极小值点,为极大值点.讲课人：邢启强9(2)由由f()=-1和和f()=1可得可得:.1122 baba两式相加两式相加,并注意到并注意到+=-2b/a,于是有于是有:2222()20,0,0,0.bbabbaa 从而方程f(x)=0可化为x2=1,它的两根为+1和-1,即=-1,=1.由由.2121)(2 aabaf 故所求的值为a=2,b=0.例例2:已知已知:(1)证明证明:f(x)恰有一个极大值点和一个极小值点恰有一个极大值点和一个极小值点;(2)当当f(x)的极大值为的极大值为1、极小值为、极小
7、值为-1时时,求求a、b的值的值.).0(1)(2 axbaxxf讲课人：邢启强10思考：思考：已知函数已知函数 在在 处取得极值。处取得极值。（1）求函数）求函数f(x)的解析式（的解析式（2）求函数）求函数f(x)的单调区间的单调区间 322f xaxbxx2,1xx 解：解：（1）f(x)在在 取得极值取得极值,即即 解得解得 （2），由由 得得 f(x)的单调增区间为的单调增区间为 由由 得得 所以所以f(x)的单调减区间为的单调减区间为 2322fxaxbx2,1xx 124203220abab11,32ab 3211232f xxxx 22fxxx 0fx 12xx 或 0fx 2
8、1x)1,2(,21,和0)1(,0)2(ff讲课人：邢启强11 函数函数f(x)=)=x3 3-ax2 2-bx+a2 2在在x=1=1时有极值时有极值1010，则，则a，b的值为（的值为（）A A、a=3,=3,b=-3=-3或或a=-4,=-4,b=11 B=11 B、a=-4,=-4,b=1=1或或a=-4,=-4,b=11=11C C、a=-4,=-4,b=11=11 D D、以上都不对以上都不对 C解解:由题设条件得：由题设条件得：0)1(10)1(/ff 0231012baaba解之得解之得 11433baba或或注意：注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取
9、得极值的必要不充分条件注意代入检验注意代入检验 练习：函数f(x)=x3+ax2+bx+a2+a在x=1处有极值7,则a=()A.-3或3 B.3或-9 C.3 D.-3C讲课人：邢启强12(2009陕西文，20)已知函数f(x)x33ax1，a0(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极大值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围分析本小题主要考查函数、导数的应用等基础知识，考查分类整合思想、推理和运算能力解析(1)f(x)3x23a3(x2a)，当a0，当a0时，f(x)的单调增区间为(,)讲课人：邢启强13f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x
10、)0解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，又f(3)191，结合f(x)的单调性可知,m的取值范围是(3,1)(2009陕西文，20)已知函数f(x)x33ax1，a0(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极大值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围讲课人：邢启强14当x(0,x1)时,f(x)0.故f(x)在区间(0,x1)上单调递减，在区间(x1,+)上单调递增;讲课人：邢启强15易知x1,x2分别是f(x)的极小值点和极大值点.讲课人：邢启强1636nm
