1、 联立方程计量经济学模型理论与方法 联立方程计量经济学模型的提联立方程计量经济学模型的提出出一、经济研究中的联立方程计量经济学问题经济系统问题：国民经济、地区经济、某一项经济活动等。第1页，共46页。以一个国内生产总值（Y）、居民消费总额（C）、投资总额（I）和政府消费额（G）构成的 简单宏观经济系统为例。如果将政府消费额由系统外部给定，并对系统内部其它的变量产生影响，就国内生产总值、居民消费额、投资总额来讲是互相影响并互为因果的。居民消费和投资当然取决于国内生产总值，但反过来又影响国内生产总值。所以就无法用一个方程描述它们之间的关系，就需要建立一个由多个方程组成的方程系统。如，可以建立如下的
2、模型：第2页，共46页。二、计量经济学方法中的联立方程问题联立方程用单方程模型估计的问题1 随机解释变量问题2 损失变量信息问题3 损失方程之间的相关性信息问题tttttttttttGICYYYIYC21210110第3页，共46页。6.26.2联立方程计量经济学模型的若干联立方程计量经济学模型的若干基本概念基本概念 变量变量结构式模型结构式模型Structural ModelStructural Model简化式模型简化式模型Reduced-Form ModelReduced-Form Model参数关系体系参数关系体系第4页，共46页。内生变量内生变量（Endogenous Variabl
3、es）内生变量是由模型系统决定的，同时也对内生变量是由模型系统决定的，同时也对模型系统产生影响。模型系统产生影响。内生变量是具有某种概率分布的随机变量内生变量是具有某种概率分布的随机变量,一般情况下，内生变量与随机项相关一般情况下，内生变量与随机项相关.内生变量既作为被解释变量，又可以在不内生变量既作为被解释变量，又可以在不同的方程中作为解释变量。同的方程中作为解释变量。tttttttttttGICYYYIYC21210110第5页，共46页。一般情况，内生变量满足)Y(E )E(E(Y-)E(Y )Y(EYE()(E()Y(EYE),(0),(E0),(iiiiiiiiiiiii）（）（因为
4、即iiiiiiYCovYYCov第6页，共46页。外生变量外生变量(Exogenous Variables)外生变量一般是确定性变量外生变量一般是确定性变量,外生变量影响外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。系统，但本身不受系统的影响。一般情况下，外生变量与随机项不相关。一般情况下，外生变量与随机项不相关。第7页，共46页。前定（先决）变量前定（先决）变量（Predetermined Variables）外生变量与滞后内生变量外生变量与滞后内生变量(Lagged Endogenous Variables)统称为先决变量。统称为先决变量。先决变量只能作为解释变量。先决变量只能作为解释变量。如果
5、如果0s 0)E(Y0s 0)E(iisisi那么第8页，共46页。结构式模型的定义结构式模型的定义 根据根据经济理论经济理论和和行为规律行为规律建立的描述经济变建立的描述经济变量之间直接结构关系的计量经济学方程系统量之间直接结构关系的计量经济学方程系统 结构式模型中的每一个方程都是结构式模型中的每一个方程都是结构方程结构方程 各个结构方程的参数被称为各个结构方程的参数被称为结构参数结构参数第9页，共46页。结构方程的方程类型结构方程的方程类型 行 为 方 程 技 术 方 程 随 机 方 程 制 度 方 程 统 计 方 程 定 义 方 程 恒 等 方 程 平 衡 方 程 经 验 方 程 第10
6、页，共46页。完备的结构式模型完备的结构式模型 具有具有g个内生变量、个内生变量、k个先决变量、个先决变量、g个结构方程的模个结构方程的模型被称为型被称为完备完备的结构式模型。即每个内生变量都分的结构式模型。即每个内生变量都分别由一个方程来描述，结构方程的数目等于内生变别由一个方程来描述，结构方程的数目等于内生变量的数目。量的数目。第11页，共46页。完备的结构式模型的矩阵表示完备的结构式模型的矩阵表示 习惯上用习惯上用Y Y表示内生变量，表示内生变量，X X表示先决变表示先决变量，量，表示随机项，表示随机项，表示内生变量的表示内生变量的结构参数，结构参数，表示先决变量的结构参数表示先决变量的
7、结构参数XYXY)(第12页，共46页。Y YYYyyyyyyyyygnngggn12111212122212XXXXxxxxxxxxxknnkkkn12111212122212第13页，共46页。12111212122212gnngggn111212122212gggggggkggkk212222111211第14页，共46页。简单宏观经济模型的矩阵表示简单宏观经济模型的矩阵表示tttttttttttGICYYYIYC21210110nnntttYYYIIICCCYIC212121YX1111101112YGYYYG GGttnn第15页，共46页。1211121212220000nn100
8、1110100001)(20101第16页，共46页。简化式模型：简化式模型：定义定义 用用所有先决变量所有先决变量作为每个内生变量的解释变作为每个内生变量的解释变量，所形成的模型称为量，所形成的模型称为简化式模型简化式模型。不反映经济系统中变量之间的直接关系。不反映经济系统中变量之间的直接关系。简化式模型中作为解释变量的变量中没有内简化式模型中作为解释变量的变量中没有内生变量，可以采用生变量，可以采用OLS估计每个方程的参数。估计每个方程的参数。简化式模型中每个方程称为简化式方程，方简化式模型中每个方程称为简化式方程，方程的参数称为简化式参数。程的参数称为简化式参数。第17页，共46页。2
9、2、简单宏观经济模型的简化式模型、简单宏观经济模型的简化式模型ttttttttttttGYYGYIGYC332131302221212011211110第18页，共46页。3 3、简化式模型的矩阵形式、简化式模型的矩阵形式 YX111212122212kkgggk12111212122212gnngggn第19页，共46页。参数关系体系：参数关系体系：该式描述了简化式参数与结构式参数该式描述了简化式参数与结构式参数之间的关系，称为之间的关系，称为参数关系体系参数关系体系。1YX YXYX 11YX第20页，共46页。作用作用 利用参数关系体系，首先估计简化式参数，利用参数关系体系，首先估计简化
10、式参数，然后可以计算得到结构式参数。然后可以计算得到结构式参数。简化式参数反映了先决变量对内生变量的简化式参数反映了先决变量对内生变量的直接直接与与间接间接影响之和，这是简化式模型的影响之和，这是简化式模型的另一个重要作用。另一个重要作用。例如，在上述模型中存在如下关系：例如，在上述模型中存在如下关系：21212112121111第21页，共46页。21反映反映Yt-1对对It的的直接与间接影响之和；直接与间接影响之和；其中的其中的2是结构方程中是结构方程中Yt-1对对It的结构参的结构参数，它只反映数，它只反映Yt-1对对It的的直接影响直接影响。在这里，在这里，2是是Yt-1对对It的部分
11、乘数，的部分乘数，21反映反映Yt-1对对It的完全乘数。的完全乘数。tttttttttttGICYYYIYC21210110 21212112121111第22页，共46页。6.3 联立方程计量经济学模型的识别一、识别的概念 (4.3.1)为一个不可识别模型。1 识别的定义：如果联立方程模型中个结构方程不具有确定的统计形式，则称该方程不可识别。如果联立方程模型中某些方程的线性组合可以构成与某一个方程相同的统计形式，则称该方程不可识别。,2,1 t 210110tttttttttICYnYIYC第23页，共46页。根据参数关系体系，在已知简化式参数估计值时，如果不能得到联立方程模型中某个结构方
12、程的确定的结构参数估计值，则称该方程不可识别。其中第一种可看成定义后两种为判断方法。2 模型的识别模型的识别与方程（随机）的识别的关系。3 恰好识别与过度识别随机方程的参数的估计量只有一组为恰好识别；某一方程有多组参数估计量为过度识别。例模型1 (6.3.1),2,1 t 210110tttttttttICYnYIYC第24页，共46页。模型的简化式为 参数关系体系为模型2 (6.3.2)ttttttYIC330220110110030111001020110110010111 ,2,1 t 21210110ttttttttttICYnYYIYCtttttttttYYYIYC313130211
13、120111110110030111001020110110010111112311121021111111111第25页，共46页。模型3 (6.3.3)简化式模型中解释变量增加了滞后的消费量略。参数关系体系 ,2,1 t 2121011210tttttttttttICYnYYICYC110030111001020110110010111112311121021111111111112321112221112212111第26页，共46页。,2,1 212101131210ttttttttttttICYntYYIPCYC模型4 (6.3.4)此时已有8个有效方程但有7个待估参数模型为过度识别
14、。111110030111001020110110010112311121021111111111112321112221112212111113331113231113313111第27页，共46页。二、结构式识别条件中的第 个方程包含 个内生变量和 个先决变量，模型系统中的内生变量和先决变量数目仍设为 和，矩阵 表示第 个方程中未包含的变量在其它 个方程中对应系数所组成的矩阵。于是，判断第 个结构方程识别状态的结构式条件为 如果 ，则第 个结构方程不可识别；如果 ，则第 个结构方程可以识别，且 如果 ，则第 个结构方程恰好识别，如果 ，则第 个结构方程过度识别。XYiigikgk)(00B
15、i1gi1)(00gBRi1)(00gBRi1iigkki1iigkk第28页，共46页。例6.3.1 以模型（6.3.4）为例解释结构式条件的应用，模型为结构参数矩阵为对于第1个结构方程的识状态有所以该方程是恰好识别的。类似的可证第2个结构方程为过度识别的。,2,1 t 212101131210ttttttttttttICYnYYIPCYC000011100100012013201B011200B12)(100gBR1iigkk第29页，共46页。三、简化式识别条件模型的识别条件为如果 ，则有第 个结构方程不可识别；如果 ，则有第 个结构方程可以识别，且 如果 ，则有第 个结构方程恰好识别，
16、如果 ，则有第 个结构方程过度识别。其中 是简化式参数矩阵中划去第 个结构方程所不包含的内生变量所对应的行和第 个结构方程中包含的先决变量所对应的列之后，剩下的参数按原次序组成的矩阵。YX1)(2igRi1)(2igRi1iigkk1iigkkii2ii第30页，共46页。例6.3.3有 ，且已知简化模型参数阵则对于第二个结构式方程有 ，所以该方程可以识别，又由于所以该方程是过度识别的。对其它两个结构方程用同样办法判断。,2,1 33322132323121231211iiiiiiiiiiiixyynixyyxxy3k3g01211232412k22g1212211)(22gR1222gkk第
17、31页，共46页。四、实际应用中的经验方法6.4一种特殊的联立方程递归系统一、递归系统模型如果则这类模型被称为递归系统模型。二、递归系统模型的估计XY1010010001321223121kkkBgkggkk212222111211第32页，共46页。6.4 联立方程计量经济学模型的估计一、概述联立方程的两种估计方法：单方程估计方法；系统估计方法。单方程估计方法：最小二乘原理法（间接最小二乘法、两阶段最小二乘法、工具变量法）；有限信息估计方法。一、狭义的工具变量法（IV）1.工具变量的选取：（6.4.1）中的每个结构方程如 （6.4.2）XY11212111131321211111NXXXYY
18、YYkkgg第33页，共46页。中包含 个内生解释变量和 个先决解释变量，写成矩阵形式为 （6.4.3）其中)1(1g1k100001),(NBXYYngnngggyyyyyyyyyYYY1111322322213121320 YnknnkkkxxxxxxxxxXXX1111212221212111210 X第34页，共46页。1113120gB1113120knyyyY112111nN112111欲估计方程（6.4.3）须克服随机解释变量的问题有效的方法是工具变量法。这里用方程中没有包含的 个先决变量去作为方程中包含的 个内生解释变量的工具变量。如此选择工具变量的方法被称为狭义的工具变量法。
19、如果结构方程是恰好识别的即满足 ，那么工具变量的选择就很简单。如果结构方程是过度识别的即满足 ，那)(1kk)1(1g)1()(11gkk)1()(11gkk第35页，共46页。么，工具变量的选择就较麻烦，且参数估计的结果有一定的任意性。所以一般认为这种工具变量的方法只适用于恰好识别的结构方程的估计。2.IV参数估计量及其统计特性当选则 作为 的工具变量时，得到的参数估计量为 其中该方法在小样本下有偏，在大样本下渐进无偏。若工具变量与方程随机误差项完全不相关，其参数估计量是无偏的。*0X0Y10*01000*000)()()(YXXXYXXBIVnknknkkkkkkkkkkxxxxxxxxx
20、XXX,2,12,2,22,11,1,21,121*011111111 X第36页，共46页。3.参数估计量与工具变量的次序无关二、间接最小二乘法（ILS）原理：先对简化式方程应用普通最小二乘法，然后通过参数关系体系得到结构式参数的估计量。特点：只适用于恰好识别的结构方程1.一个简单的例子可以证明第一个结构方程恰好识别，可用间接最小二乘法进行其参数估计。模型1有两个内生变量简化式为333323213132323323212121112121 XYYYXYYXXYY2323222121213132121111XXXYXXXY第37页，共46页。100001NXYBY应用普通最小二乘法，对每个简化
21、式方程估计参数，得到参数估计量 ，将简化式代入第一个结构方程得到参数关系体系及应用该体系和简化式参数估计量 ，得到的结构式参数估计值如下：2.一般间接最小二乘法的估计过程将（6.4.3）改写成即3,2,1,2,1,jiij12232213121123211311231312/023121312221212112112113,2,1,2,1,jiij第38页，共46页。100100)1(NXYYB10000000)(NXYB其中内生变量的简化式模型为 （6.4.6）代入结构式模型得到)1(000BB0000100YYYEXY000000000000XXB0000*000000XXXB第39页，共
22、46页。将 分成两部分，一部分对应结构方程中包含的先决变量 ，一部分对应结构方程中未包含的先决变量 ，即 （6.4.7）于是得到参数关系体系用普通最小二乘法估计简化式模型（6.4.6），得到其参数代入参数关系体系（6.4.7），先由第2组方程得到 ，再代入第1组方程得到 。于是得到了结构方程（6.4.2）的结构参数估计量。3.间接最小二乘法参数估计的统计性质（同工具法）4.间接最小二乘法也是一种工具变量方法000X*0X)(20010000020000010000BB00B0第40页，共46页。110000)(YXXYXBILs可以证明，采用间接最小二乘法估计结构方程等价于一种工具变量方法，选
23、择 作为 的工具变量，即用 依次作为的工具变量，于是（6.4.3）的间接最小二乘估计量可以写成 （6.4.8）X),(00XY),(12111kkkXXXXX),(1112kgXXYY第41页，共46页。三、二阶段最小二乘法（2SLS）现实中很多方程是过度识别的，二阶段最小二乘法适用于这种方程，是一种普遍应用的方法。1.二阶段最小二乘法（6.4.1）中的第1个结构方程（6.4.3）不能直接采用普通最小二乘法，但对于简化式可直接应用普通最小二乘法得到用 的估计量 替代（6.4.3）中的 ，得到新的方程00000EXY)(0100YXXXXXY0Y0Y0Y100001),(NBXYY第42页，共4
24、6页。显然上述方程不存在随机解释变量问题，可以直接应用普通最小二乘法估计参数，得到 （6.4.13）2.二阶段最小二乘法参数估计的统计性质小样本下有偏，大样本下渐进无偏3.二阶段最小二乘法也是一种工具变量方法四、对于恰好识别的结构方程，三种方法等价10010000200)()()(YXYXYXYBSLS第43页，共46页。10*01000*000)()()(YXXXYXXBIV110000)(YXXYXBILs10010000200)()()(YXYXYXYBSLS （6.4.4）（6.4.8）（6.4.13）三种结果是用不同的工具变量方法估计得到的，区别仅在于工具变量选取的不同。比较前两个结
25、果它们都选取了 作为结构方程中解释变量 的工具变量，只是次序不同：狭义工具变量法用结构方程中未包含的先决变量 作为 的X),(00XY*0X0Y第44页，共46页。工具变量，用结构方程中包含的先决变量仍作为自己的工具变量；间接最小二乘法先将先决变量按自己的顺序作为 的工具变量，这使得结构方程中的 选择了其它的先决变量作为自己的工具变量。从前面的学习中知道这两种选取只影响正规方程组中方程的次序，并不影响方程组的解。因此前两种方法是等价的。比较后两种方法有二阶段最小二乘法选取 的线性函数 作为结构方程中内生解释变量的工具变量，作为自己的工具变量，则两种方法有它们自己的正规方程组),(00XY0XX)(0100YXXXXXY0XILSBXYXYX0000)(SLSBXYXYYXY2000000100)()()(第45页，共46页。比较两个正规方程组发现，后者是由前者经过初等线性变换得到的。因此这两种方法是等价的。第46页，共46页。
