1、 2023 届湖北省二十一所重点中学高三第一次联考届湖北省二十一所重点中学高三第一次联考 数数 学学 本试卷共本试卷共 6页，页，22 小题，满分小题，满分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡指定位置上，并在相应位置填涂考生号指定位置上，并在相应位置填涂考生号 2作答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目选项的铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，
2、再选涂其他答案答案不能答答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上目指定区域内相应位置上.4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的
3、.1.已知集合1NPx xx=，28xQx=，则PQ=（）A.x|14x B.x|1x3 C.1，2 D.1，2，3 2.设复数 z 满足2izz=，2z=，复数 z 所对应的点位于第一象限，则1=z（）A 13i2+B.3i4 C.13i2+D.3i4+3.若将整个样本空间想象成一个 11的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（）A.事件 A发生的概率 B.事件 B发生的概率 C.事件 B不发生条件下事件 A 发生的概率 D.事件 A、B同时发生的概率 4.已知实数,m n，函数()2f xxmxn=+，满足()()230f
4、f，则22mmn+的.最大值为（）A.163 B.815 C.813 D.165 5.在数列 na中，已知，且131422nnaa+=+，则以下结论成立的是（）A.61a C.81a D.91a 6.椭圆2212516xy+=上的点到圆22(6)1xy+=上的点的距离的最大值是（）A.11 B.74 C.5 5 D.9 7.恰有一个实数x使得310 xax=成立，则实数a的取值范围为（）A.()3,2 B.33 2,2 C.3 22 D.3 2,2 8.已知四面体DABC中，1ACBCADBD=，则DABC体积的最大值为（）A.4 227 B.3 28 C.2 327 D.318 二、选择题：
5、本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分.9.已知函数12()|+|cosf xxxx=，则下列说法正确的是（）A.()f x是偶函数 B.()f x在（0，+）上单调递减 C.()f x是周期函数 D.()f x-1 恒成立 10.多选题已知抛物线212xy=的焦点为F，()11,M x y，()22,N xy是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A.点F的坐标为1
6、,08 B.若直线MN过点F，则12116x x=C.若MFNF=，则MN的最小值为12 D.若32MFNF+=，则线段MN的中点P到x轴的距离为58 11.如图，在棱长为 2的正方体1111ABCDABC D中，O为正方体的中心，M 为1DD的中点，F 为侧面正方形11AAD D内一动点，且满足1/B F平面1BC M，则（）A.若 P为正方体表面上一点，则满足OPA的面积为22的点有 12 个 B.动点 F 的轨迹是一条线段 C.三棱锥1FBC M的体积是随点 F的运动而变化的 D.若过 A，M，1C三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段1AQ长度的取值范围为2 6,2 23 12.画
7、法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆()2222:10 xyCabab+=的离心率为22，1F、2F分别为椭圆的左、右焦点，点A在椭圆上，直线22:0l bxayab+=，则（）A.直线l与蒙日圆相切 B.C的蒙日圆的方程为2222xya+=C.记点A到直线l的距离为d，则2dAF的最小值为()4 36 23b D.若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH的面积的最大值为28b 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知
8、()()2222224241112411baaabbabab+=+，则 的最大值为_，此时ab+=_.14.六名考生坐在两侧各有一条通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完试卷后立即离开座位走出教室.则其中至少有一人交卷时为到达通道而打扰其他尚在考试的同学的概率为 _.15.如图，11OAB，122A A B，233A A B是全等等腰直角三角形（12OB=，()1,2,3iB i=处为直角顶点），且O，1A，2A，3A四点共线.若点1P，2P，3P分别是边11AB，22A B，33A B上的动点（包含端点），则13OB OP=_，22OBOP 的取值范围为_.16.有一
9、个棱长为 6 的正四面体，其中有一半径为64的球自由运动，正四面体内未被球扫过的体积为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤步骤.17.已知ABC的外心为O，,M N为线段,AB AC上的两点，且O恰为MN中点.（1）证明：|AMMBANNC=（2）若|3AO=，|1OM=，求AMNABCSS的最大值.18.如图，在平面五边形ABCDE中，ABCD是梯形，/AD BC，22 2ADBC=，3AB=，90ABC=，ADE是等边三角形.现将ADE沿AD折起，连接EB、EC得如图的几何体.（1）
10、若点M是ED的中点，求证：/CM平面ABE；的（2）若3EC=，在棱EB上是否存在点F，使得二面角EADF的余弦值为2 23？若存在，求EFEB的值；若不存在，请说明理由.19.已知数列 na前n项和为nS，12a=，13(1)2nnnSSnan+=+.（1）求数列 na的通项公式；（2）若nnban=+，求数列 nb前n项和nT.20.微信小程序“党史知识竞赛”中“答题竞赛”版块有个“双人竞赛”栏目，可满足两人通过回答多个问题的形式进行竞赛.甲，乙两单位在联合开展党史学习教育特色实践活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没
11、有全部答对则均记 0 分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记 1 分，没有全部答对的单位记-1 分.设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为45，乙单位全部答对的概率为23，甲，乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响.（1）经过 1轮比赛，设甲单位的记分为 X，求 X 的分布列和期望；（2）若比赛采取 3 轮制，试计算第 3 轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率.21.如图，已知圆22:4O xy+=，点(1,0)B，以线段AB为直径的圆内切于圆 O，点A的集合记为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）已知直线:4l x=，3(1,)2Q，过点B的直线1l与C交于,M
12、 N两点，与直线l交于点K，记,QM QN QK的斜率分别为123,k k k，问：1223kkkk是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.的的 22.已知函数()e2xf xaxb=+在0 x=处的切线经过点()1,2.（1）若函数()f x至多有一个零点，求实数 a的取值范围；（2）若函数()f x有两个不同零点()1212,x xxx，求证：12211xxaax.（）的 2023 届湖北省二十一所重点中学高三第一次联考届湖北省二十一所重点中学高三第一次联考 数数 学学 本试卷共本试卷共 6页，页，22 小题，满分小题，满分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分
13、钟.注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡指定位置上，并在相应位置填涂考生号指定位置上，并在相应位置填涂考生号 2作答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目选项的铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题非选择题必须用黑色字迹的钢笔或
14、签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上目指定区域内相应位置上.4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1NPx xx=，28xQx=，则PQ=（）A.x|14x B.x|1x，即求.【详解】设()iR,Rzabab=+，则izab=，由复数 z 满足2izz=，2z=，复数 z所对应的点位于
15、第一象限，则222240,0babab=+=，解得3,1ab=，113i43iz=+.故选：B.3.若将整个样本空间想象成一个 11的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（）A.事件 A 发生的概率 B.事件 B 发生的概率 C.事件 B 不发生条件下事件 A 发生的概率 D.事件 A、B 同时发生的概率【答案】A【解析】【分析】根据图示，表示出涂色部分的面积，利用条件概率的概率公式整理化简，即可求得答案.【详解】由题意可得，如图所示的涂色部分的面积为(|)()1()(|)P A B P BP B P A B+()()(|)(
16、)()()P ABP B P A BP ABP ABP A=+=+=,故选：A 4.已知实数,m n，函数()2f xxmxn=+，满足()()230ff，则22mmn+的最大值为（）A.163 B.815 C.813 D.165【答案】B【解析】【分析】设12,x x是()f x的两个零点且122,3,Rxx，应用根与系数关系求得12xxm+=，12x xn=，进而代换目标式得到以1x为参数、2x为自变量的二次函数，由二次函数的性质可得4211221xmmnx+，构造函数并应用导数研究单调性，即可求最大值.【详解】令12,x x是()f x的两个零点，由题设若122,3,Rxx，由根与系数关
17、系有：12xxm+=，12x xn=，所以122222121121221122()2()()(12)2(1)()mmnx xxx xxhxxxxxxx+=+=+，由11 20 x，所以()g x在2,3x上递增，则16 81(),35g x.综上，max81()5g x=，此时3x=，所以13x=时，22mmn+的最大值815.故选：B.【点睛】关键点点睛：设()f x零点并注意122,3,Rxx，由根与系数关系用零点表示 m、n，进而转化为以2x为自变量的二次函数形式，根据其开口方向及其最值得到不等关系，最后构造函数并应用导数求不等式中关于1x表达式的值域.5.在数列 na中，已知，且131
18、422nnaa+=+，则以下结论成立的是（）A.61a C.81a D.91a 【答案】C【解析】【分析】先根据递推公式可得1111311nnnnaaaa+=，得出 na的通项公式，从而验证得出答案.的【详解】123142221nnnnaaaa+=+=+，则111321nnnaaa+=+，11121nnnaaa+=+若 na中存在某项0n，使得01na=，则可得1na=这与条件中21a 相矛盾.所以1na，将上面两式相除可得1111311nnnnaaaa+=所以数列11nnaa+是公比为3的等比数列.则()22211311nnnaaaa+=，设()2213,91ata+=，则()22131nn
19、at=+所以()66 22211181131att=+=+()77 25221113131att=+=()99 27221113131att=+=+故选：C 6.椭圆2212516xy+=上的点到圆22(6)1xy+=上的点的距离的最大值是（）A.11 B.74 C.5 5 D.9【答案】A【解析】【分析】题意转化为椭圆2212516xy+=上的点到圆的圆心距离的最大值加上 1，利用参数法，即可求得结论【详解】依题意得所求即为椭圆2212516xy+=上的点到圆的圆心距离的最大值加上 1，设椭圆2212516xy+=上的点为()5cos,4sin，则椭圆2212516xy+=上的点到圆的圆心距
20、离为()()2222 5cos4sin625cos16sin48sin36+=+，229sin48sin6189 sin1253=+=+sin1=时，椭圆2212516xy+=上的点到圆的圆心距离的最大值为 10，椭圆2212516xy+=上的点到圆22(6)1xy+=上的点的距离的最大值为 11，故选：A 7.恰有一个实数x使得310 xax=成立，则实数a的取值范围为（）A.()3,2 B.33 2,2 C.3 22 D.3 2,2【答案】B【解析】【分析】首先分析0 x=不是方程的根，故将其转化为21axx=，继而转化为ya=与21()f xxx=的图像仅有一个交点，对函数()f x求导
21、研究其单调性即可【详解】解：当0 x=时，10-=不成立，所以0 x=不是方程的根，故对原方程转化为21axx=，故转化为ya=与21()f xxx=仅有一个交点，构造21()f xxx=，322121()2xfxxxx+=+=，当3102x时，()0fx，当312x 时，()0fx时，()+cosf xxxx=()1+sin02xfxxx=+恒成立，则()f x为()0+，上增函数.故选项 B 判断错误；选项 C判断错误；又()f x为偶函数，则()f x为(),0-上减函数 又(0)0+0cos0=1f=，则()f x最小值为1.故选项 D判断正确；故选：AD 10.多选题已知抛物线212
22、xy=的焦点为F，()11,M x y，()22,N xy是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）的 A.点F的坐标为1,08 B.若直线MN过点F，则12116x x=C.若MFNF=，则MN的最小值为12 D.若32MFNF+=，则线段MN的中点P到x轴的距离为58【答案】BCD【解析】【分析】根据抛物线方程的标准形式求出焦点可判断 A；由抛物线的性质可判断 B、C；利用抛物线的焦半径公式可判断 D.【详解】易知点F的坐标为10,8，选项 A 错误；根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，212116x xp=，选项 B 正确；若MFNF=，则MN过点F，则MN的最小值即抛物线通径的长，为2p，
23、即12，选项 C正确，抛物线212xy=的焦点为10,8，准线方程为18y=，过点M，N，P分别作准线的垂线MM，NN，PP垂足分别为M，N，P，所以MMMF=，NNNF=所以32MMNNMFNF+=+=，所以线段324MMNNPP+=，所以线段MN的中点P到x轴的距离为13158488PP=，选项 D 正确 故选：BCD 11.如图，在棱长为 2的正方体1111ABCDABC D中，O为正方体的中心，M 为1DD的中点，F 为侧面正方形11AAD D内一动点，且满足1/B F平面1BC M，则（）A.若 P为正方体表面上一点，则满足OPA的面积为22的点有 12 个 B.动点 F 的轨迹是一
24、条线段 C.三棱锥1FBC M的体积是随点 F的运动而变化的 D.若过 A，M，1C三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段1AQ长度的取值范围为2 6,2 23【答案】BD【解析】【分析】选项 A：设O为底面正方形 ABCD的中心，根据OO A 的面积为1222AO OO=，由此可判断选项 A；选项 B：分别取1AA，11AD的中点 H，G，连接1BG，GH，1HB，1AD；证明平面1BGH 平面1BC M，从而得到点 F的轨迹为线段 GH.选项 C：根据选项 B可得出GH 平面1BC M，从而得到点 F 到平面1BC M的距离为定值，再结合1BC M的面积也为定值，从而可得到三棱锥1FB
25、C M的体积为定值.选项 D：设N为1BB的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面即为面1AMC N，从而线段1AQ长度的最大值为线段11AC的长，最小值为四棱锥11AAMC N以1A为顶点的高.【详解】对于 A：设O为底面正方形 ABCD的中心，连接AO，AO，OO，则122AOAC=，1112OOAA=，所以OO A 的面积为1122 1222AO OO=，所以在底面 ABCD上点 P与点O必重合，同理正方形11ABB A的中心，正方形11ADD A的中心都满足题意.又当点 P 为正方体各条棱的中点时也满足OPA的面积为22，故 A不正确；对于 B：如图，分别取1AA，11AD的中点
26、H，G，连接1BG，GH，1HB，1AD 因为11B HC M，1GHBC，1B H 平面BHG，1C M 平面1BC M，GH 平面BHG，1C B 面1BC M，111BCC MC=，所以平面1BGH 平面1BC M，而1B F平面1BC M，所以1B F 平面1BGH，所以点 F 的轨迹为线段 GH，故 B 正确；对于 C：由选项 B 可知，点 F 的轨迹为线段 GH，因为GH 平面1BC M，则点 F 到平面1BC M的距离为定值，同时1BC M的面积也为定值，则三棱锥1FBC M的体积为定值，故 C不正确；对于 D：如图，设平面与平面11AAB B交于 AN，N在1BB上 因为截面平
27、面11AAD DAM=，平面11AAD D平面11BBC C，所以1AMC N 同理可证1ANC M，所以截面1AMC N为平行四边形，所以点 N为1BB的中点 在四棱锥11AAMC N中，侧棱11AC最长，且112 2AC=设棱锥11AAMC N的高为 h，因为15AMC M=，所以四边形1AMC N为菱形，所以1AMC的边1AC上的高为面对角线的一半，即为2，又12 3AC=，则112 3262AMCS=，1111111142 2 23323CAAMAAMVSDC=，所以11111164333AAMCAMCCAAMVShhV=，解得2 63h=综上，可知1AQ长度的取值范围是2 6,2 2
28、3，故 D正确 故选：BD 12.画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆()2222:10 xyCabab+=的离心率为22，1F、2F分别为椭圆的左、右焦点，点A在椭圆上，直线22:0l bxayab+=，则（）A.直线l与蒙日圆相切 B.C的蒙日圆的方程为2222xya+=C.记点A到直线l的距离为d，则2dAF的最小值为()4 36 23b D.若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH的面积的最大值为28b【答案】AC【解析】【分析】分析可得出222ab=，求出蒙日圆的方程，可
29、判断 B选项的正误；利用直线与圆的位置关系可判断 A选项；利用椭圆的定义和点到直线的距离公式可判断 C选项的正误；分析可知矩形MNGH的四个顶点都在蒙日圆上，利用基本不等式可判断 D选项的正误.【详解】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为xa=、yb=，所以，点(),ab在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为2222xyab+=+，因为2222222212ccabbeaaaa=，可得222ab=.对于 A选项，蒙日圆圆心到直线l的距离为222222abdabab+=+，所以，直线l与蒙日圆相切，A 对；对于 B 选项，C的蒙日圆的方程为2222232xabya=+，B错；对于 C选项，由椭圆
30、的定义可得1222 2AFAFab+=，则212 2AFbAF=，所以，212 2bdFdAFA=+，因为22cab=，直线l的方程为230 xyb+=，点()1,0Fb到直线l的距离为44 333bdb=，所以，()214 36 22 22 23dAbdAFbdbF=+=，当且仅当1AFl时，等号成立，C对；对于 D选项，若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH的四个顶点都在蒙日圆上，所以，()22222 312MNMHbb+=，所以，矩形MNGH的面积为22262MNMHSMNMHb+=，D错.故选：AC.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共
31、分，共 20 分分.13.已知()()2222224241112411baaabbabab+=+，则 的最大值为_，此时ab+=_.【答案】.-2 .0【解析】【分析】将222242411aababb+化为22241111aabb+，由条件利 用均值不等式可得出答案.【详解】()()()()2222222222224411422411411411baabbaababababab+=+()()222222441124baababab+=+()()()222224112411ababaabb=+=+222224112411111122aabbaabb=+=+当且仅当()()222211241124
32、111aabbaabb=+=，即()222411aa+=，211bb+=时等号成立.由2241422aaaa+=，则22410aa+，所以22411aa+=，解得0a=由211bb+=，可得0b=故0ab+=故答案为：2；0 14.六名考生坐在两侧各有一条通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完试卷后立即离开座位走出教室.则其中至少有一人交卷时为到达通道而打扰其他尚在考试的同学的概率为 _.【答案】4345【解析】【详解】要不打扰其他尚在考试的同学，必须每次坐其两旁的同学先离开，即每次有两种选择，于是，共有52种可能.故所求概率为524316!45=.15.如图，11OA
33、B，122A A B，233A A B是全等的等腰直角三角形（12OB=，()1,2,3iB i=处为直角顶点），且O，1A，2A，3A四点共线.若点1P，2P，3P分别是边11AB，22A B，33A B上的动点（包含端点），则13OB OP=_，22OBOP 的取值 范围为_.【答案】.6 .10,12【解析】【分析】如图：以O为原点，以1OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出各点坐标，进而可得直线11AB，22A B，33A B的方程，设出1P，2P，3P的坐标，结合横坐标的范围以及数量积的坐标表示即可求解.【详解】如图：以O为原点，以1OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则(
34、)0,0O，()12,0A，()24,0A，()36,0A，()11,1B，()23,1B，()35,1B，直线11AB的方程为：2yx=+，设()111,2P xx，且11,2x，直线22A B的方程为：4yx=+，设()222,4P xx，且23,4x，直线33A B的方程为：6yx=+，设()333,6P xx，且35,6x，所以()11,1OB=，()333,6xxOP=，133366OB OPxx=+=，()23,1OB=，()222,4OPxx=，所以22222344210,12OBOPxxx=+=+，故答案为：6；10,12.16.有一个棱长为 6 的正四面体，其中有一半径为64
35、的球自由运动，正四面体内未被球扫过的体积为 【答案】12716279 2cos838+【解析】【分析】先考虑球运动到四个顶点位置时，由棱锥的体积减去球的体积求出此部分的体积；再考虑球沿着PA方向运动且始终与二面角BPAC相切时，得到未被球扫过空间 均为相同的柱体，求出柱体的体积，即可求得正四面体内未被球扫过的体积.【详解】如图设正四面体PABC，当球运动到与平面PAB、平面PAC、平面PBC相切时，可得此时球无法继续向上运动，设切点分别为,E F D，则此时球面与正四面体顶点P之间的部分球无法扫过，同理可得正四面体顶点,A B C均有相同的空间未被球扫过，作与平面ABC平行且与此时球相切的平面
36、111ABC，易得棱锥111PABC为正四面体，设棱长为a，作PG 平面111ABC于G，则PG经过球心O，易得221213343AGaaa=，则223633PGaaa=，则正四面体111PABC的体积1 1 1311362322312P A B CVaaaa=，表面积2134322Saaa=，设球半径为r，则1 1 113P A B CVSr=，即3221631234aa=，解得3a=，作 EHPA，易得H为1PA中点，则32PH=，设 4个顶点处未被球扫过空间的体积为1V，球的体积为OV，可得1 1 1312469 2627123448P A B COVVV=；当球沿着PA方向运动且始终与
37、二面角BPAC相切时，设球与平面PAB、平面PAC的切点始终为,E F，过,E F的大圆与PA交于M，由垂径定理知OMPA，又,OE OFPA，易得,ME MFPA，则EMF即为二面角BPAC的平面角，易得未被球扫过的部分为柱体，且柱体的底面为扇形OEF与四边形MEOF之间的部分，设PA中点为N，连接,BN CN，易得,BNPA CNPA，则BNC即为二面角BPAC平面角，又3 3BNCN=，由余弦定理得()()2223 33 361cos32 3 3 3 3BNC+=，则11cos3BNC=，则21cos2cos13EMFEMO=，则6cos3EMO=，2tan2EMO=，则322MEOE=
38、，设扇形OEF与四边形MEOF之间部分面积为1S，扇形OEF面积为OEFS，11cos3EOFEMF=,则2111361163 231coscos242348163MEOFOEFSSS=，由上知32PH=，又6PA=，则柱体的高为336322=，正四面体PABC的六条棱未被球扫过空间均为相同的柱体，设这部分体积为2V，则1123 23127 227271cos3 6cos81634883V=+，则正四面体内未被的 球扫过的体积为1122716279 2cos838VV+=+.故答案为：12716279 2cos838+.【点睛】本题关键点在于将正四面体内未被球扫过的空间分为两部分，第一部分为球
39、运动到四个顶点位置时，球面与正四面体顶点之间的部分；第二部分为当球沿着PA方向运动且始终与二面角BPAC相切时，球面与二面角之间的柱体部分，再由几何体的体积公式求解即可.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤步骤.17.已知ABC的外心为O，,M N为线段,AB AC上的两点，且O恰为MN中点.（1）证明：|AMMBANNC=（2）若|3AO=，|1OM=，求AMNABCSS的最大值.【答案】（1）证明见解析 （2）49【解析】【分析】（1）设1122,AMx BMyANxCNy=，利用余弦
40、定理求得cosAMO，cosBMO，再根据coscos0AMOBMO+=，化简，可求得11x y，同理可求得22x y，即可得证；（2）利用余弦定理求得cosAOM，cosAON，再根据coscos0AOMAON+=结合（1）求得2212xx+，设1212,xxyy=，可求得+，再根据三角形的面积公式结合基本不等式即可得出答案.【小问 1 详解】证明：设1122,AMx BMyANxCNy=，由余弦定理知：22211cos2xOMAOAMOx OM+=，22211cos2yOMBOBMOyOM+=，由O是ABC外心知AOBOCO=，而coscos0AMOBMO+=，所以222222111102
41、2xOMAOyOMBOx OMyOM+=，即221111()()0 x yOMAOxy+=，而110 xy+，因此2211x yAOOM=，同理可知2222x yAOON=，因此1122x yx y=，所以|AMMBANNC=；【小问 2 详解】解：由（1）知11222x yx y=，由余弦定理知：2221cos2AOOMxAOMAO OM+=，2222cos2AOONxAONAO ON+=，代入coscos0AOMAON+=得22128xx+=，设1212,xxyy=，则2212422xx+=+=，因此11455(1)(1)9114AMNABCSAM BMSAB AC=+，当且仅当2=时取到
42、等号，因此AMNABCSS的最大值为49.18.如图，在平面五边形ABCDE中，ABCD是梯形，/AD BC，22 2ADBC=，3AB=，90ABC=，ADE是等边三角形.现将ADE沿AD折起，连接EB、EC得如图的几何体.（1）若点M是ED的中点，求证：/CM平面ABE；（2）若3EC=，在棱EB上是否存在点F，使得二面角EADF的余弦值为2 23？若存在，求EFEB的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在；13EFEB=.【解析】【分析】（1）取AE的中点N，连接MN、BN，证明出四边形BCMN为平行四边形，可得出/CM BN，再利用线面平行的判定定理可得出结论；
43、（2）取AD中点O，连接OC、OE，推导出OC、OD、OE两两垂直，然后以点O为原点，分别以射线OC、OA、OE为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系，设()01EFEB=，利用空间向量法结合二面角EADF的余弦值为2 23可求得的值，进而可求得EFEB的值，由此可得出结论.【详解】（1）取AE中点N，连接MN、BN，则MN是EAD的中位线，/MN AD且12MNAD=，/BC AD且12BCAD=，/BC MN且BCMN=，则四边形BCMN是平行四边形，/CM BN，又CM 平面ABE，BN 平面ABE，/CM平面ABE；（2）取AD中点O，连接OC、OE，易得OEAD，OCAD，在COE中
44、，由已知3CE=，3OCAB=，32 262OE=.222OCOECE+=，OCOE，所以，OC、OD、OE两两垂直，以O为原点，分别以射线OC、OA、OE为x、y、z轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,2,0A、()3,2,0B、()0,2,0D、()0,0,6E，则()3,2,6EB=，()0,2,6AE=，()0,2 2,0AD=，假设在棱EB上存在点F满足题意，设()01EFEB=，则()3,2,6EF=，()3,22,66AFAEEF=+=，设平面ADF的一个法向量为(),mx y z=，则00m AFm AD=，即()()3226602 20 xyzy+=，令z=，得平面
45、ADF的一个法向量()22,0,m=，又平面EAD的一个法向量()1,0,0n=，由已知()()22212 2cos,321m nm nmn=+，整理得23210+=，解得13=（1=舍去），因此，在棱EB上存在点F，使得二面角EADF的余弦值为2 23，且13EFEB=.【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用二面角的余弦值解决动点问题，考查计算能力与推理能力，属于中等题.19.已知数列 na前n项和为nS，12a=，13(1)2nnnSSnan+=+.（1）求数列 na的通项公式；（2）若nnban=+，求数列 nb的前n项和nT.【答案】（1）3nnann=；（2）1(21)33
46、44nnnT+=+.【解析】【分析】（1）由13(1)(2)nnnSSnan+=+整理可得1321nnaann+=+；进而得到1nan+是首项为3，公比为 3 的等比数列，即可求出其通项，从而求得结论；（2）利用第一问的结论，求得数列 nb的通项，再结合错位相减法即可求得结论【详解】解：（1）由题知113(1)2nnnnaaSSnn+=+，即1321nnaann+=+，即11311nnaann+=+，11a=，1130a+=，10nan+，数列1nan+是首项为 3，公比为 3 的等比数列，13nnan+=，3nnann=；（2）由（1）知，3nnbn=，221 3233 33nnTn=+，2
47、3131 323(1)33nnnTnn+=+，得，()123113 1 3(1 2)3323333331 322nnnnnnnTnn+=+=，1(21)3344nnnT+=+.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和 20.微信小程序“党史知识竞赛”中的“答题竞赛”版块有个“双人竞赛”栏目，可满足两人通过回答多个问题的形式进行竞赛.甲，乙两单位在联合开展党史学习教育特色实践活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派
48、出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记 0 分；一单位全部答对而另一单位没有全部答 对，则全部答对的单位记 1 分，没有全部答对的单位记-1 分.设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为45，乙单位全部答对的概率为23，甲，乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响.（1）经过 1轮比赛，设甲单位记分为 X，求 X的分布列和期望；（2）若比赛采取 3 轮制，试计算第 3 轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率.【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：215 （2）26135【解析】【分析】（1）理解题意，列出随机变量 X所有可能的取值，然后相互独立事件的性质求解即
49、可.（2）通过列举法列出 3 轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的所有情况，然后利用小问（1）中所得的结果进行计算.【小问 1 详解】由题意 X 的取值可能为1，0，1，则422(1)15315P X=，42423(0)1153535P X=+=，424(1)15315P X=，那么 X的分布列为：X 1 0 1 P 215 35 415 2342()1011551515E X=+=.【小问 2 详解】第 3轮比赛后，甲单位累计得分低于乙单位的 3轮计分有四种情况（不按先后顺序）：1,1,1 ；1,1,0；1,1,1 +；1,0,0，的 所以3322222233223243=151551
50、515515135226PCCC=+.21.如图，已知圆22:4O xy+=，点(1,0)B，以线段AB为直径的圆内切于圆 O，点A的集合记为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）已知直线:4l x=，3(1,)2Q，过点B的直线1l与C交于,M N两点，与直线l交于点K，记,QM QN QK的斜率分别为123,k k k，问：1223kkkk是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22143xy+=（2）是定值，证明见解析，2【解析】【分析】(1)按照所给的条件，分析图中的几何关系即可；(2)作图，联立方程，按步骤写出相应点的坐标，求对应的斜率即可.【小问 1
