1、1总复习总复习（2）高等数学高等数学 A(A(一一)2五、五、函数有界、极限、连续与可导的关系函数有界、极限、连续与可导的关系,收敛数列（函数）的性质(唯一性,有界性,保号性),极限不存在极限不存在极限为极限为数列有界数列有界数列无界数列无界数列收敛数列收敛数列发散数列发散无穷大量无穷大量无界变量无界变量3函数在,x0,处极限存在函数在,x0,处有定义函数在,x0,处连续函数在,x0,处可导函数在,x0,处可微)()(lim00 xfxfxx Axfxx)(lim0 xyxfx 00lim)()()(0 xoxxfy 存在存在)(0 xf4.)(),(sin)(cos内是内是在在 xexxxf
2、(A),有界函数(B),单调函数(C),周期函数(D),偶函数D则则为二阶可导的奇函数，为二阶可导的奇函数，设设)(xf._)(函数函数为为xff f,(x),是奇函数，为为偶偶函函数数，)(xf 为为奇奇函函数数，)(xf )(xff)(xff )(xff 奇显显然然是是偶偶函函数数。)(xff 选择与填空选择与填空5下列命题不成立的是（,）.C,.,连续的奇函数的原函数是偶函数；D,.,连续的偶函数的原函数是奇函数。A,.,可导的奇函数的导函数是偶函数；B,.,可导的偶函数的导函数是奇函数；.)()(CxFdxxf 奇偶偶奇D？6下列函数中，是无界函数但不是无穷大量的是,(,),.;1ar
3、ctan)(2xxA 时，时，当当 x;)(4xeBx;)1()(1 xexC.cos)(3xxDD下列命题正确的是,(,),.(A)无界变量就是无穷大量；无界变量就是无穷大量；(B)无穷大量是无穷小量的倒数；无穷大量是无穷小量的倒数；(C)f(x)在点在点 x0 不可导不可导,必在必在 x0 处不连续处不连续;(D)f(x)在在 a,b 连续连续,必在必在 a,b 有界。有界。D7设,f,(x),在,a,b,连续，在,(,a,b),可导，,21bxxa 下列结论不成立的是,(,).),(),()()()(.baabfafbfA ),(),)()()(.1212baxxfxfxfB ),(),
4、()()()(.21xxabfafbfC ),(),)()()(.211212xxxxfxfxfD ),(.21xxB ),(ba),(.baC ),(21xx CA、D,显然成立，8,0,110,cos1)(xxxxxxxf设设则,f,(x),在,x,=,0,处,(,),.(A),极限不存在(B),极限存在但不连续(C),连续但不可导(D),可导xxfx2lim)00(20 =,0)0()00(ff )0(fxxxfx 11lim)0(0.1 C,0 9,0,00,1sin)(xxxxxf 设设若,f,(x),在,x,=,0,处连续,则,_;若,f,(x),在,x,=,0,处可微,则,_。,
5、)0(01sinlim0fxxx 要使要使?0 0 存在，存在，要使要使xxxx0sinlim10?1 1 10设,f,(x),在,x0,处可导，且.)()(,41)()2(lim0000 xfxfhxfhh则则;2)(A;2)(B;4)(C.4)(Dhxfhxfh)()2(1lim000 原式原式)(1210 xf B-2-2,41 24)(0 xf11hhxfh1)1(lim0 设,f,(x),在,x,=,x0,处可微,且,0)(0 xf._)1(lim,1)(00 hxfhxfh则则)1(lim0hxfhh )(0 xf 1)(0 xf .1 ”“0 0 12设,f,(x),在,x,=,
6、0,的某邻域内二阶可导，),0(),0(,0)(lim,2)0(0ffxxffx 试求试求.)(1(lim10 xxxxf 及及解：,0)(lim0 xxfx0)(lim0 xfx)0lim(0 xx处可导处可导在在0)(xxf处连续，处连续，在在0)(xxf)0()(lim0fxfx=,0,；0)0()(lim)0(0 xfxffxxxfx)(lim0=,0,；13设,f,(x),在,x,=,0,的某邻域内二阶可导，),0(),0(,0)(lim,2)0(0ffxxffx 试求试求.)(1(lim10 xxxxf 及及xxxxf10)(1(lim”“1)(0)(1(limxfxxxxf 2)
7、(xxf=,exxfx2)(lim0 是否连续？是否连续？)(xf xxfxe)(lim210 )0(f 0)0(21fe =,e,.14函数的增减性与单调区间,函数的凹凸区间与拐点,及其判别函数的极值及其判别条件求函数的最大值与最小值作函数的图形，求渐近线,曲线的切线方程与法线方程 六、六、导数的应用导数的应用最值的应用15用使得用使得(尖点尖点)来划分函数的定义区间，讨论来划分函数的定义区间，讨论各区间上各区间上的符号，的符号，)(xf 来确定来确定 f(x)在各在各区间上的单调增减性。区间上的单调增减性。不存在的点不存在的点)(xf 的点的点0)(xf及及,第二充分条件,利用,第一充分条
8、件，,在上述所分区间上，判断函数的极值点，并求出极值。求函数的单调区间：,(注意取得极值的必要条件)求函数的极值：16不不存存在在的的点点或或求求出出)(0)(xfxf 坐标为,(,x0,y0,)。)(0点附近是否变号点附近是否变号在在即看即看xxf ,求函数的凹凸区间与拐点：,来划分函数的定义区间，讨论各区间上的符号，的符号，)(xf 确定,f,(x),在各区间上的凹凸性,求函数的最大值与最小值：求出函数驻点(或导数不存在的点)处与端点处函数值比较,最大者为最大值，最小者为最小值。,对综合情况，列表讨论！的函数值，凹弧与凸弧的分界点为拐点，17,驻点与极值点的关系驻点,x00)(0 xf极值
9、点可导函数的极值点极值点与最值点的关系极值点最值点18例题讨论例题讨论一、选择题1.,下列结论中正确的是（,）A,.,000,0)()(xxxfxf 则不能断定则不能断定若若是函数的极值点。B,.,若,x,=,x0,是函数,f,(x),的极值点,.0)(0 xf则则C,.,函数,f,(x),在区间,(a,b),内的极大值,一定大于极小值。D,.,0000)(,0)(xxfxf的点的点使使 是函数,f,(x),的极大值点。C19满足罗尔定理条件的是满足罗尔定理条件的是().3.下列函数中，在下列函数中，在 -1,1 上上;)(.xexfA;ln)(.xxfB;arcsin)(.xxfC.11)(
10、.2xxfD C).(,)(.20则必有则必有处取到极大值处取到极大值在在设设xxf;0)(.0 xfA;0)(.0 xfC;0)(.0或不存在或不存在 xfB.0)(0)(.00 xfxfD且且B20).(,1)()()(lim.42处处则在则在设设axaxafxfax ;0)()()(afxfA的导数存在，且的导数存在，且;)()(取得极大值取得极大值xfB;)()(取得极小值取得极小值xfC。不存在不存在)()(xfD 即在,x,=,a,的某领域内，,0)()()(2 axafxf有有由极限的保号性，,)()(afxf。为极大值为极大值)(afB212,.,1212xxy 设设则它在点,
11、x,=,_,处有极,_,值，其值为,_,。2大5232)1(2xxy 3,.,ln2xxy 设设最大值,=,_，上的上的则它在则它在1,1e最小值,=,_。0)1(feef21)1(xxxy ln2=,0.,021 ex22)(xfy 曲线：曲线：在,x0,处的切线方程：)()(0 xfxf)(0 xf )(0 xx 在,x0,处的法线方程：)()(0 xfxf)(10 xf )(0 xx )0)(0 xf 曲线的切线方程与法线方程曲线的切线方程与法线方程23的的对对应应点点在在求求曲曲线线0010)1(tyetxtxy处的切线方程。解：参数方程中含有隐函数，方程两边对,t,求导：0)1(xt
12、xx;11txx 0 yyeteyy;1yye tey ttxyxdyd .)1)(1()1(xetteyy,t,=,0,时，1,0 yx.10 exdydt切切线线方方程程：.11 xey求切线斜率,dxdytt24将边长为,l,的正三角形铁皮的三只角剪掉，做成如图的三个全等四边形后，将边折起，做成一个无盖正三棱柱盒子，当剪去的,x,为何值时，盒子的容积最大？xABCDl设三棱柱的高为,h,解：ADh 260tan0 x,3x 0260sin)2(21xlS 函数最值问题的应用函数最值问题的应用25ADh ,3x 0260sin)2(21xlS 2)2(43xl 目标函数2)2(41xlxS
13、hV )20(lx )6)(2(41lxlxV 0 V令令2lx ,D 舍去；6lx 为D内唯一驻点，问题中存在最大值，时盒子容积最大。时盒子容积最大。6lx 26已知一点,(x0,y0),)0,0(yx过此点作一直线，使它在两坐标轴上的,截距都为正，且使截距之和为最小，求此直线方程,。解：设所求直线)(00 xxyy k求截距：00 xkyxky 1 xy00 xky kxky00 与,x,轴的截距,X,=000 kyxk与,y,轴的截距,Y,=000 xkyYXF 目标函数目标函数kyx00 00 xky 27YXF )(目标函数目标函数kyx00 00 xky ,0,000 yx,0,0
14、 YX要使要使.0 kk )(kF20ky0 x,2020kxky 0)(kF令令,00 xyk 00 xyk取取 为D内唯一驻点，,230 kyF又又)(00 xyF ,0，且为最小值点；,所求直线方程：)(00 xxyy 00 xy28求单位球内接正圆锥体的最大体积。作切线，使此切线被两坐标轴所截的线段作切线，使此切线被两坐标轴所截的线段长度为最短，并求此最短长度。长度为最短，并求此最短长度。处处上的任意点上的任意点在曲线在曲线Pxxy)0(12 解：设,P(x0,y0),xy0Px032xy 则,P点处切线方程：)(20300 xxxyy (,复习一下物体的面积、体积公式等,)98 级级
15、 考题中：考题中：29xy0Px0)(20300 xxxyy P点处切线方程：12210200300 yxyyxxxl线段长度030021yxxx 截距截距,230 x)1(200 xy 0202yxy 203x 0203022yxyxx 22yxl xy302220)(yxlxF 作作,230 xx 截距截距203xy )14(94020 xx )0(0 x)42(9)(5000 xxxF 0)(0 xF令令5060829xx 02)(8332060 xx20 x舍去）舍去）（,20Dx 为唯一驻点，问题中存在最小值，),21,2(P所求所求最短长度.233427 l31,函数的性态与作图作
16、图步骤：1,7考察函数的定义域与奇偶性函数的一阶与二阶导数必须求准把驻点等代入相应导数中判断符号判断有无渐近线拐点要用点的坐标表示321,.,零点定理（证明方程根的存在性）2,.,介值定理4,.,罗尔定理（证明导函数的零点存在）5,.,拉格朗日(Lagrange)中值定理（导数与增量比的关系，证明不等式）3,.,最大最小值定理 七、七、利用定理进行证明利用定理进行证明6,.,利用函数单调性证明不等式7,.,泰勒公式33,L,定理的条件与结论：使使至少至少),(ba 内内可可导导，在在连连续续上上在在)(,)(babaxf)()()(abfafbf 及其它定理的条件与结论,知道：泰勒公式的展开式
17、及余项的形式。罗尔定理)()()(faxafxf 使使至少至少),(),(baxa axaf lim)(a lim闭区间上连续函数的性质,(条件与结论)34证明函数证明函数可微性可微性的主要方法：的主要方法：利用函数的连续性找利用函数的连续性找 f(x0)利用导数的定义利用导数的定义利用利用 L 中值定理中值定理利用函数极限与无穷小的关系利用函数极限与无穷小的关系35无穷小与函数极限的关系Axf)(lim.0lim,)(AxfAxyx 0lim.0lim,Axy )(0 xf )(0 xf36证明证明不等式不等式的常用方法：的常用方法：作出适当的函数作出适当的函数 利用函数的单调性利用函数的单
18、调性 求出函数的最值（当函数不单调时）求出函数的最值（当函数不单调时）利用利用 L中值定理中值定理 （当不等式有增量形式时）（当不等式有增量形式时）利用泰勒公式利用泰勒公式37证明证明恒等式恒等式的常用方法：的常用方法：利用罗尔定理（要验证条件）利用罗尔定理（要验证条件）利用利用 L 中值定理中值定理 利用利用 L 中值定理的推论：中值定理的推论：Cxfxf )(0)(无具体函数时，从结论出发找,辅助函数,F(x),。38 证明方程证明方程 f(x)=0 有根有根证明方程证明方程根根的的存在性存在性与与唯一性唯一性：零点定理 证明方程,f,(x),=,0,有根罗尔定理 证明方程,根的唯一性,利
19、用函数的单调性,利用罗尔定理反证39存在，存在，处连续，且处连续，且在在设设xxfxxfx)(lim0)(0 处可微。处可微。在在证明证明0)(xxf证：,)(lim0Axxfx 设设.)0()(lim0fxfx xxxfx )(lim0处连续，处连续，在在0)(xxf)(lim0 xfx=,A,0,=,0,).0(f 0)0()(lim)0(0 xfxffx,)(lim0Axxfx 处可微。处可微。在在即即0)(xxf40证：2111)1(ln)(xxxf 单增单增)(xf)0()(fxf).0(arctan)1(ln)1(:xxxx证证明明,arctan)1(ln)1()(xxxxf 令令
20、)0(x)0()(fxff 单增，单增，,0=,0,，.arctan)1(ln)1(xxx 得证。证明不等式,0)1(211)(22 xxxxf0 41证一：xxfln)(令令.11x .0,11)11(ln:xxx证证明明,ln)1ln()11(lnxxx 使使,1 xx 得证。由,L定理 1ln)1ln(xx定理，定理，满足满足在在Lxx1,)11(lnx42证二：.0,11)11(ln:xxx证证明明,11)11(ln)(xxxf 令令2)1(1111)(xxxxf 2)1(1xx ,0 单减，单减，在在),0()(xf?,0 x)(limxfx11)11(lnlimxxx =,0,)(
21、)(fxf.)0(,11)11(ln xxx即即?)0()(fxf,0)(xf43设,f,(x),在,0,c,连续，在,(,0,c),可导，单减，证明不等式单减，证明不等式在在且且),0()(,0)0(cxff ,)()()(bfafbaf .0cbaba ,)()()(xfafxaf ,0)()()(bfafbaf.0)0(F则则.)0()(FxF 只需证只需证)(xF令令44设设 f(x)在在 0,1 连续，在连续，在(0,1)可导，可导，,1)21(,0)1()0(fff且且;)(),1,21()1(f使使存在存在证明：使使存在存在对任意实数对任意实数),0(,)2(k.1)()(fkf
22、证:(1),)()(xxfxF 令令且在,0,1,连续，1)1()1(fF,01 21)21()21(fF,021 由介值定理，,0)(),1,21(F使使.)(f即即若由此证明？使使1)(),1,0(f45设,f,(x),在,0,1,连续，在,(,0,1),可导，,1)21(,0)1()0(fff且且;)(),1,21()1(f使使存在存在证明：使使存在存在对任意实数对任意实数),0(,)2(k.1)()(fkf)(1)(xxfkxf (2)分析：)()(xxfexkx )(xFekx )()(xxfekxkx 1)(xfekx )(x.)(xexk 46设,f,(x),在,0,1,连续，在
23、,(,0,1),可导，,1)21(,0)1()0(fff且且;)(),1,21()1(f使使存在存在证明：使使存在存在对任意实数对任意实数),0(,)2(k.1)()(fkf(2)解：)()(xxfexkx 令令)(xFekx )()(fekk,01)(fek且在,0,1,连续,在,(,0,1),可导，0)0(F)(F 由罗尔定理，使使),0(.1)()(fkf),(0)0(470)()(ff结论中)()(xfxfx .)()(xfxxF)()()(1xfxfxF 0)()(ff.)()(xfexFx)()()(1xfxfxF .)()(xfexFx 0)()(ff0)()(ff)()(xfx
24、f .)(21)(2xfxF)()(xfdxf 0)()(ff)()()(xfxfxxF 2x.)()(xxfxF)()(ff )()(xfxf .)(ln)(xfxF )(xF)()(xfxfd 48设f,(x)在,0,1连续,在(,0,1)可微，且f,(0)=,0,证明如果,f,(x),在,0,1上不恒等于零，.0)()(,1)0(ff使使，则必有则必有证：由结论，)()(2xfxF 设设且在(,0,1)可导，,0)(xf,0)(,)1,0(00 xfx使使.0)()(020 xfxF即有即有又,F(x),在,0,x0,上满足,L,定理，使使,),0(0 x 0)0()()(00 xFxF
25、F )()(2 ff00)(xxF.0.0)()(ff49.)(,0)(,1)(lim0 xxfxfxxfx 证明证明且且设设泰勒公式泰勒公式200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf 30)(!3)(xxf 2!2)()0()0()(xfxffxf xxffx)(lim)0(0 =,1,，证：0)(lim0 xfx)0lim(0 xx,1)(lim0 xxfx连续，连续，)(xf,0)0(f)0(之间之间与与在在x)0(之间之间与与在在x=,0,+,x,2!2)(xf .x)0!2)(2 xf 50.)(,0)(,1)(lim0 xxfxfxxfx 证明证明且且设设xxffx)(lim)0(0 =,1,，证二：0)(lim0 xfx)0lim(0 xx,1)(lim0 xxfx连续，连续，)(xf,0)0(f,x,=,0,为极小值点，,)()(xxfxF 设设.0 x0,1)()(xfxF01)()(xfxF令令)()(xfxF ,0)0(F即有即有)0()(FxF 0)0(f=,0,.0)(xxf.)(xxf 51认真复习认真复习善于总结动笔计算5253祝同学们祝同学们,顺利愉快地,进入第二学期！
