1、数学悖论与三次数学危机数学悖论与三次数学危机学科教学（数学）康健1.毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机2.贝克莱悖论与第二次数学危机3.罗素悖论与第三次数学危机几何定理中的几何定理中的“黄金黄金”：勾股定理：勾股定理 你知道吗？你知道吗？在数学发展过程中勾股定理的发现，引出了在数学发展过程中勾股定理的发现，引出了数学上另一重要发现（无理数），进而在西方数学界掀起数学上另一重要发现（无理数），进而在西方数学界掀起了一场巨大风波。了一场巨大风波。智慧之神：智慧之神：毕达哥拉斯毕达哥拉斯 毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派 毕达哥拉斯悖论毕达哥拉斯悖论 第一次数学危机第一次数学危机 第一次数学危机的影响第一次
2、数学危机的影响222cbaabc 毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（约公元前约公元前580580前前500500），古），古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，音乐希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，音乐家、教育家。家、教育家。在生前，这位超凡的天才人物已经被人们在生前，这位超凡的天才人物已经被人们神话。由于人们对他的智慧感到不可思议，又神话。由于人们对他的智慧感到不可思议，又有人说他的大腿上有一个金色胎记，以至于人有人说他的大腿上有一个金色胎记，以至于人们相信他是太阳神阿波罗的儿子。们相信他是太阳神阿波罗的儿子。受到当时哲人的指点，毕达哥拉斯踏上了东方游学之受到当时哲人的指点，毕达哥拉斯踏上了东方游学
3、之旅。他先到了埃及，在那里不仅学习埃及人的几何学，而旅。他先到了埃及，在那里不仅学习埃及人的几何学，而且成为学习埃及象形文字的第一个希腊人。在埃及逗留了且成为学习埃及象形文字的第一个希腊人。在埃及逗留了至少至少1313年后，毕达哥拉斯到了古巴比伦，在那里获得了巴年后，毕达哥拉斯到了古巴比伦，在那里获得了巴比伦数学的全部知识。或许后来他还到达了更远的印度，比伦数学的全部知识。或许后来他还到达了更远的印度，无论到了哪里，它都不断向有学问的人请教，接受当地流无论到了哪里，它都不断向有学问的人请教，接受当地流传的天文数学等方面的知识，以丰富自己的见解，重要的传的天文数学等方面的知识，以丰富自己的见解，
4、重要的是，他不仅懂得刻苦学习，而且更善于认真思考。在经过是，他不仅懂得刻苦学习，而且更善于认真思考。在经过兼收并蓄、汲取各家所长后，毕达哥拉斯形成并完善了自兼收并蓄、汲取各家所长后，毕达哥拉斯形成并完善了自己的思想。己的思想。在外面经历了漫长的游历岁月后，这位年近在外面经历了漫长的游历岁月后，这位年近半百的智者回到家乡并开始讲学。在广收门徒后，半百的智者回到家乡并开始讲学。在广收门徒后，毕达哥拉斯建立了一个组织严密，并带有宗教色毕达哥拉斯建立了一个组织严密，并带有宗教色彩的学派彩的学派毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯学派。公元前六世纪，毕达哥拉斯学派在古希腊学公元前六世纪，毕达哥拉斯学派在古希腊学术
5、界占统治地位，其思想在当时被认为是绝对权术界占统治地位，其思想在当时被认为是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论唯数论”的哲学观点，他们认为宇宙的本质就的哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐。是数的和谐。他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数，两个整数的（即分数，两个整数的比），比），除此之外不再有别的数，即是说世界上只除此之外不再有别的数，即是说世界上只有整数或分数。有整数或分数。毕达哥拉斯悖论毕达哥拉斯学派对几何进行了研究，让我们看看他们是如何比较两条线段的长度的。在比较两条线段a和b（设ba）的长度时，
6、如果出现b恰好是a的正整数r倍时，我们可以直接使用a作为两者的共同度量单位。更一般的情况下的a正整数倍不等于b。这时，可以去找一条小线段d，使a可以分成d的某整数（比如n倍），同时使b可以分成d的另一整数倍（比如m倍），那么毕达哥拉斯学派就把小线段d作为a与b的共同度量单位，并说线段a与b是可公约或可公度的（d就是两者的共同度量单位）这个过程相当于先用短些的线段当尺子去测量长的。如果一次量尽，度量结束;如果一次量不尽，就用余数作为尺子去量那个短些的线段，如果量尽，度量结束；如果不量尽，就用新的余数作为尺子去量上次的余数依次下去，直到某一次的余数等于零，度量结束。这时，结束前一次的余数就是我们要
7、找的共同度量单位。对于任意长度的两条线段来说，毕达哥拉斯学派成员相信上面的操作过程总会在进行有限步后结束。他们相信只要把单位线段取的适当短，总可以把两条线段同时量尽，只是需要耐心。因此，任意两个同类量是可通约的，或者说是可公度的。风波乍起：第一次数学危机的出现风波乍起：第一次数学危机的出现 转折是从毕达哥拉斯提出勾股定理开始的。他的一个学生希帕索斯在在摆弄老师的著名成果时，想到这样一个问题：正方形的对角线与边长这两条线段是不是可通约的呢？然而经过认真的思考，他发现，这两条线段不存在共同的度量单位，不管度量单位取的多么小，都不能成为正方形的边与对角线的共同度量单位。一句话，正方形的边和对角线是不
8、可公度的。用反证法证明如下：设RtABC，两直角边为a=b，则由勾股定理有 ，设已将a和c中的公约数约去，即a、c已经互素，于是c为偶数，a为奇数，不妨令c=2m，有 ，于是a为偶数，这与前面已证a为奇数矛盾。这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。222ac 2222am222ma 第一次数学危机的影响 毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱。第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学科的发展。首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的
9、存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类实数，并建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。再者，第一次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系。欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在这时候应运而生的。第一次数学危机极大地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。第二次数学危机的内容 公元17世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，微积分能提示和解释许多自然现象，它在自然科
10、学的理论研究和实际应用中的重要作用引起人们高度的重视。然而，因为微积分才刚刚建立起来，这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在漏洞，还不能自圆其说。例如牛顿当时是这样求函数 的导数：然后用自变量的增量x除以函数的增量y，最后，扔掉其中含有无穷小量x的项，即得函数 的导数为nnnnnxxxnnxxnxxx22121nxy1nxny122121nnnnnnxxxnxxnnxnxxxxxynxy 对于牛顿对导数求导过程的论述，哲学家贝克莱很快发现了其中的问题，他一针见血的指出：先用x为除数除以y，说明x不等于零，而后又扔掉含有x的项，则又说明x等于零，这岂不是自相矛盾吗？因此贝克莱
11、嘲弄无穷小是“逝去的量的鬼魂”，他认为微积分是依靠双重的错误得到了正确的结果，说微积分的推导是“分明的诡辩”。这就是著名的“贝克莱悖论贝克莱悖论”。确实，这种在同一问题的讨论中，将所谓的无穷小量有时作为0，有时又异于0的做法，不得不让人怀疑。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？贝克莱悖论的出现危及到了微积分的基础，引起了数学界长达两个多世纪的论战，从而形成了数学发展史中的第二次危机。第二次数学危机的影响 第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待无穷小量x，为了克服由此引起思维上的混乱，解决这一危机，无数人投入大量的劳动。在初期，经过欧拉、拉格朗日等人的努力,微积分取得了一些进
12、展；从19世纪开始为彻底解决微积分的基础问题，柯西、魏尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作。微积分内在的根本微积分内在的根本矛盾，就是怎样用数学的和逻辑的方法来表现无穷小，从矛盾，就是怎样用数学的和逻辑的方法来表现无穷小，从而表现与无穷小紧密相关的微积分的本质而表现与无穷小紧密相关的微积分的本质。在解决使无穷小数学化的问题上，出现了罗比达公理：一个量增加或减少与之相比是无穷小的另一个量，则可认为它保持不变。而柯西采用的方法刻画无穷小，把无穷小定义为以0为极限的变量，沿用到今，无穷小被极限代替了。后来魏尔斯特拉斯又把它明确化，给出了极限的严格定义，建立了极限理论，这样就使微积分建立在极限基
13、础之上了。极限理论的建立加速了微积分的发展，它不仅在数学上，而且在认识论上也有重大的意义。后来在考查极限理论的基础中，经过代德金、康托尔、海涅、魏尔斯特拉斯和巴门赫等人的努力，产生了实数理论；在考查实数理论的基础时，康托尔又创立了集合论。这样有了极限理论、实数理论和集合论三大理论后，微积分才算建立在比较稳固和完美的基础之上了，从而结束了二百多年的纷乱争论局面，进而开辟了下一个世纪的函数论的发展道路。第三次数学危机的内容 在前两次数学危机解决后不到30年即19世纪70年代,德国数学家康托尔创立了集合论康托尔创立了集合论,集合论是数学上最具革命性的理论,初衷是为整个数学大厦奠定坚实的基础。1900
14、年，在巴黎召开的国际数学家会议上，法国大数学家庞加莱兴奋的宣布：“我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。”然而，正当人们为集合论的诞生而欢欣鼓舞之时,一串串数学悖论却冒了出来，又搅得数学家心里忐忑不安,其中英国数学家罗素罗素1902年提出的悖论影响最大,“罗素悖论罗素悖论”的内容是这样的：设集合B是一切不以自身为元素的集合所组成的集合，问：B是否属于B？若B属于B，则B是B的元素，于是B不属于自身，即B不属于B；反之，若B不属于B，则B不是B的元素，于是B属于自己，即B属于B。这样，利用集合的概念，罗素导出了集合B不属于B当且仅当集合B属于B时成立的悖论。罗素罗素（18721970），），
15、英国著名数学家、哲学家。英国著名数学家、哲学家。出身于贵族家庭，从小和祖父母生活在一起。祖母对的出身于贵族家庭，从小和祖父母生活在一起。祖母对的童年和青少年时期的发展有过决定性的影响。由于他的一童年和青少年时期的发展有过决定性的影响。由于他的一个叔叔的影响，他从小就对科学产生了兴趣。在哥哥的帮个叔叔的影响，他从小就对科学产生了兴趣。在哥哥的帮助下，他助下，他1111岁开始学习欧式几何，这是他智慧发展的重要岁开始学习欧式几何，这是他智慧发展的重要转折。转折。1980 1980年年1010月，罗素考入剑桥大学，在三一学院学习月，罗素考入剑桥大学，在三一学院学习数学和哲学。在此期间，他结识了当时剑桥
16、大学数学讲师数学和哲学。在此期间，他结识了当时剑桥大学数学讲师怀特海等人。怀特海等人。18951895年他在剑桥三一学院或研究员的职位。年他在剑桥三一学院或研究员的职位。2020世纪初，他发现著名的罗素悖论，引发了了一场新的数世纪初，他发现著名的罗素悖论，引发了了一场新的数学危机。其后学危机。其后1010多年间，他投身于数学基础与数理逻辑的多年间，他投身于数学基础与数理逻辑的研究之中，以期摆脱悖论并重建数学的基础。研究之中，以期摆脱悖论并重建数学的基础。从从19161916年至年至2020世纪世纪3030年代后期，罗素以写作和公开年代后期，罗素以写作和公开演讲为生。演讲为生。19201920年
17、，曾应邀到中国来讲学一年，给我国哲年，曾应邀到中国来讲学一年，给我国哲学界以很大影响。学界以很大影响。20 20世纪世纪5050年代后，罗素从哲学转向国际政治，他反年代后，罗素从哲学转向国际政治，他反对核战争、主张核裁军。由于积极从事政治活动，他晚年对核战争、主张核裁军。由于积极从事政治活动，他晚年享有世界范围内的名望。享有世界范围内的名望。1950 1950年，罗素获得诺贝尔文学奖。诺贝尔奖金委员会年，罗素获得诺贝尔文学奖。诺贝尔奖金委员会在授奖时称他为在授奖时称他为“当代理性和人道的最杰出的代言人之一，当代理性和人道的最杰出的代言人之一，西方自由言论和自由思想的无畏斗士西方自由言论和自由思
18、想的无畏斗士”。罗素悖论的通俗版本，即理发师悖论。理发师宣布了这样一条原则：他只为村子里不给自己刮胡子的人刮胡子。那么现在的问题是，理发师的胡子应该由谁来刮？。如果他自己给自己刮胡子，那么他就是村子里给自己刮胡子的人，根据他的原则，他就不应给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就是村子里不给自己刮胡子的人，那么又按他的原则他就该为自己刮胡子。同样有产生了这样的悖论：理发师给自己刮胡子当且仅当理发师不给自己刮胡子。这就是历史上著名的罗素悖论。罗素悖论的出现，动摇了数学的基础，震撼了整个数学界，导致了第三次数学危机。第三次数学危机的影响罗素悖论的出现，动摇了本来作为整个数学大厦的基础集合论，自
19、然引起人们对数学基本结构有效性的怀疑。罗素悖论的高明之处，还在于它只是用了集合的概念本身，而并不涉及其它概念而得出来的，使人们更是无从下手解决。罗素悖论导致的第三次数学危机，使数学家们面临着极大的困难。第三次数学危机使人们面临多么尴尬的境地，然而科学面前没有人会回避，数学家们立即投入到了消除悖论的工作中，值得庆幸的是，产生罗素悖论的根源很快被找到了，原来康托尔提出集合论时对“集合”的概念没有做必要的限制，以至于可以构造“一切集合的集体”这种过大的集合而产生了悖论。为了从根本上消除集合论中出现罗素悖论，许多数学家进行了不懈的努力。最重要的是德国数学家策梅罗提出的集合论的公理化，策梅罗认为，适当的
20、公理体系可以限制集合的概念，从逻辑上保证集合的纯粹性，他首次提出了集合论公理系统，后经费兰克尔、冯诺伊曼等人的补充形成了一个完整的集合论公理体系（ZFC系统），在ZFC系统中，“集合”和“属于”是两个不加定义的原始概念，另外还有十条公理。ZFCZFC系统的建立系统的建立，使各种矛盾得到回避，从而消除了罗素悖论为代表的一系列集合悖论，第三次数学危机也随之销声匿迹了。尽管悖论消除了，但数学的确定性却在一步一步丧失，现代公理集合论一大堆公理是在很难说孰真孰假，可是又不能把它们一古脑消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的，所以第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续。为了消除第三次数学危机，数理逻辑也取得了很大发展，证明论、模型论和递归论相继诞生，出现了数学基础理论、类型论和多值逻辑等。可以说第三次数学危机大大促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性，而且也因此直接造成了数学哲学研究的“黄金时代”。
