1、运用导数研究函数一、导数的简单应用一、导数的简单应用二、函数的单调性二、函数的单调性三、函数极值三、函数极值四、函数的最大值、最小值四、函数的最大值、最小值五、函数的凹凸性五、函数的凹凸性由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道:,)(则内可导在区间若函数Ixf 0)(xf)(Ixf 0)(xf)(Ixf .)(0)(单调性的分界点的点可以作为函数xfxf )(不存在的点也可作为使得函数的导数xf .函数单调性的分界点.82 的单调性讨论xxy),0()0 ,(:定义域282xy)4(222xx得令,0 y,2 ,221xxxyy)2,(20),2(02),0(
2、2),2(00例1解xxy82 ,函数综上所述 )(2,)2,(；内单调增加在 .)2 ,0(,)0 ,2(内单调减少在 满足条件：设)(xf;0)0(,),0()()1(fCxf,)(,),0()()2(),0(xfxf且内可导在.)()(:),0(xxfxg证明例3证 ,上满足在由,0)(),0(xtfx)0)()0()(xffxf得由 ,0)0(f,)(0 ,)()(xxfxf ,)(),0(xf又,)()(,xxfxf从而,0)()()(2xxfxxfxg于是.)(,),0(xgx得的任意性故由 故有定理条件，L.)3(是单调减少的数列证明：nnxnn,),3 ,)(1xxxfx令21
3、ln1)(xxxxfx,3 时当 x,0)(xf,)(),3xf故 .)3(,:nxn由此可得利用函数处理数列例4证函数的极值是个局部性的概念.的大小与内比较在)()()(00 xfxfxN我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式:极值点可能可导，也可能不可导导数等于零的点有可能是极值点不可导的点也可能是极值点Oxy0 x0 x0 x极大点极大点不是极值点Oxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 x不是极值点Oxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 x极大点不是极值点Oxy0 x0 x0 x,0内可微在设)()()(00 xNxNCxf,)(0的极值可疑点为点xfx;0)(,)1(0
4、xfxx时若,0)(,0 xfxx时.)(,)(00为极大值的极大点为则xfxfx;0)(,)2(0 xfxx时若,0)(,0 xfxx时.)(,)(00为极小值的极小点为则xfxfx(单调增加)(单调减少)(单调减少)(单调增加)定理.)1()(322的极值求 xxf,),()(xxf的定义域：3312)1)(1(342)1(32)(xxxxxxf,0 ,0)(xxf得驻点令,)(,1 ,1 不存在时又xfxx .1 ,0 ,1 xxx极值可疑点为故列表讨论单调性,判别极值:例5解xyy)1,(1)0 ,1(0)1 ,0(1),1(极小极小极大0)2(f0)5.0(f0)5.0(f0)2(f
5、的极小点为：)(xf;1 ,1xx极小值为：.0)1(,0)1(ff的极大点为：)(xf;0 x极大值为：.1)0(f自己总结求极值的步骤0 N 则阶导数内有直到在设,)1()()(0nxxf.,0会是驻点如果 x :回忆泰勒公式)(o)(!2)()()(202000 xxxxxfxfxf,有二阶导数在设00)()(xxNCxf则即的驻点为且 ,)(0)()(00 xfxfx;,的极大点为时)(0)()1(00 xfxxf;,的极小点为时)(0)()2(00 xfxxf .,的极值点是否为不能判定时)(0)()3(00 xfxxf 定理,阶导数处有在设nxxNCxf00)()(,0)()()(
6、0)1(00 xfxfxfn若 ,0)(0)(则xfn ;)(,)1 (0的极值点不是为奇数时当xfxn )(,)2(0：的极值点是为偶数时当xfxn ;,0)(00)(为极小点时xxfn .,0)(00)(为极大点时xxfn定理.12)(3的极值求xxxf,),()(xxf的定义域：123)(2xxf)2)(2(3xx0)(xf令,2 ,2 xx驻点,6)(xxf 又,012)2(f,16)2(,2 fx极大值为极大点故,012)2(f,16)2(,2fx极小值为极小点例6解.1)1()(32的极值求 xxf,),()(xxf的定义域：22)1(6)(xxxf得驻点令 ,0)(xf,1 ,0
7、 ,1xxx1)(5)1(6)(22 xxxf又,06)0(f,)(0 的极小点是xfx.0)0(f极小值,0)1(,0)1(ff而怎么办？例7解)3(5 24)(2xxxf,48)1(f,48)1(f .1 ,1 不是函数的极值点故xx综上所述综上所述,)(0的极小点是xfx.0)0(f极小值 1 )(处在该题也可通过讨论函数xxf .左右两边的单调性来做Oxy11在工程技术和生产实践中,常常需要考虑在一定条件下,怎样才能使用料最少、费用最省,而效率和效益最高等问题.这些问题反映到数学上就是最优化问题.优化技术应用价值很大 怎样求函数在一个区间上 的最大、最小值呢？,)()1(,baxf若,
8、)(为最大值则 bf.)(为最小值af,)()2(,baxf若,)(为最大值则af.)(为最小值bf极大极大(小小)值点值点,则该点就是函数的最大则该点就是函数的最大(小小)值点值点.实际问题连续函数一般最值问题 .2 5 上的最大和最小值在求,22)(24xxxfxxxf44)(3)1)(1(4xxx ,0)(xf令:得极值可疑点)(,驻点101xxx计算函数值计算函数值:;,4)1(5)0(4)1(fff ,13)2(13)2(ff(端点值)例8解 :2 ,上的最大值和最小值为在故2)(xf .,:22xx最大值点为.,:11xx最小值点为用薄铁片冲制圆柱形无盖容器用薄铁片冲制圆柱形无盖容
9、器,要求要求它的容积一定它的容积一定,问应如何选择它的半径和问应如何选择它的半径和高度才能使用料最省高度才能使用料最省?设容积设容积(体积体积)为为 V,半径为半径为 r,高为高为 h.用料最省即指容器的表面积用料最省即指容器的表面积 A 最小最小.2 2hrrA故hrV22rVhrVr22得令 ,022dd 2rVrrA,3Vr 应用题例8解 ,3的最小点为所以AVr ,3的唯一极值可疑点是因为AVr又又 A 的最小值一定存在的最小值一定存在,故当要求的容器的容积为故当要求的容器的容积为 A 时时,选择半径选择半径 ,3Vr .3可使用料最省高Vh .06)42(dd33322VrVrrVr
10、A事实上 如果不放心,可用二阶导数进行判断.,1 ,10 时当证明：px .1)1(211pppxx,1 ,0 ,)1()(xxxxfpp记,0)1()(11ppxppxxf令,21 x得驻点xyy)1/2 ,0()1 ,2/1(极小0例112/1121)2/1(1)1(1)0(pfff ,121minpf,时故当110px.1)1(21 1pppxx即1maxf利用导数的性质证明不等式是一种常用的技巧,它包含以下几个部分:利用微分中值定理利用泰勒公式(二阶以上的)利用函数的单调性利用函数的极值和最值某出版社出版一种书,印刷 x 册所需 成本为)(525000元xy每册售价 p 与间有经验公式
11、 x)301(61000px假设书可全部售出,问应将价格 p 定为多少才能使出版社获利最大？则表示获利以,QyxpQ由经验公式,得20030 xp于是)5(25000)20030(xxxQ 05200)20030(xxQ令得唯一极值可疑点 ,)(2500 册x解,1001 Q又 ,2500 为极大点故x即为 Q 的最大点.从而应将价格 p 定为)(5.17200250030)20030(2500元xxp此时最大获利为2500max)525000()20030(xxxxQ)(6250 元将一根直径为 d 的圆木锯成截面为矩形的梁.问应如何选择矩形截面的高 h 和宽 b才能使梁的抗弯截面模量 W 最大？dhb由力学知识,梁的抗弯截面模量为261hbW 由右图可以看出：.),0(222dhbbdh备用2解问题归结为求函数 W 的最大值：.)(6122bdbW .31 ,0)3(61 22dbbdW得驻点令由于梁的最大抗弯截面模量一定存在,故当,31 db ,32 时dh 梁的抗弯截面模量最大.1:2:3:,bhd此时唯一的一个
