1、单元卷八平面解析几何(能力提升卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2021江西南昌市二模直线l：yk(x2)上存在两个不同点到原点距离等于1，则k的取值范围是()A.(2，2) B.(，)C.(1，1) D.2.2022江西南昌一模若双曲线x21(m0)的离心率e(1，3)，则实数m的取值范围为()A.(0，8) B.(0，4) C.(1，9) D.(8，)3.2021安徽四校联考已知抛物线C：x4y2的焦点为F，若斜率为的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则线段AB的中点
2、到准线的距离为()A. B. C. D.4.2021江西九校联考已知圆C1的标准方程是(x4)2(y4)225，圆C2：x2y24xmy30关于直线xy10对称，则圆C1与圆C2的位置关系为()A.相离 B.相切 C.相交 D.内含5.2022山东济宁一模许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.如图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成的立体图形)型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象，上、下底面与地面平行.现测得下底直径AB20米，上底直径CD20米，AB与CD间的距离为80米，与上、下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为()
3、A.10米 B.20米 C.10米 D.10米6.2022安徽蚌埠一模设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，经过点F1且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，F2A，F2B与y轴分别交于点D，E.若0，则C的离心率为()A. B. C. D.7.2021北京海淀区一模“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.该圆称为椭圆的“蒙日圆”.若椭圆C：1(m0，m4)的离心率为，则椭圆C的“蒙日圆”方程为()A.x2y25或x2y27B.x2y27或x2y220C.x2y25或x2y220D.x2y27或x2y22
4、88.2022安徽十校联考已知双曲线T：1(a0，b0)的两条渐近线与圆E：x2y210x70的4个公共点按照逆时针方向依次为A，B，C，D，且点A，B在第一象限，若，则|AD|BC|()A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.2021湖南名校第二次联考设mR，过定点M的直线l1：mxy3m10与过定点N的直线l2：xmy3m10相交于点P.线段AB是圆C：(x1)2(y1)24的一条动弦，且|AB|2，则下列结论中正确的是()A.l1一定垂直于l2B.|PM
5、|PN|的最大值为4C.点P的轨迹方程为(x2)2(y2)22D.|的最小值为210.2022江苏常州四校联考已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，且A，|AF|，则下列结论正确的是()A.p4 B.aC.|BF|3 D.AOB的面积为11.2021河北石家庄一模已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则下列说法正确的是()A.离心率的取值范围为B.当离心率为时，|QF1|QP|的最大值为2aC.存在点Q使得0D.的最小值为112.2021辽宁联考已知A，B是双曲线C：1(a0，b0)上关于
6、原点对称的两点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2，则下列说法正确的是()A.双曲线C的离心率为2B.双曲线C的渐近线方程为yxC.若|AB|的最小值为4，则双曲线C的方程为y21D.存在点P，使得|k1|k2|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2021广东茂名二模1765年欧拉在其著作三角形的几何学中首次提出：三角形的重心、垂心、外心在同一条直线上，我们把这条直线称为该三角形的欧拉线，若ABC的顶点都在圆x2y24上，边AB所在直线方程为x2y1，且|AC|BC|，则ABC的欧拉线方程为_.14.2021江西南昌期
7、末已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点F的距离为5，点F到双曲线1(b0)的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为_.15.2022云南昆明诊断测试改编已知点P(1，)在双曲线C：1(a0，b0)的渐近线上，F为双曲线C的右焦点，O为原点.若FPO90，则双曲线C的方程为_，其离心率为_.16.2022湖南衡阳一模已知点F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，P(0，m)(0mb)，直线PF交C于A，B两点，若P，F均是线段AB的三等分点，则椭圆C的离心率为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)2021河北衡水中
8、学三模已知双曲线C：1(m0，n0)上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)椭圆E：1(ab0)的离心率等于，过椭圆上任意一点P作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆E于M，N两点，若|PM|2|PN|25，求椭圆E的方程.18.(12分)2022山西太原一模已知O为坐标原点，点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，直线x与抛物线E交于A，B两点，且3.(1)求抛物线E的方程；(2)若点P(1，0)，过点F的直线l与抛物线E交于C，D两点，求PCD面积的最小值.19.(12分)2022山东名校联考如图，已知椭圆1(ab0)的上、下顶点分别为A，B
9、，左、右顶点分别为C，D，3，四边形ACBD的面积为4，P，Q是椭圆上两个不重合的点(均不同于点A，B)，且直线QB的斜率kQB与直线PA的斜率kPA满足2.(1)求椭圆的标准方程；(2)证明：直线PQ恒过定点.20.(12分)2021青岛二模已知抛物线y24x及点P(4，0).(1)以抛物线的焦点F为圆心，|FP|为半径作圆，求圆F与抛物线交点的横坐标；(2)若A，B是抛物线上不同的两点，且直线AB与x轴不垂直，弦AB的垂直平分线恰好经过点P，求的取值范围.21.(12分)2021河北张家口一模已知双曲线C：1(a0，b0)上一动点P，左、右焦点分别为F1，F2，且F2(2，0)，定直线l：
10、x，PMl，点M在直线l上，且满足.(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线l0的斜率k1，且l0过双曲线右焦点与双曲线右支交于A，B两点，求ABF1的外接圆方程.22.(12分)2022山东潍坊一模在平面直角坐标系中，A1，A2两点的坐标分别为(2，0)，(2，0)，直线A1M，A2M相交于点M且它们的斜率之积是，记动点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程.(2)过点F(1，0)作直线l交曲线E于P，Q两点，且点P位于x轴上方，记直线A1Q，A2P的斜率分别为k1，k2.证明：为定值；设点Q关于x轴的对称点为Q1，求PFQ1面积的最大值.单元卷八平面解析几何(能力提升卷)1.D直线l：yk(
11、x2)上存在两个不同点到原点距离等于1，则原点到直线的距离小于1，所以1，解得k.故选D.2.A依题意，双曲线的方程为x21，所以a21，b2m，所以c2a2b21m，所以c，所以e，故13，所以11m9，0m8，故实数m的取值范围是(0，8).故选A.3.A由题意可得F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则整理得x1x24(yy)，则kAB，解得y01，M(x0，y0)在直线l上，y0，x0，从而线段AB的中点到准线的距离为x0，故选A.4.C由题意可得，圆C1：(x4)2(y4)225的圆心为(4，4)，半径为5.因为圆C2：x2y24xmy30关于直线xy
12、10对称，所以210，得m2，所以圆C2：(x2)2(y)24的圆心为(2，)，半径为2，则两圆圆心距|C1C2|2，因为52|C1C2|2725，所以圆C1与圆C2的位置关系是相交，故选C.5.B取DC的中点E，以EG所在直线为y轴，EG的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示.因为点G处的直径等于CD，所以由双曲线的对称性可知，点O即双曲线的对称中心，设双曲线的标准方程为1(a0，b0), 由题意可知，C(10，20)，B(10，60)，代入双曲线的标准方程得解得所以最细部分处的直径为2a20(米).6.C由题意知F1(c，0)，F2(c，0).将xc代入椭圆C的方程得1，解得y，不
13、妨设A，B，易知D，E分别为线段F2A，F2B的中点，则点D的坐标为，点E的坐标为，故，.由0，得c20，又 c2a2b2，所以4a44a2b29b40，等式两边同除以a4并整理，得40，得，故椭圆C的离心率e.故选C.7.C若m4，则，即m16，所以C：1，由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，不妨取两点(2，0)，(0，4)，则两条切线为x2和y4，所以两条切线的交点为(2，4)，且点(2，4)在蒙日圆上，所以半径为，所以蒙日圆为x2y220；若0m4，则，即m1，所以C：y21，由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，不妨取两点(2，
14、0)，(0，1)，则两条切线为x2和y1，所以两条切线的交点为(2，1)，且点(2，1)在蒙日圆上，所以半径为，所以蒙日圆为x2y25，故选C.8.A设双曲线T的渐近线yx的倾斜角为，由题意知，所以tan .将yx代入x2y210x70，得x210x70，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，所以|AD|BC|2y12y2(x1x2)，故选A.9.AD对于A：当m0时，直线l1：y1与l2：x1互相垂直；当m0时，直线l1：mxy3m10的斜率k1m，l2：xmy3m10的斜率k2，则k1k21，所以l1与l2互相垂直.综上，l1一定垂直于l2，故A正确；对于B：l1过定点M(3，
15、1)，l2过定点N(1，3)，|MN|2.若点P与点M或点N重合，则|PM|PN|MN|2；若点P与点M，N不重合，则在RtPMN中，设PMN，则|PM|PN|2cos 2sin 4sin4，故B错误；对于C：当点P与点M或点N重合时，P(3，1)或P(1，3)；当点P与点M，N不重合时，由0可得点P的轨迹方程为(x2)2(y2)22，(3，1)和(1，3)两点也满足此式，又因为直线l1不能同时过(3，1)和(3，3)两个点，所以点P的轨迹不经过点(3，3)，故C错误；对于D：作CDAB交线段AB于点D(图略)，则|CD|，所以点D的轨迹方程为(x1)2(y1)22，且D为线段AB的中点，所以
16、|2|.又因为|的最小值为，所以|的最小值为2，故D正确.故选AD.10.BCDA.由抛物线的定义可得|AF|xA，解得p2，所以A不正确；B.由A得，A，F(1，0)，抛物线的方程为y24x，将点A代入抛物线方程，得a242，所以a，所以B正确；C.当a时，则kl2，则直线l的方程为y2(x1)，联立得2x25x20，解得x或x2，所以xB2，则|BF|xB213，同理当a时，|BF|3，所以C正确；D.由上述可知，当a时，A，B(2，2)，所以SAOB|OF|yAyB|13，同理当a时，SAOB，所以D正确.故选BCD.11.BD由题意可得2a4，所以a2.由点P(，1)在椭圆内部可得1，
17、可得2b24，即24c24，所以0c.对A，由e，得0e，故A错误；对B，当e时，c，F2，|QF1|QP|2a|QF2|QP|2a|PF2|2a，故B正确；对C，当Q在短轴端点时，F1QF2最大，此时|QF1|QF2|a，则cosF1QF212e2，由0e，得0cosF1QF21，则0F1QF290，所以不存在点Q使得0，故C错误；对D，1，当且仅当|QF1|QF2|，即Q在短轴端点时，等号成立，故D正确.故选BD.12.BC设A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x2，y2)(x20，y20)，则1，1，所以，即.又k1，k2，所以k1k2.对于A：因为1，所以e2，所以e，故A不正确；
18、对于B：因为，所以，所以双曲线C的渐近线方程为yx，故B正确；对于C：因为|AB|22，又x1a或x1a，所以当xa2时，|AB|min224b4，得b1，a2，所以双曲线C的方程为y21，故C正确；对于D：|k1|k2|221，因为|k1|k2|，所以等号不成立，所以|k1|k2|1，所以不存在点P，使得|k1|k2|，故D不正确.故选BC.13.2xy0由题意可得ABC的欧拉线过原点且与直线x2y1垂直，所以欧拉线方程的斜率为2，所以ABC的欧拉线方程为2xy0.14.由抛物线的定义，得点M(1，m)到焦点的距离等于到准线x的距离，即15，解得p8，所以抛物线的标准方程为y216x，焦点F
19、(4，0)，取双曲线1的一条渐近线为yx，即bxy0，则有2，解得b.所以c2，则e.15.12因为双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，点P(1，)在渐近线上，所以.在RtOPF中，|OP|2，FOP60，所以|OF|c4.又c2a2b2，所以b2，a2，所以双曲线C的方程为1，离心率e2.16.如图，不妨设点B在第三象限，作BBx轴于点B，设F是椭圆C的右焦点，连接AF，显然OP是FFA的中位线，AFx轴.易得|AF|，又FOPFBB，|BB|OP|AF|，点B的坐标是.将点B的坐标代入椭圆方程，得1，1，即4e21，得e.17.解(1)设A(x1，y1)为双曲线上任意一点，则1，
20、双曲线的顶点为B(m，0)，C(m，0)，由题设知kABkAC，故x9ym2，代入式可得y0.又A为双曲线上任意一点，故0，所以m3n，双曲线的渐近线方程为yx.(2)由椭圆E的离心率e，可得a3b，故椭圆方程为1，即x29y29b2(b0).设P(x0，y0)，M(xM，yM)，则x9y9b2.设直线PM的方程为y(xx0)y0，与椭圆方程x29y29b2联立，消去y，联立式整理得x2(3y0x0)x3x0y00，即(xx0)(x3y0)0，故xM3y0，从而yM(xMx0)y0x0.所以M.而直线PN的方程为y(xx0)y0，同理可求得N.又|PM|2|PN|25，可得(3y0x0)2(3
21、y0x0)25，整理得x9y.结合式可得b2，所以椭圆E的方程为x29y2，即x24y21.18.解(1)由可得令A(，p)，B(，p)，则p23，又p0，所以p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)由(1)知，F(1，0)，当直线l的斜率不存在时，|CD|4，|PF|2，PCD的面积为|CD|PF|4.当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k(k0)，则方程为yk(x1)，由消去y，整理得k2x2(2k24)xk20，0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，所以|CD|x1x22.又点P(1，0)到直线l的距离d，所以SPCD|CD|d44.综上可知，SPCD4，所以PCD面
22、积的最小值为4.19.(1)解由题意得A(0，b)，C(a，0)，D(a，0)，则(a，b)，(a，b)，则a2b23.四边形ACBD的面积为|AB|CD|2b2a2ab，所以2ab4，得a2，b1，所以椭圆的标准方程为y21.(2)证明由(1)知点A(0，1)，设直线PA的方程为ykx1，代入y21，得(4k21)x28kx0，所以xP，yP1，故点P.因为2，所以kQB2k，则直线QB的方程为y2kx1，代入y21，得(16k21)x216kx0，所以xQ，yQ1，故点Q.易知直线PQ的斜率存在，且kPQ，所以直线PQ的方程为y，整理得yx3，故直线PQ恒过点(0，3).20.解(1)由已
23、知得F(1，0)，设圆F与抛物线交点为N(x，y)，|FP|FN|x，x312，圆F与抛物线交点横坐标为2.(2)设弦AB的中点为M，A，B，M(x0，y0)，则x0，y0，设直线AB的垂直平分线的方程为yk(x4)(k0)，则直线AB的斜率kAB，y02k.点M在直线AB的垂直平分线上，y0k(x04)(k0)，x02.则直线AB的方程为k(yy0)2x，由得kyky02，即y24ky8k280，16k232k23216k2320，0k22.y1y24k，y1y28k28，y1y2(yy)1y1y24(k21)24k2(8k28)14k47，的取值范围是(7，9).21.解(1)由题意，可知
24、，设点P(x，y)，则，得(x2)2y2，得x24x4y2x24x3，得1y2x2，即双曲线的标准方程为y21.(2)由题意，可知直线l0：yx2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得2x212x150，则x1x26，x1x2.则线段AB中点N(3，1)，ABF1外接圆圆心在AB的垂直平分线上，设为l1，故l1方程为yx4，又由焦点弦长公式，可知|AB|2.设圆心(x0，y0)满足故所以半径R，所以外接圆方程为.22.解(1)设点M坐标为(x，y)，则直线A1M，A2M的斜率分别为，x2，依题意知，化简得1(x2).即曲线E的方程为1(x2).(2)证明由题意可设直线l的方程为xmy1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(y10，y20)，消x得(3m24)y26my90，得则，故为定值.Q1坐标为(x2，y2)，则直线PQ1方程为yy1(xx1)，令y0解得xx1114，即直线PQ1恒过D(4，0)点.故SPFQ1|SPFDSQ1FD|y1|y2|y1y2|，当m2，即m时，等号成立，此时PFQ1面积的最大值为.
