1、费马(16011665)是一位17世纪的法国律师,也是一位业余数学家.之所以称费马为“业余数学家之王”,是由于他具有律师的全职工作.17世纪是杰出数学家活跃的世纪,而费马比他同时代的大多数专业数学家更有成就,是17世纪数学家中最多产的明星.他将无穷小的思想运用到求积问题上,已具今日微积分的雏形,这也是费马的卓越成就之一.他在牛顿出生前的13年,提出了有关微积分的主体概念.大约在1637年,他写了一篇手稿求最大值与最小值的方法.让我们沿着这位传奇人物的足迹来用导数研究函数的最大(小)值问题吧.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854 联系微信fj
2、math加入百度网盘群3500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸讲课人：邢启强2一、复习引入一、复习引入 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 f(x)0,右侧右侧f(x)0,那么那么,f(x0)是极大值是极大值;如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 f(x)0,那么那么,f(x0)是极小值是极小值.2.在可导函数中，导数为零的点是该点为极值点的必要条件在可导函数中，导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充而不是充分条件分条件.极值只能在函数的极值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到时取到.3.在某些问题中在某些问题中,往
3、往关心的是函数在一个定义区间上往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大哪个值最大,哪个值最小哪个值最小,而不是极值而不是极值.1.当函数当函数f(x)在在x0处连续时处连续时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的方法是值的方法是:讲课人：邢启强3函数的最值函数的最值 观察右边一个定义在区间观察右边一个定义在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象，你能找的图象，你能找出函数出函数y=f(x)在区间在区间a,b上的最上的最大值、最小值吗？大值、最小值吗？发现图中发现图中_是极小值，是极小值，是极大值，在区间上的是极大值，在区间上的函数的最大值是函数的最大值是_，最小值是，最小值是_
4、。思考：思考：如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小是最小值，而值，而f(a)是最大值呢？是最大值呢？f(x1)、f(x3)、f(x5)f(x2)、f(x4)、f(x6)f(a)f(x3)讲课人：邢启强4函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值与最小值探究：探究：观察a,b上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在a,b上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？最大值：f(b);最小值：f(a)最大值：f(x3);最小值：f(x4)连续不断
5、讲课人：邢启强5函数的最大值和最小值是一个整体性概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大最大（小）（小）值是比较整值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必
6、定是极值讲课人：邢启强6例例1:求函数求函数y=x42x2+5在区间在区间-2,2上的最大值与最小值上的最大值与最小值.解解:.443xxy 令令 ,解得解得x=1,0,1.0 y当当x变化时变化时,的变化情况如下表的变化情况如下表:yy,x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y 0 +0 0 +y13 4 5 4 13从上表可知从上表可知,最大值是最大值是13,最小值是最小值是4.1、求出所有导数为、求出所有导数为0的点；的点；2、列表；、列表；3、比较确定最值。、比较确定最值。极值 各极值 端点 最大值 最小值 2求函数f(x)在闭区间a，b上的最值的步骤(1)求函
7、数yf(x)在区间(a，b)上的_；(2)将函数yf(x)的_与_处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是_，最小的一个是_讲课人：邢启强7求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)函数的函数的极值是极值是在局部范围内讨论问题在局部范围内讨论问题,是一个是一个局部概局部概 念念,而函数的而函数的最值最值是对整是对整个定义域而言个定义域而言,是在整体范围内讨论问题是在整体范围内讨论问题,是一个是一个整体性的概念整体性的概念.(2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值.开区间开区间(a,b)内的可导函数不一定有最内的可导函数不一定有最值值
8、,但若有唯一的极值但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,但取最值的自变量不一但取最值的自变量不一定有一个，而函数的极值则可能不止一个定有一个，而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值也可能没有极值,并且极大值并且极大值(极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值),但除端点外在区间内部的最大值但除端点外在区间内部的最大值(或最小值或最小值),则一定则一定是极大值是极大值(或极小值或极小值).(4)如果函数不在闭区间如果函数不在闭区间a,b上可导上可导,则
9、在确定函数的最值时则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.(5)在解决实际应用问题中在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单这样的函数称为单峰函数峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值不必再与端点的函数值进行比较进行比较.讲课人：邢启强8【对应练习】求下列函数在所给的区间上的最大值与最小值。（1）y=x-x3
10、x0,2（2）y=x3+x2-x x-2,1【解题回顾】在求函数f(x)在a,b最值过程中，判断极值比较麻烦，可改求可导函数在(a,b)内导数为0点函数值，再把这些值与函数在端点的值比较即可。讲课人：邢启强9一般地，求函数一般地，求函数y=f(x)在在a,b上的最大值与最小值的上的最大值与最小值的步骤步骤如下：如下：(5).将函数将函数y=f(x)的的各极值与端点各极值与端点处的函数值处的函数值f(a)、f(b)比较比较,其中最大其中最大的一个为最大值的一个为最大值,最小的一个为最小值最小的一个为最小值.(2).求导数求导数).(xf(3).求方程求方程 的根的根.0)(xf(1).求函数定义
11、域求函数定义域(4).列表检查列表检查 在方程根左右的值的符号在方程根左右的值的符号,如果左负右正如果左负右正,那么那么f(x)在这个根处取得极小值在这个根处取得极小值;如果左正右负如果左正右负,那那 么么f(x)在这个根处取得极大值在这个根处取得极大值.)(xf 讲课人：邢启强10我们知道，如果在闭区间我们知道，如果在闭区间a,b上函数上函数y=f(x)的图像是一条连续的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把那么把闭区间闭区间a,b换成开区间（换成开区间（a,b）是否一定有最值呢？是否一定有最值呢？函数函数f(x)有一个极值点时，
12、有一个极值点时，极值点必定是最值点。极值点必定是最值点。有两个极值点时，函数有无有两个极值点时，函数有无最值情况不定。最值情况不定。讲课人：邢启强11例2.a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0 x1)的最大值.解:f(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).若a0,则f(x)0,函数f(x)单调递减,所以当x=0时,有最大值f(0)=0.反思感悟求解函数在区间上的最值,需注意以下几点(1)对函数进行准确求导,并检验f(x)=0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值.注意由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化,所以解
13、决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.(3)分类讨论后比较极值与端点函数值的大小,确定最值.讲课人：邢启强12练习：已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间0,2上的最大值.讲课人：邢启强13例3设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(xR,t0).(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)0),当x=-t时,f(x)取最小值,即f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g(t
14、),g(t)的变化情况如下表:g(t)在(0,2)内有极大值g(1)=1-m.h(t)-2t+m在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立,即等价于1-m0.m的取值范围为(1,+).讲课人：邢启强14延伸探究1若将本例(2)的条件改为“存在t0,2,使h(t)-2t+m成立”,则实数m的取值范围如何求解?解:令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g(t),g(t)的变化情况如下表:g(t)在0,2上有最小值g(2)=-3-m,存在t0,2,使h(t)-2t+m成立,等价于g(t
15、)的最小值g(2)0.-3-m-3,所以实数m的取值范围为(-3,+).讲课人：邢启强15延伸探究2若将本例(2)的条件改为“对任意的t1,t20,2,都有h(t1)-2t2+m”,求实数m的取值范围.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854 联系微信fjmath加入百度网盘群3500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸讲课人：邢启强161.函数 在-3，4上的最小值为（）A、-64 B、-51 C、-56 D、-612.函数 在上的最大值为（）A、2+2 B、4 C、D、5 3函数 在 时的最大、最小值分别是 。3226187yxx
16、x24yxxx2()sincosf xxx,2 2x 22,1DB讲课人：邢启强17课堂小结课堂小结 求在求在a,b上连续上连续,(a,b)上可导的函数上可导的函数f(x)在在a,b上的最值的步骤上的最值的步骤:(1)求求f(x)在在(a,b)内的极值内的极值;(2)将将f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)比较比较,其中最大的一个是最大值其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值最小的一个是最小值.解答含参数的问题,往往需要对参数进行分类讨论进行求解.2.本题因极值点e与所给闭区间的两个端点的大小不确定,从而展开讨论,要做到不重不漏.3.分类讨论时,若在所讨论的范围内,问题无法解决,还需要针对参数展开第二层讨论.4.针对参数的所有情况讨论完成后,应将结论进行整合.
