1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第十节 变化率与导数、计算导数 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解导数概念的实际背景 .2.通过函数图像直观理解导数的几何意义 .3.能根据导数的定义求函数 y C(C 为常数 )， y x， y 1x， y x2， y x3， y x的导数 .4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数 (仅限于形如 f(ax b)的复合函数 )的导数 (对应学生用书第 32 页 ) 基础知识填充 1导数与导数的概念 (1)当 x1趋于 x0，即 x 趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值
2、就是函数 y f(x)在 x0点的瞬时变化率在数学中，称瞬时变化率为函数 y f(x)在 x0点的导数，通常用符号 f( x0)表示， 记作 f( x0) limx1 x0f(x1) f(x0)x1 x0 lim x0f(x0 x) f(x0) x . (2)如果一个函数 f(x)在区间 (a， b)上的每一点 x 处都有导数，导数值记为 f( x)：f( x) lim x0f(x x) f(x) x ，则 f( x)是关于 x 的函数，称 f( x)为 f(x)的导函数，通常也简称为导数 2导数的几何意义 函数 y f(x)在点 x0处的导数的几何意义，就是曲线 y f(x)在点 P(x0，
3、 f(x0)处的切线的斜率 k，即 k f( x0)，切线方程为： y f(x0) f( x0)(x x0) 3基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x) C(C 为常数 ) f( x) 0 f(x) x ( 是实数 ) f( x) x 1 y tan x y 1cos2x y cot x y 1sin2x f(x) ex f( x) ex f(x) ax(a 0， a1) f( x) axln a f(x) ln x f( x) 1x =【 ;精品教育资源文库 】 = f(x) logax (a 0，且 a1) f( x) 1xln a 4.导数的运算法则 (1)f(x) g(x
4、) f( x) g( x)； (2)f(x) g(x) f( x)g(x) f(x)g( x)； (3)? ?f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g (x)g(x)2 (g(x)0) 5复合函数的导数 复合函数 y f( (x)的导数和函数 y f(u)， u (x)的导数间的关系为 yx f( (x) f( u) ( x) 知识拓展 1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数 2.? ?1f(x) f (x)f(x)2(f(x)0) 3 af(x) bg(x) af( x) bg( x) 4函数 y f(x)的导数 f( x)反映了函数 f(x)的瞬时
5、变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小 |f( x)|反映了变化的快慢， |f( x)|越大，曲线在这点处的切线越 “ 陡 ” 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)f( x0)与 f(x0) 表示的意义相同 ( ) (2)f( x0)是导函数 f( x)在 x x0处的函数值 ( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 ( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 ( ) (5)函数 f(x) sin( x)的导数是 f( x) cos x ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 (教材改编
6、)若 f(x) xe x，则 f(1) 等于 ( ) A 0 B e C 2e D e2 C f( x) ex xe x， f(1) 2e. 3有一机器人的运动方程为 s(t) t2 3t(t 是时间， s 是位移 )，则该机器人在时刻 t 2时的瞬时速度为 ( ) A 194 B 174 C 154 D 134 =【 ;精品教育资源文库 】 = D 由题意知，机器人的速度方程为 v(t) s( t) 2t 3t2，故当 t 2 时，机器人的瞬时速度为 v(2) 22 322 134. 4 (2017 全国卷 ) 曲线 y x2 1x在点 (1,2)处的切线方程为 _ x y 1 0 y 2x
7、 1x2， y (1) 1， 即曲线在点 (1,2)处的切线的斜率 k 1， 切线方程为 y 2 x 1， 即 x y 1 0. 5曲线 y ax2 ax 1(a0) 在点 (0,1)处的切线与直线 2x y 1 0垂直，则 a _. 12 y ax2 ax 1， y 2ax a， y (0) a.又 曲线 y ax2 ax 1(a0)在点 (0,1)处的切线与直线 2x y 1 0 垂直， ( a)( 2) 1，即 a 12. (对应学生用书第 33 页 ) 导数的计算 求下列函数的导数： (1)y exln x； (2)y x? ?x2 1x 1x3 ； (3)y x sinx2cosx2
8、； (4)y cos xex . 解 (1)y (ex)ln x ex(ln x) exln x ex 1x ex? ?ln x 1x . (2) y x3 1 1x2， y 3x2 2x3. (3) y x 12sin x， y 1 12cos x. (4)y ? ?cos xex (cos x)ex cos x(ex)(ex)2 =【 ;精品教育资源文库 】 = sin x cos xex . 规律方法 1.求函数导数的一般原则如下 遇到连乘的形式，先展开化为多项式形式，再求导 . 遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导 . 遇到复杂分式，先将分式化简，再求导 . 2.复合函数求导，应先确
9、定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理 . 跟踪训练 (1)f(x) x(2 018 ln x)，若 f( x0) 2 019，则 x0等于 ( ) A e2 B 1 C ln 2 D e (2)已知函数 f(x) axln x， x(0 ， ) ，其中 a 为实数， f( x)为 f(x)的导函数若 f(1) 3，则 a 的值为 _ (1)B (2)3 (1)f( x) 2 018 ln x x 1x 2 019 ln x，故由 f( x0) 2 019，得 2 019 ln x0 2 019，则 ln x0 0，解得 x0 1. (2)f( x) a? ?ln x x 1x a(1
10、 ln x) 由于 f(1) a(1 ln 1) a，又 f(1) 3，所以 a 3. 导数的几何意义 角度 1 求切线方程 (2016 全国卷 ) 已知 f(x)为偶函数，当 x0时， f(x) f( x) ln x 3x，所以 f( x) 1x 3，则 f(1) 2.所以 y f(x)在点 (1， 3)处的切线方程为 y 3 2(x 1)，即 y 2x 1. 角度 2 求切点坐标 若曲线 y xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x y 1 0，则点 P 的坐标是_. 【导学号： 79140071】 (e， e) 由题意得 y ln x x 1x 1 ln x，直线 2x y 1 0
11、 的斜率为 2.设 P(m，n)，则 1 ln m 2，解得 m e，所以 n eln e e，即点 P 的坐标为 (e， e) =【 ;精品教育资源文库 】 = 角度 3 求参数的值 (范围 ) (1)(2017 西宁复习检测 (一 )已知曲 线 y x 1x 1在点 (3,2)处的切线与直线 ax y 1 0 垂直，则 a ( ) A 2 B 2 C 12 D 12 (2)(2018 成都二诊 )若曲线 y ln x ax2(a 为常数 )不存在斜率为负数的切线，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ? ? 12， B ? ? 12， C (0， ) D 0， ) (1)A (2)D (1
12、)由 y 2(x 1)2得曲线在点 (3,2)处的切线斜率为 12，又切线与直线ax y 1 0 垂直，则 a 2，故选 A (2)由题意得 y 1x 2ax(x 0)因为曲线不存在斜率为负数的切线，则 y0恒成立，即 a ? ? 12x2 max.因为 x 0，所以 12x2 0，即 a0 ，故选 D 规 律方法 求函数图像的切线方程的注意事项 首先应判断所给点是不是切点，如果不是，需将切点设出 . 切点既在函数的图像上，也在切线上，可将切点代入两者的解析式建立方程组 . 在切点处的导数值对应切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件 . 曲线上一点处的切线与该曲线并不一定只有一个公共点 . 当
13、曲线 y f x 在点 x0， f x0 处的切线垂直于 x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是 x x0. 跟踪训练 (1)(2017 威海质检 )已知函数 f(x) xln x，若直线 l 过点 (0， 1)，并且与曲线 y f(x)相切，则直线 l 的方程为 ( ) A x y 1 0 B x y 1 0 C x y 1 0 D x y 1 0 (2)已知直线 y x 1 与曲线 y ln(x a)相切，则 a 的值为 ( ) 【导学号： 79140072】 A 1 B 2 C 1 D 2 (3)(2017 天津高考 )已知 a R，设函数 f(x) ax ln x 的图像在点
14、(1， f(1)处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)B (2)B (3)1 (1) 点 (0， 1)不在曲线 f(x) xln x 上， 设切点为 (x0， y0) 又 f( x) 1 ln x， ? y0 x0ln x0，y0 1 (1 ln x0)x0， 解得 x0 1， y0 0. 切点为 (1,0)， f(1) 1 ln 1 1. 直线 l 的方程为 y x 1，即 x y 1 0. (2)设直线 y x 1 与曲线 y ln(x a)的切点为 (x0， y0)，则 y0 1 x0， y0 ln(x0 a) 又由曲线方程知 y 1x a，所以 y( x0) 1x0 a 1，即 x0 a 1. 又 y0 ln(x0 a)，所以 y0 0，则 x0 1，所以 a 2. (3) f( x) a 1x， f(1) a 1. 又 f(1) a， 切线 l 的斜率为 a 1，且过点 (1， a)， 切线 l 的方程为 y a (a 1)(x 1) 令 x 0，得 y 1，故 l 在 y 轴上的截距为 1.
