1、二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。I. 寻找有棱二面角的平面角的方法 ( 定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法 )一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要
2、注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。例 空间三条射线 CA、CP、CB，PCA=PCB=60o，ACB=90o，求二面角 B-PC-A 的大小。PDA EC BF解：过 PC 上的点 D 分别作 DEAC 于 E，DFBC 于 F，连 E F.EDF 为二面角 B-PC-A 的平面角，设 CD=a，PCA=PCB=600，CE=CF=2a，DE=DF= 3a ，又ACB=900，EF=2 2a ，EDF=3a2+3a2-23a28a2=131 / 6二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。例 在四棱锥 P-ABCD 中
3、，ABCD 是平行四边形，PA平面 ABCD，PA=AB=a，ABC=30，求二面角 P-BC-A 的大小。解：如图，PA平面 BD，过 A 作 AHBC 于 H，连结 PH，则 PHBC又 AHBC，故PHA 是二面角 P-BC-A 的平面角。Lp在 RtABH 中，AH=ABsinABC=aSin30=a ；2a在 RtPHA 中 ， tanPHA=PA/AH= = 2 ， 则aADB H C 2PHA=arctan2.三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。例 在四棱锥 P-ABCD 中
4、 ，ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，PA=AB=a，求 B-PC-D 的大小。P解：（垂面法）如图，PA平面 BD BDACH BDBC 过 BD 作平面 BDHPC 于 H PCDH、BHD AjBHD 为二面角 B-PC-D 的平面角。B C因 PB= 2 a,BC=a,PC= 3 a,12PBBC=SPBC=12PCBH 则 BH=a =DH，3又 BD= 2a 在BHD 中由余弦定理，得：cosBHD2 2 6 62( )a + a - 2a 2 2 2 3 3 1BH + DH - BD = = -2BH BD 6 6 2 2 a a3 3，又 0BHD2 / 6 ，则BHD
5、=2p ，二面角 B-PC-D 的大小是 2p 。3 3II. 寻找无棱二面角的平面角的方法 ( 射影面积法、平移或延长(展)线(面)法 )四、射影面积法：利用面积射影公式 S 射S 原 cosq ,其中q 为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角。例 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，PAABa，求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。PAD PA 解：（面积法）如图， 于 ，AD AB AD PBA APA AB = AIA D同时，BC平面 BPA 于 B ，故PBA 是PCD 在平面PBA 上的射影B Cl设平面 PBA 与平面 PDC
6、所成二面角大小为，则 cos=sDPBASDPCD2= =452五、平移或延长（展）线（面）法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。例 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，PAABa，求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。（补形化为定义法）解 ：（补形化为定义法）如图，将四棱锥 P-ABCD 补形得正方体 NPABCD-PQMN，Q M3 / 6A DB OB则 PQPA、PD，于是APD 是两面所成二面角的平面角。在 RtPAD 中，PA=AD，则APD=45。即平面 BAP 与平
7、面 PDC 所成二面角的大小为 45六、向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。 例（2009 天津卷理）如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD,AD/BC/FE，AB AD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD。,(I)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(II) 证明平面 AMD 平面 CDE；(III)求二面角 A-CD-E 的余弦值。解：如图所示，建立空间直角坐标
8、系，以点 A 为坐标原点。设 AB = 1，依题意得 1，1 B(1，0，0)，C(1，1，0)， D(0，2，0)， E(0，1，1)， F(0，0，1)， .M 1 2 2（I）解 ：BF = (-1，0，1)， DE = (0，-1，1)，BF DE 0 + 0 +1于是cos BF，DE = = =2 2BF DE1 2.所以异面直线BF与DE 所成的角的大小为600 . 1 1 （ II ） 证 明 ： 由AM ， ， CE = (-1，0，1)，= 1 2 2AD = (0，2，0)，可得CE AM = 0 ，CE = 因此， ， 又 I = ，故 平面AD 0. CE AM CE
9、 AD. AM AD A CE AMD.4 / 6而CE 平面CDE，所以平面AMD 平面CDE.（ III ）解：设平面CDE的法向量为u =u(x，y，z)，则uCEDE=0，0.- x + z = 0，于是 令x = 1，可得u =- y + z = 0.(1，1，1）.又由题设，平面 ACD 的一个法向量为v = (0，0，1).18.（2008 湖北）如图，在直三棱柱ABC - A B C 中，平面 ABC 1 1 1侧面A ABB .1 1(I) 求证： AB BC ；(II) 若直线 AC 与平面 小为j ，A BC 所成的角为q ,二面角1A - BC - A 的大1试判断q
10、与j 的大小关系，并予以证明.分析：由已知条件可知：平面 ABB1 A1平面 BCC1 B1平面 ABC 于是很容易想到以 B 点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的 向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。a（答案：f ，且= arcsina + c2 2ac a ）,b a +c a +c2 2 2 2由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下：分析：所求二面角与底面 ABC 所在的位置无关，故不妨利用定义求解。略解：在二面角的棱 PB 上任取一点 Q，在半平面 PBA 和半平面 PBC 上作5 / 6QM PB，QN PB，则由定义可得 MQ
11、N 即为二面角的平面角。设 PM=a,则在RtD PQM 和 RtD PQN 中可求得 QM=QN=3 a；又由D PQN D PQM 得 PN=a,故在正2三角形 PMN 中 MN=a,在三角形 MQN 中由余弦定理得 cos MQN=1 ，即二面角3的余弦值为1 。3因为 AB=AD=a，PA AB PA AD PB PD =AB AD a= = ，PB = PD BC DC PBD PDC= D DPC PC= 。过 B 作 BHPC 于 H，连结 DH DHPC 故BHD 为二面角 B-PC-D的平面角。因 PB= 2 a,BC=a,PC= 3 a,12PBBC=SPBC=12PCBH，则 BH=a =DH3又 BD= 2a 。在BHD 中由余弦定理，得：cosBHD2 2 6 62( )a + a - 2a 2 2 2 3 3 1BH + DH - BD = = -2BH BD 6 6 2 2 a a3 3，又 0BHD则BHD=2p ，二面角 B-PC-D 的大小是 2p 。3 36 / 6
