1、信号与系统信号与系统陈义华 本课程是是本科电子信息工程专业一门重要本课程是是本科电子信息工程专业一门重要的专业基础课程，是联系公共基础课程与专业课的专业基础课程，是联系公共基础课程与专业课程的一个重要桥梁。程的一个重要桥梁。本课程是应用数学知识进行工程分析的一门本课程是应用数学知识进行工程分析的一门课程，有着很强的数学背景，涉及到线性微分方课程，有着很强的数学背景，涉及到线性微分方程、复变函数、积分变换、离散数学等数学知识。程、复变函数、积分变换、离散数学等数学知识。该课程是研究信号与系统的基本概念和基本该课程是研究信号与系统的基本概念和基本分析方法，其理论已广泛应用到电子、通信、信分析方法，
2、其理论已广泛应用到电子、通信、信号处理和自动控制等各个学科领域，是通信原理、号处理和自动控制等各个学科领域，是通信原理、数字信号处理、高频电路、图象处理、网络理论、数字信号处理、高频电路、图象处理、网络理论、控制理论等专业课程的基础课，也是这些学科研控制理论等专业课程的基础课，也是这些学科研究生入学考试的一门重要课程。究生入学考试的一门重要课程。课程特点课程特点三条主线贯穿始终：三条主线贯穿始终：1 1、基本信号及其响应；、基本信号及其响应；2 2、信号的分解；、信号的分解；3 3、LTILTI系统分析方法。系统分析方法。参考书：参考书：吴大正主编吴大正主编 信号与线性系统信号与线性系统 高等
3、教育出版社高等教育出版社郑君里主编郑君里主编 信号与系统信号与系统 高等教育出版社高等教育出版社陈后金主编陈后金主编 信号与系统信号与系统 高等教育出版社高等教育出版社 注重物理概念与数学分析之间的对照，不要盲目计注重物理概念与数学分析之间的对照，不要盲目计算；算；注意分析结果的物理解释，各种参量变动时的物理注意分析结果的物理解释，各种参量变动时的物理意义意义 及及 其产生的后果；其产生的后果；同一问题可有多种解法，应寻找最简单、最合理的同一问题可有多种解法，应寻找最简单、最合理的解法解法 比较各方法之优劣；比较各方法之优劣；需要需要长时间反复学习本课程的基本概念。长时间反复学习本课程的基本概
4、念。学习方法学习方法本章主要内容本章主要内容 1.1 信号与系统 一、信号的概念 二、系统的概念 1.2 信号的描述与分类 一、信号的描述 二、信号的分类第一章第一章 绪论绪论 1.3 系统的描述与分类 一、连续时间系统及其描述 二、离散时间系统及其描述时间变换 1.4 LTI系统的特点 1.5 LTI系统分析方法概述1.1 信号与系统 一、信号的概念一、信号的概念 1.消息消息 人们常常把来自外界的各种报道统称为人们常常把来自外界的各种报道统称为消息消息。（感觉、思想、意见等）（感觉、思想、意见等）2.信息信息 通常把消息中有意义的内容称为通常把消息中有意义的内容称为信息信息。本课程中对本课
5、程中对“信息信息”和和“消息消息”两词不加严两词不加严格区分。格区分。信号信号是信息的载体。通过信号传递信息。是信息的载体。通过信号传递信息。信号我们并不陌生，如铃声信号我们并不陌生，如铃声声信号声信号，表，表示该上课了；示该上课了；十字路口的红绿灯十字路口的红绿灯光信号光信号，指挥交通；，指挥交通；电视机天线接受的电视信息电视机天线接受的电视信息电信号电信号；广告牌上的文字、图象信号等等。广告牌上的文字、图象信号等等。为了有效地传播和利用信息，常常需要将为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号。信息转换成便于传输和处理的信号。3.信号信号 一般而言，一般而言，系统系
6、统(system)是指若干相互关联的事物是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。组合而成具有特定功能的整体。如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。样的物理装置常称为系统。系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将系统的基本
7、作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。其转换为所需要的输出信号。二、系统的概念二、系统的概念通信系统通信系统为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）。为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）。发送发送设备设备信息源信息源发送端发送端接收端接收端消息消息信号信号信号信号消息消息信宿信宿信道信道接收接收设备设备噪声源噪声源电路与系统电路与系统 一、信号的描述一、信号的描述 信号信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。位置变化的物理量。信号信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们可按物理属性分：电信号和非电信
8、号。它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。处理。本课程讨论电信号本课程讨论电信号-简称简称“信号信号”。电信号的基本形式电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。：随时间变化的电压或电流。描述信号的常用方法描述信号的常用方法（1）表示为时间的函数）表示为时间的函数 （2）信号的图形表示）信号的图形表示-波形波形“信号信号”与与“函数函数”两词常相互通用。两词常相互通用。1.2 信号的描述和分类二、信号的分类 1.确定信号和随机信号确定信号和随机信号 可以用确定时间函数表示的信号，称为可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号确定信号或或
9、规则信号规则信号。如正弦信号。如正弦信号。若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为随机信随机信号号或或不确定信号不确定信号。电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号就是两种电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号就是两种典型的随机信号。典型的随机信号。研究确定信号是研究随机信号的基础。研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程只讨论确定信号。本课程只讨论确定信号。确定信号与随机信号波形确定信号与
10、随机信号波形 在连续的时间范围内在连续的时间范围内(-t）有定义的信号称）有定义的信号称为为连续时间信号连续时间信号，简称，简称连续信号连续信号。这里的这里的“连续连续”指函数的定义域指函数的定义域时间是连续的，时间是连续的，但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。时间和幅值都为连续的信号称为时间和幅值都为连续的信号称为模拟信号模拟信号。2.连续信号和离散信号连续信号和离散信号根据信号根据信号定义域的定义域的特点可分为特点可分为连续时间信号连续时间信号和离散和离散时间信号时间信号。离散时间信号离散时间信号 仅在一些仅在一些离散的瞬间才有定义离散的瞬间才有
11、定义的信号称为的信号称为离散时间离散时间信号信号，简称，简称离散信号离散信号。若幅值也离散就为。若幅值也离散就为数字信号数字信号。这里的这里的“离散离散”指信号的定义域指信号的定义域时间是离散的，时间是离散的，它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余无定它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余无定义。义。如右图的如右图的f(t)仅在一些离散时刻仅在一些离散时刻tn(n=0,1,2,)才有定义，其余时间无定义。才有定义，其余时间无定义。相邻离散点的间隔相邻离散点的间隔Tn=tn+1-tn可可以相等也可不等。通常取等间隔以相等也可不等。通常取等间隔T，离散信号可表示为离散信号可表示为f(nT)，简
12、写为，简写为f(n)，这种，这种等间隔的离散信号等间隔的离散信号也常也常称为称为序列序列。其中。其中n称为称为序号序号。上述离散信号可简画为上述离散信号可简画为 用表达式可写为用表达式可写为或写为或写为f(n)=，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，通常将对应某序号通常将对应某序号m的序列值称为第的序列值称为第m个样点的个样点的“样样值值”。3.周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号 周期信号周期信号(period signal)是定义在是定义在(-，)区间，区间，每隔一定时间每隔一定时间T(或整数或整数N），按相同规律重复变化），按相同规律重复变化的信号。的信号。连续周期信号连续周期信号
13、f(t)满足满足f(t)=f(t+mT)，m=0,1,2,离散周期信号离散周期信号f(n)满足满足f(n)=f(n+mN)，m=0,1,2,满足上述关系的最小满足上述关系的最小T(或整数或整数N)称为该信号的称为该信号的周周期期。不具有周期性的信号称为不具有周期性的信号称为非周期信号非周期信号。解：解：两个周期信号两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为的周期分别为T1和和T2，若，若T1/T2为有理数之比，则其和信号为有理数之比，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期仍然是周期信号，其周期为信号，其周期为T1和和T2的最小公倍数。的最小公倍数。（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别
14、为是周期信号，其角频率和周期分别为 1=2 rad/s，T1=2/1=s cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为是周期信号，其角频率和周期分别为 2=3 rad/s，T2=2/2=(2/3)s 由于由于T1/T2=3/2为有理数，故为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为周期信号，其周期为为T1和和T2的最小公倍数的最小公倍数2。（2）cos2t 和和sint的周期分别为的周期分别为T1=s，T2=2 s，由于由于T1/T2为无理数，故为无理数，故f2(t)为非周期信号。为非周期信号。例例1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1
15、）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sint解解:f(n)=sin(n)=sin(n+2m)，m=0,1,2,例例2 判断正弦序列判断正弦序列f(n)=sin(n)是否为周期信号，若是否为周期信号，若是，确定其周期。是，确定其周期。式中式中称为正弦序列的数字角频率，单位：称为正弦序列的数字角频率，单位：rad。由上式可见：由上式可见：当当2/为整数时为整数时，正弦序列周期，正弦序列周期N=2/。当当2/为有理数时为有理数时，正弦序列仍具有周期性，但其，正弦序列仍具有周期性，但其周期为周期为N=M(2/)，M取使取使N为整数的最小整数。为整数的最小整数。当当2/为无
16、理数时为无理数时，正弦序列为非周期序列。，正弦序列为非周期序列。)(sin)2(sinmNnmn 解解（1）sin(2n)的数字角频率为的数字角频率为1=2 rad；由于；由于2/1=为无理数，故为无理数，故f2(n)=sin(2n)为非周期序列。为非周期序列。（2）sin(3n/4)和和cos(0.5n)的数字角频率分别为的数字角频率分别为1=3/4 rad，2=0.5rad 由于由于2/1=8/3，2/2=4为有理数，故它们的为有理数，故它们的周期分别为周期分别为N1=8，N2=4，故，故f1(n)为周期序列，其为周期序列，其周期为周期为N1和和N2的最小公倍数的最小公倍数8。由上面几例可
17、看出由上面几例可看出：连续正弦信号一定是周期信号，连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。而正弦序列不一定是周期序列。两连续周期信号之两连续周期信号之和不一定是周期信号，和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期而两周期序列之和一定是周期序列。序列。例例3 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f2(n)=sin(2n)（2）f1(n)=sin(3n/4)+cos(0.5n)4能量信号与功率信号 将信号将信号f(t)施加于施加于1电阻上，它所消耗的瞬时功电阻上，它所消耗的瞬时功 率为率为|f(t)|2，在区间，在区
18、间(,)的的能量能量和和平均功率平均功率定义定义为为（1）信号的能量）信号的能量（2）信号的功率）信号的功率若信号若信号f(t)的能量有界，即的能量有界，即E ,则称其为则称其为能量有能量有限信号限信号，简称，简称能量信号能量信号。此时。此时P=0若信号若信号f(t)的功率有界，即的功率有界，即P ,则称其为则称其为功率有限功率有限信号信号，简称，简称功率信号功率信号。此时。此时E=相应地相应地，对于，对于离散信号离散信号，也有能量信号、功率，也有能量信号、功率信号之分。信号之分。时限信号时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号仅在有限时间区间不为零的信号)为能量信号为能量信号;周期信号周期信号
19、属于功率信号，而属于功率信号，而非周期信号非周期信号可能是能量信号，可能是能量信号，也可能是功率信号。也可能是功率信号。有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，如有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，如 f(t)=e t。从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为个变量的函数，称为一维一维或或多维函数多维函数。语音信号语音信号可表示为声压随时间变化的函数，这可表示为声压随时间变化的函数，这是是一维信号一维信号。而一张而一张黑白图像黑白图像每个点每个点(像素像素)具有不同的光强具有不同的光强度，任一点又是二维平面坐标中两个变量的函
20、度，任一点又是二维平面坐标中两个变量的函数，这是数，这是二维信号二维信号。还有更多维变量的函数的。还有更多维变量的函数的信号。信号。本课程只研究本课程只研究一维信号一维信号，且自变量多为时间。，且自变量多为时间。5一维信号与多维信号6因果信号与反因果信号 常将常将t=0时接入系统的信号时接入系统的信号f(t)即在即在t 0，f(t)=0称为称为因果信号因果信号或或有始信号有始信号。而将而将t 0，f(t)=0的信号称为的信号称为反因果信反因果信号号。还有其他分类：还有其他分类：如如实信号实信号与与复信号复信号；左边信号左边信号与与右边信号右边信号等等。等等。1.3 1.3 系统的描述与分类系统
21、的描述与分类 系统分类：系统分类：按数学模型的不同按数学模型的不同,系统可分为系统可分为:即时系统与动态系统即时系统与动态系统;连续系统与离散系统连续系统与离散系统;线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统;时变系时变系统与时不变统与时不变(非时变非时变)系统等等系统等等.1 1、即时系统、即时系统指的是在任意时刻的响应指的是在任意时刻的响应(输出信号输出信号)仅决仅决定与该时刻的激励定与该时刻的激励(输入信号输入信号),),而与它过去的历史状况而与它过去的历史状况无关的系统。无关的系统。2 2、如果系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有、如果系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关而且与
22、它过去的历史状况有关关而且与它过去的历史状况有关,就称之为就称之为动态系统。动态系统。系统的数学模型系统的框图表示系统的描述方法系统的描述方法3 3、当系统的激励是连续信号时、当系统的激励是连续信号时,若响应也是连续信号若响应也是连续信号,则称其为则称其为连续系统连续系统。4 4、当系统的激励是离散信号时、当系统的激励是离散信号时,若其响应也是离散信号若其响应也是离散信号,则称其为则称其为离散系统。离散系统。5 5、连续系统与离散系统常组合使用、连续系统与离散系统常组合使用,可称为可称为混合系统混合系统一、连续时间系统及其描述一、连续时间系统及其描述数学模型数学模型:系统基本特性的数学抽象系统
23、基本特性的数学抽象,是以是以数学表达式来表征系统的特性数学表达式来表征系统的特性.描述连续系统的数学模型是描述连续系统的数学模型是微分方程微分方程,而描述离散系统的数学模型是而描述离散系统的数学模型是差分方程。差分方程。系统分析的基本思想：系统分析的基本思想：1.根据工程实际应用，对系统建立数学模型。根据工程实际应用，对系统建立数学模型。通常表现为通常表现为描述描述输入输出关系的方程。输入输出关系的方程。2.建立求解这些数学模型的方法。建立求解这些数学模型的方法。)()()()(tutututuscRL)()(tuCtic)()()(tuRCtRitucR)()()(tuLCtiLtucL)(
24、1)(1)()(tuLCtuLCtuLRtusccc 例：写出图示电路中激励为例：写出图示电路中激励为Us(t)，响应为，响应为Uc(t)的微分方程。的微分方程。解：根据解：根据KVL有有将各元件端电压与电流的关系代入电压方程可得：将各元件端电压与电流的关系代入电压方程可得：Us(t)LR+-+-Uc(t)Ci(t)系统的框图表示系统的框图表示 系统的数学模型所包括基本运算系统的数学模型所包括基本运算：相乘、微分、积分、延时、相加运算相乘、微分、积分、延时、相加运算。将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出
25、的图称为联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为模模拟框图拟框图，简称，简称框图框图。积分器的抗干扰特性比积分器的抗干扰特性比微分器的好。微分器的好。1 1、表示系统功能的常用基本单元有、表示系统功能的常用基本单元有:积分器：积分器：y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)其他符号，见书其他符号，见书p6 例例2：已知：已知y”(t)+ay(t)+by(t)=f(t)，画框图。，画框图。解：将方程写为解：将方程写为y”(t)=f(t)ay(t)by(t)32例例1 某连续系
26、统的模拟框图如图，写出其微分方程。某连续系统的模拟框图如图，写出其微分方程。例例3、已知某连续系统如下图所示，写出该系统的微、已知某连续系统如下图所示，写出该系统的微分方程。分方程。y(t)+f(t)-x(t)x(t)x(t)a0 a1 b2 b1解：解：图中有两个积分器，因而系统为二阶系统。设图中有两个积分器，因而系统为二阶系统。设右端积分器的输出为右端积分器的输出为x(t)，那么各积分器的输入分，那么各积分器的输入分别是别是 x(t),x(t)。左方加法器的输出为。左方加法器的输出为)()()()(01tftxatxatxb0)()()()(01tftxatxatx 为了得到系统的微分方程
27、，要消去为了得到系统的微分方程，要消去x(t)及其导数。及其导数。右方加法器的输出为右方加法器的输出为)()()()(012txbtxbtxbty)()()(0001020 xabxabxabya)()()(1011121xabxabxabya)()()(012xbxbxby以上三式相加并整理得：以上三式相加并整理得：)()()()()()(01201tfbtfbtfbtyatyaty二、离散时间系统及其描述二、离散时间系统及其描述 设第设第n个月初的款数为个月初的款数为y(n),这个月初的存款为这个月初的存款为f(n),上个上个月初的款数为月初的款数为y(n-1)，利息为，利息为y(n-1)
28、,则则y(n)=y(n-1)+y(n-1)+f(n)即即y(n)-(1+)y(n-1)=f(n)若设开始存款月为若设开始存款月为n=0，则有，则有y(0)=f(0)。上述方程就称为上述方程就称为y(n)与与f(n)之间所满足的之间所满足的差分方程差分方程。所谓所谓差分方程差分方程是指由未知是指由未知输出序列输出序列项与项与输入序列输入序列项构项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为数，称为差分方程的阶数。差分方程的阶数。上述为上述为一阶差分方程一阶差分方程。1.解析描述解析描述建立差分方程建立差分方程例：某人每月初在银行存入一定数
29、量的款，月息为例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为元元/元，求第元，求第n个月初存折上的款数。个月初存折上的款数。由由n阶差分方程描述的系统称为阶差分方程描述的系统称为N阶系统。阶系统。前向差分方程与后向差分方程前向差分方程与后向差分方程2.差分方程的模拟框图差分方程的模拟框图基本部件单元基本部件单元有：有：数乘器，加法器，数乘器，加法器，迟延单元（移位器）迟延单元（移位器）)()1()(nfnfnf)1()()(nfnfnf一阶后向差分一阶后向差分一阶前向差分一阶前向差分前向差分与后向差分的关系前向差分与后向差分的关系)1()(nfnfy(n)+a1y(n-1)+aNy(n-N)=b
30、0f(n)+b1f(n-1)+bMf(n-M)N阶后向差分方程阶后向差分方程例例1 1：已知离散系统框图，写出系统的差分方程。：已知离散系统框图，写出系统的差分方程。解：解：设辅助变量设辅助变量x(n)如图如图x(n)=f(n)2x(n-1)3x(n-2)，即即x(n)+2x(n-1)+3x(n-2)=f(n)y(n)=4x(n-1)+5x(n-2)消去消去x(n)，得，得2y(n-1)=2*4x(n-2)+2*5x(n-3)3y(n-2)=3*4x(n-3)+3*5x(n-4)y(n)+2y(n-1)+3y(n-2),得得:y(n)+2y(n-1)+3y(n-2)=4f(n-1)+5f(n-
31、2)解：解：设辅助变量设辅助变量x(t)如图所示。如图所示。由左端加法器得由左端加法器得例例2 2：已知框图如下图所示，写出系统的微分方程。：已知框图如下图所示，写出系统的微分方程。x(t)x(t)x(t)y(t)+f(t)-3 2 4 5)()(3)(2)(tftxtxtx)1()()(3)(2)(tftxtxtx 由（由（2）式可知，响应）式可知，响应y(t)是是x(t)及其各阶导数的线性及其各阶导数的线性组合，因而以组合，因而以y(t)为未知变量的微分方程左端的系数为未知变量的微分方程左端的系数应与式（应与式（1）相同。）相同。由（由（2）式得）式得 由右端加法器得由右端加法器得)2()
32、(4)(5)(txtxty)(43)(53)(3)(42)(52)(2)(4)(5)(txtxtytxtxtytxtxty)(3)(2)(4)(3)(2)(5)(3)(2)(txtxtxtxtxtxtytyty)(4)(5tftf根据框图求系统数学模型的一般步骤：根据框图求系统数学模型的一般步骤：(1)(1)选中间变量选中间变量x(x()。对于连续系统对于连续系统,设其最右端积分器的输出设其最右端积分器的输出x(t);x(t);对于离散系统，设其最左端延迟单元的输入为对于离散系统，设其最左端延迟单元的输入为x(n)x(n)；（2 2）写出各加法器输出信号的方程；）写出各加法器输出信号的方程；（
33、3 3）消去中间变量）消去中间变量x(x()1.4 LTI系统的特性系统的特性 连续的或离散的系统可分为：连续的或离散的系统可分为：1、线性的和非线性的；、线性的和非线性的；2、时变的和时不变（非时变）的；、时变的和时不变（非时变）的；3、因果的和非因果的；、因果的和非因果的；4、稳定的和非稳定的。、稳定的和非稳定的。本书主要讨论线性时不变系统本书主要讨论线性时不变系统 一、线性性质一、线性性质 系统的激励系统的激励f()所引起的响应所引起的响应y()可简记为可简记为f()y()。线性性质包括两方面：线性性质包括两方面：齐次性齐次性和和可加性可加性。若系统的激励若系统的激励f()增大增大a倍时
34、，其响应倍时，其响应y()也增大也增大a倍，倍，即即af()a y(.)则称该系统是则称该系统是齐次的齐次的。若系统对于激励若系统对于激励f1()与与f2()之和的响应等于各个激励单之和的响应等于各个激励单独作用所引起的响应之和，即独作用所引起的响应之和，即f1()+f2()y(t)=y1()+y2()则称该系统是则称该系统是可加的可加的。线性系统：线性系统：满足线性性质的系统。满足线性性质的系统。LTI系统系统f(t)或或f(n)y(t)或或y(n)若系统既是齐次的又是可加的，则称该若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是系统是线性的线性的，即，即 a f1()+bf2()a y1()+by
35、2()例例1-8 （P9）例例1-9 （P10）（2）动态系统是线性系统的条件）动态系统是线性系统的条件动态系统不仅与激励动态系统不仅与激励 f()有关，而且与系统的初始有关，而且与系统的初始状态状态x(0)有关。初始状态也称有关。初始状态也称“内部激励内部激励”。完全响应可写为完全响应可写为y()=T f(),x(0)当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：可分解性可分解性：y()=yzs()+yzi()=T f(),0+T 0，x(0)零状态线性零状态线性：Ta f(),0=a T f(),0 (齐次性齐次性)Tf1(t)+f2(t),0=
36、T f1(),0+T f2(),0 (可加性可加性)或或Taf1(t)+bf2(t),0=aT f1(),0+bT f2(),0零状态响应为零状态响应为yzs()=T f(),0零输入响应为零输入响应为yzi()=T 0，x(0)T0,ax(0)=aT 0,x(0)(齐次性齐次性)T0,x1(0)+x2(0)=T0,x1(0)+T0,x2(0)(可加性可加性)或或 T0,ax1(0)+bx2(0)=aT0,x1(0)+bT0,x2(0)零输入线性：零输入线性：注：三个条件缺一不可注：三个条件缺一不可例题例题 解解：（1）yzs(t)=2 f(t)+1，yzi(t)=3 x(0)+1 显然，显然
37、，y(t)yzs(t)yzi(t)不满足不满足可分解性，可分解性，故故为非线性。为非线性。（2）yzs(t)=|f(t)|，yzi(t)=2 x(0)y(t)=yzs(t)+yzi(t)满足可分解性；满足可分解性；由于由于Ta f(t),0=|af(t)|a yzs(t)不满足零不满足零状态线性。状态线性。故为非线性系统。故为非线性系统。例例1：判断下列系统是否为线性系统？：判断下列系统是否为线性系统？（1）y(t)=3 x(0)+2 f(t)+x(0)f(t)+1（2）y(t)=2 x(0)+|f(t)|（3）y(t)=x2(0)+2 f(t)（3）yzs(t)=2 f(t),yzi(t)=
38、x2(0)，显，显然满足可分解性；然满足可分解性；由于由于T 0,a x(0)=a x(0)2 a yzi(t)不满足零输入线性。不满足零输入线性。故为非线性系统。故为非线性系统。（3）y(t)=x2(0)+2 f(t)y(t)=yzs(t)+yzi(t)，满足可分解性；满足可分解性；Ta f1(t)+b f2(t),0例例2：判断下列系统是否为线性系统？判断下列系统是否为线性系统？=aTf1(t),0+bT f2(t),0，满足零状态线性满足零状态线性；T0,ax1(0)+bx2(0)=e-tax1(0)+bx2(0)=ae-t x1(0)+be-t x2(0)=aT0,x1(0)+bT0,
39、x2(0),满足零输入线性满足零输入线性；所以，该系统为线性系统。所以，该系统为线性系统。二、时不变系统与时变系统 满足时不变性质的系统称为满足时不变性质的系统称为时不变系统时不变系统。1 1、时不变性质、时不变性质 若系统满足输入延迟多少时间，其若系统满足输入延迟多少时间，其零状态响应零状态响应也延迟多少时间，也延迟多少时间，即若即若T0，f(t)=yzs(t)则有则有 T0，f(t-td)=yzs(t-td)系统的这种性质称为系统的这种性质称为 时不变性时不变性或或移位不变性移位不变性）例例1-10 （P10）解(1)令g(n)=f(n nd)T0，g(n)=g(n)g(n 1)=f(n
40、nd)f(nnd 1)而y(n nd)=f(n nd)f(nnd 1)显然显然T0，f(n nd)=y(n nd)故该系统是时不变故该系统是时不变的的.(2)令g(t)=f(t td)T0，g(t)=t g(t)=t f(t td)而y(t td)=(t td)f(t td)显然显然T0，f(t td)y(t td)故该系统为时变系故该系统为时变系统。统。例例：判断下列系统是否为时不变系统？：判断下列系统是否为时不变系统？（1）y(n)=f(n)f(n 1)（2）y(t)=t f(t)（3）y(t)=f(t)(3)令g(t)=f(t td),T0，g(t)=g(t)=f(t td)而y(t t
41、d)=f(t td)，显然 T0，f(t td)y(t td)故该系统为时变系统。故该系统为时变系统。直观判断方法：若f()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。（3）y(t)=f(t)2、LTI连续系统的微分特性和积分特性 微分特性：若f(t)yzs(t)，则f(t)y zs(t)积分特性：若f(t)yzs(t)，则本课程重点讨论线性时不变系统本课程重点讨论线性时不变系统(Linear Time-Invariant)，简称，简称LTI系统。系统。三、因果系统与非因果系统 零状态响应不会零状态响应不会出现在激励之前的系统或输出只取决出现在激励之前的系统或输出只取决于现在或过去的输
42、入，称为于现在或过去的输入，称为因果系统因果系统。即对因果系统，当即对因果系统，当t t0，f(t)=0时，有时，有t t0，yzs(t)=0。如下列系统均为如下列系统均为因果系统因果系统：yzs(t)=3f(t 1)而下列系统为而下列系统为非因果系统非因果系统：(1)yzs(t)=2f(t+1)(2)yzs(t)=f(2t)(1)(1)因为，令因为，令t=0时，有时，有yzs(0)=2f(1)(2)(2)因为，若因为，若f(t)=0，t t0，有，有yzs(t)=f(2t)=0,t 0.5 t0。例例 1-12 （P11)稳定系统与不稳定系统 一个系统，若对有界的激励一个系统，若对有界的激励
43、f(.)所产生的零状态响应所产生的零状态响应yzs(.)也是有界时，则称该系统为也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出有界输入有界输出稳定稳定，简称，简称稳定稳定。即若即若f(.)，其，其yzs(.)则称系统是稳定的。则称系统是稳定的。如如yzs(n)=f(n)+f(n-1)是稳定系统；而是稳定系统；而因为，当因为，当f(t)=U U(t)有界，有界，dxxftytf)()(是不稳定系统是不稳定系统LTI系统分析概述 系统分析的系统分析的主要问题主要问题：对给定的具体系统，求出它：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。对给定激励的响应。具体地说：具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方
44、程系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。并求出解答。求解系统数学模型的求解系统数学模型的基本思路基本思路：（1）把）把零输入响应零输入响应和和零状态响应零状态响应分开求。分开求。（2）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据 性系统的可加性：性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系统多个基本信号作用于线性系统 所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之 和。和。采用的数学工具：采用的数学工具：（1）卷积积分与卷积和）卷积积分与卷积和（2）傅里叶变换）傅里叶变换（3）拉普拉斯变换）拉普拉斯变换（4）Z变换变换
