1、2015年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。1、设、为两不相等的实数，若二次函数满足，则的值为 2、若实数满足，则的值为 3、已知复数数列满足，其中为虚数单位，表示的共轭复数，则的值为 4、在矩形中，,边上（包含,）的动点与线段延长线上（包含）的动点满足,则向量与向量的数量积的最小值为 5、在正方体中随机取条棱，他们两两异面的概率为 6、在平面直角坐标系中，点集所对应的平面区域（如图所示）的面积为 7、设是正实数，若存在，使得，则的取值范围是 8、对四位数，若，则称为类数；若，则称为类数.用分别表示类数和类数的个数，则的值为 二、解答题：本大题共3小题
2、，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9、（本题满分16分）若实数满足，求的最小值。10、（本题满分20分）设是个有理数，使得，求的值。11、（本题满分20分）在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，设不经过焦点的直线与椭圆交于两个不同的的，点到直线的距离为，如果直线，的斜率依次成等差数列，求的取值范围。2015年全国高中数学联合竞赛二试一、（本题满分40分）设实数（）是实数.证明：可以选取使得。二、（本题满分40分）设，其中是个互不相同的有限集合（），满足对任意的,均有，若.证明：存在，使得属于中至少个集合（这里表示有限集合的元素个数）。三、（本题满分50分）如图所示，内接于圆，为弧上一点，点在线段上，使得平分.过三点的圆与边交于点，连接交圆于点，连接并延长与边交于点，证明：。四、（本题满分50分）求具有下述性质得所有整数：对任意正整数，不整除。
