1、单元卷六数列(能力提升卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2022吉林长春二模已知Sn为等差数列an的前n项和，若a215，S565，则a1a4()A.24 B.26 C.28 D.302.2021安徽五校联考设等比数列an的前n项和为Sn，若，则()A. B. C. D.33.2021江西九校联考已知等比数列an的前n项和为Sn，且Sn，a312，则实数的值为()A. B. C. D.34.2022东北师大附中一模已知等差数列an中，a1a32a84, 则2a1 2a22a9()
2、A.32 B.256 C.512 D.1 0245.2021昆明市一模在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知数”问题的解法称为“中国剩余定理”.“物不知数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在(1，2 021的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列an，则数列an的项数为()A.101 B.100 C.99 D.986.2021黑龙江高三模拟我们把Fn22n1(n0，1，2
3、，)叫“费马数”(费马是十七世纪法国数学家).设anlog2(Fn1)，n1，2，3，设数列an的前n项和为Sn，则使不等式S1S2S3Sn2 0212n成立的正整数n的最小值是()A.8 B.9 C.10 D.167.2022豫北名校联考已知数列an满足a2n1a2n4n1，a2na2n14n3，若数列an的前50项和为1 273，则a3()A.0 B.1 C.1 D.28.2022太原期末意大利数学家斐波那契提出的“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列an满足a1a21，an2an1an(n
4、N*).若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列bn，则bn的前2 021项和为()A.2 014 B.2 022 C.2 265 D.2 274二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.2021黑龙江哈九中模拟等差数列an的前n项和记为Sn，若a10，S10S20，则正确的是()A.d0B.a160C.SnS15D.当且仅当Sn0时n3210.2021广东高州一中月考设首项为1的数列an的前n项和为Sn，已知Sn12Snn1，则下列结论正确的有()A.数列Snn为等比数列B.数列a
5、n的通项公式为an2n11C.数列an1为等比数列D.数列2Sn的前n项和为2n2n2n411.2021山东临沂蒙阴实验中学期末若数列an满足：对于任意正整数n，an1an为单调递减数列，则称数列an为“差递减数列”.给出下列数列an(nN*)，其中是“差递减数列”的有()A.an3n B.ann21C.an D.anln12.2021广东中山一中月考数列an的前n项和为Sn，若数列an的各项按如下规律排列：，以下运算和结论正确的是()A.a24B.数列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，是等比数列C.数列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，的前n项和TnD.若存在
6、正整数k，使Sk10，Sk110，则ak三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2021北京西城区期末数列an是公差为2的等差数列，记an的前n项和为Sn，且a1，a3，a4成等比数列，则a1_；Sn_.14.2021湖北黄冈中学模拟设数列an的前n项和为Sn，写出an的一个通项公式an_(nN*)，满足下面两个条件：an是单调递减数列；Sn是单调递增数列.(写出一个满足条件的数列即可.)15.2022南昌一模若无穷数列an满足：只要apaq(p，qN*)，必有ap1aq1，则称数列an为“和谐递进数列”.已知数列an为“和谐递进数列”，前n项和为Sn，且其前四项成等比数列，a1
7、a51，a22，则S2 021_.16.2021杭州二中期末已知等比数列an满足anan1，数列bn满足bn2anan1(nN*)，记Tn是数列bn的前n项和，则当Tn时，n的最小值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)2022合肥市一模已知数列an满足a12a23a3nan(n1)2n12(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn.18.(12分)2021广东中山一模已知数列an的前n项和为Sn，a2，点(an1，Sn)(nN*)在直线2xy30上.(1)求数列an的通项公式；(2)若
8、bn，bn的前n项和为Tn，求Tn.19.(12分)2022山东济宁一模在Sn2an3(Sn为an的前n项和)；Sn32n3(Sn为an的前n项和)；aanan2，a13，a424这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.已知数列an满足_(nN*)，若bnanlog2，求数列bn的前n项和Tn.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.20.(12分)2021重庆一中月考在3Sn1Sn1，a2，2Sn13an1这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答.已知数列an的前n项和为Sn，满足_，_；又正项等差数列bn满足b12，且b1，b21，b3成等比数列.(1)求a
9、n和bn的通项公式；(2)证明：ab1ab2abn.注：如果给出多种选择的解答，按符合题意的第一种选择计分.21.(12分)2021天津武清区一模已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，S22a22，S3a42，数列bn满足2bnbn1bn1(nN*)且a24b1，a3b8.(1)求an和bn的通项公式；(2)将an和bn中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列cn，求数列cn的前100项和T100；(3)设数列dn的通项公式为：dnmN*，求i.22.(12分)2022广东揭阳摸底在数列an的前n项和Snn2n(nN*)；数列an是首项为1，公差不为0的正项等差数列，且a2，a4，a8成
10、等比数列；a11，(nN*)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的m，k存在，求出m，k的值；若不存在，说明理由.已知数列an，且_，设bn，是否存在正整数m，k(1m0，y0，a(x，1)，b(1，y1)，若ab，则的最小值为()A.4 B.9 C.8 D.107.2021河北石家庄模拟已知函数f(x)2cos(x)的部分图象如图所示，点A(0，)，B，则函数f(x)图象的一条对称轴方程为()A.x B.xC.x D.x8.2021江西名校联考已知函数yf(x1)是定义在R上的偶函数，且满足f(3x)f(3x)，且当1x1时，f(x)xln(x2)，则f(1)f(0)f(1)f
11、(2)f(3)f(2 020)()A.ln 3 B.ln 3C.4ln 2ln 3 D.4ln 2ln 3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.2022山东烟台期中下列结论正确的是()A.若ab0，cdB.若xy0，且xy1，则xlog2(xy)C.设an是等差数列，若a2a10，则a2D.若x0，)，则ln(1x)xx210.2021山东临沂蒙阴实验中学期末关于函数f(x)2cos2xcos1的描述正确的是()A.其图象可由ysin 2x的图象向左平移个单位长度得到B.函数f(x)
12、在上单调递增C.函数f(x)在0，上有2个零点D.函数f(x)在上的最小值为11.2022山东莱州一中月考在RtABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是()A.|2B.|2C.|2D.|212.2021山东枣庄期中将n2个数排成n行n列的一个数阵，如下：a11a12a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3nan1an2an3ann该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m0).已知a112，a13a611，记这n2个数的和为S.下列结论正确的有()A.m3 B.a671737C.aij(3i1)
13、3j1 D.Sn(3n1)(3n1)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2021福州模拟已知两个单位向量a，b满足|ab|b|，则a与b的夹角为_.14.2021咸阳市模拟正项等比数列an中，存在两项am，an，使得2a1，且a6a52a4，则的最小值是_.15.2022湖南调研已知函数f(x)(xR)，则函数f(x)的值域是_，方程f(x)2x0有_个实数根.16.2021天津南开区模拟已知ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin Acos A.若B，则ABC面积的最大值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
14、17.(10分)2022广州市高三训练在acos Bbsin A，b2aca2c2，sin Bcos B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.问题：已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_，ABC的面积为2，a2，求b.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.(12分)2021吉林实验中学模拟在正项数列an中，a11，an(a1)2an1(a1)，bnan.(1)求数列an与bn的通项公式.(2)求数列n(2anbn)2的前n项和Tn.19.(12分)2021烟台模拟某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价
15、格x(单位：元/千克，1x12)满足：当1x4时，ya(x3)2，(a，b为常数)；当4x12时，y100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克.(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润f(x)最大.(2.65)20.(12分)2022山东青岛模拟在数列an为递增的等比数列，S37，且3a2是a13和a34的等差中项，Sn2n1，nN*，4an3Sn2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的最小值；若不存
16、在，说明理由.已知数列an的前n项和为Sn，_，bn，设数列bn的前n项和为Tn，是否存在实数k，使得Tnk恒成立？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.21.(12分)2021河北联考设函数f(x)xtln x，其中x(0，1)，t为正实数.(1)若不等式f(x)0恒成立，求实数t的取值范围；(2)当x(0，1)时，证明：x2x10)的图象上有一点列Pn(xn，yn)，(nN*)，点Pn在x轴上的射影是Qn(xn，0)，且xn3xn12(n2且nN*)，x12.(1)求证：xn1是等比数列，并求出数列xn的通项公式；(2)对任意的正整数n，当m1，1时，不等式3t26mtyn恒成立
17、，求实数t的取值范围；(3)设四边形PnQnQn1Pn1的面积是Sn，求证：10，得S2010，此时a20，故D正确.选ACD.13.8n29n(nN*)因为数列an是公差为2的等差数列，a1，a3，a4成等比数列，所以aa1a4，即(a14)2a1(a16)，解得a18.所以Sn8n(2)n29n(nN*).14.(答案不唯一)根据前n项和数列是单调递增的，可以判定数列的各项，从第二项起，各项都是大于零的，由数列本身为单调递减数列，结合各项的值的要求，可以考虑公比在0到1之间的等比数列的例子，例如an就是符合条件的例子(答案不唯一).15.7 576依题意a1，a2，a3，a4成等比数列，而
18、a11，a22，公比q2，所以a34，a48.依题意，若apaq，则ap1aq1，而a1a51，所以a2a6，a3a7，a4a8，a5a9，以此类推可知数列an是周期为4的周期数列，所以S2 021S50541505(a1a2a3a4)a15051517 576.16.3因为anan1，数列an是等比数列，所以数列an的公比q.又a1a2a1，所以a1，故ana1qn1，所以bn2anan12，故数列bn是以为首项，为公比的等比数列，所以Tn.由，得，所以n3，n的最小值为3.17.(1)解由题知，a12a23a3nan(n1)2n12，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)2n2，
19、nan(n1)2n1(n2)2nn2n，an2n(n2).当n1时，a12，当n1时，an2n也成立，an2n(nN*).(2)证明bn，Snb1b2b3bn.nN*，0，Sn.18.解(1)点(an1，Sn)(nN*)在直线2xy30上，Sn2an13，当n2时，Sn12an3，两式相减，并整理得an1an(n2)，又a1S12a230，且a2a1，由可知，对任意nN*都有，数列an是以为首项，为公比的等比数列，an(nN*).(2)由(1)可得，bnn，Tn123n，Tn12(n1)n，得Tnnn1n2，Tn6(2n6)(nN*).19.解若选：因为Sn2an3，所以当n2时，Sn12an
20、13，得anSnSn12an2an1，即an2an1.当n1时，a1S12a13，解得a13，所以数列an是首项为3，公比为2的等比数列.所以an32n1.所以bnanlog23n2n1，所以Tnb1b2b3bn3(120221322n2n1)，2Tn3(121222323n2n)，得Tn3(2021222n1n2n)33(1n)2n3，所以Tn33(n1)2n.若选：因为Sn32n3，所以当n1时，a1S13233；当n2时，Sn132n13，得anSnSn132n32n132n1，因为a13符合上式，所以an32n1对一切nN*都成立.后同选.若选：由aanan2(nN*)，a13，a42
21、4知数列an是等比数列.设数列an的公比为q，则a4a1q3，即243q3，所以q38，解得q2，所以an32n1.后同选.20.(1)解方案一选择.当n2时，由3Sn1Sn1得3SnSn11，两式相减，得3an1an，即(n2)，由得3S2S11，即3(a1a2)a11，2a113a21，得a1，an是首项为，公比为的等比数列，an.设等差数列bn的公差为d，d0，b1，b21，b3成等比数列，b1b3(b21)2，即2(22d)(1d)2，解得d3或d1(舍去)，bn23(n1)3n1.方案二选择.当n2时，由2Sn13an1，得2Sn113an，两式相减，得2an3an3an1，(n2)，又2S113a2，得a1，an是首项为，公比为的等比数列，an.(以下同方案一)(2)证明由(1)得abna3n1，则ab1ab2abn.21.解(1)由S22a22，S3a42两式作差可得a3a42a2，
